完整版同济大学高数上册知识点.docx
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完整版同济大学高数上册知识点
高等数学上册复习要点
」、函数与极限
(一)函数
1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、反函数、复合函数、函数的运算;
3、初等函数:
幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;
4、函数的连续性与间断点;
函数f(x)在Xo连续>limf(x)f(x°)
xX0
‘第一类:
左右极限均存在.
间断点<可去间断点、跳跃间断点
<第二类:
左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质:
有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
(二)极限
1、定义
1)数列极限
limxna
n
2)函数极限
0,
N
nN,Xn
a
limf(x)A
0,
0,x,当0
xx°时,f(x)A
xXo
左极限:
f(Xo)
lim
xXo
f(x)
右极限:
f(x°)limf(x)
XX0
limf(x)A存在f(x0)f(x0)
xX0
极限存在准则夹逼准则:
XnZn(nno厂
limxna
n
单调有界准则:
单调有界数列必有极限.
无穷小(大)量
求极限的方法
单调有界准则;
夹逼准则;
极限运算准则及函数连续性;
无穷小代换:
(x0)
a)x~sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx
b)1cosx〜^x2
XX
c)e1〜x(a1〜xlna)
e)(1x)1-x
二、导数与微分
(一)导数
函数f(x)在Xo点可导f(xo)f(xo)
几何意义:
f(xo)为曲线yf(x)在点X。
,f(xo)处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系:
4、求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7)对数求导法.
5、高阶导数
d2yddy
1)疋义:
dx2dxdx
n
uv(n)Ck||(k)v(nk)
2)Leibniz公式:
uvCnuv
k0
(二)微分
1)定义:
yf(x。
x)f(x。
)Axo(x),其中A与x无关.
2)可微与可导的关系:
可微可导,且dyf(X。
)xf(xo)dx
三、微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、Rolle罗尔定理:
若函数f(x)满足:
1)f(x)
C[a,b];2)f(x)
D(a,b);3)f(a)f(b);
则
(a,b),使f()0.
2、Lagrange
拉格朗日中值定理*:
若函数f(x)满足:
1)f(x)
C[a,b];2)f(x)
D(a,b);
则
(a,b),使f(b)f(a)
f()(ba).
3、Cauchy柯西中值定理:
若函数f(X),F(X)满足:
1)f(x),F(x)C[a,b];2)f(x),F(x)D(a,b);3)F(x)0,x(a,b)
(二)洛必达法则
(三)Taylor公式
(4)单调性及极值
1、单调性判别法:
f(x)C[a,b],f(x)D(a,b),则若f(x)0,则
f(x)单调增加;则若f(x)0,则f(x)单调减少.
2、极值及其判定定理:
a)必要条件:
f(x)在xo可导,若xo为f(x)的极值点,贝Sf(xo)0.
b)第一充分条件:
f(X)在x0的邻域内可导,且f(xo)0,则①若当Xxo时,f(X)0,当XX。
时,f(X)0,则X。
为极大值点;②若当XX。
时,f(x)0,当xX。
时,f(x)0,则X。
为极小值点;③若在X。
的两侧f(X)不变号,则x0不是极值点.
c)第二充分条件:
f(x)在x0处二阶可导,且f(X。
)0,f(X。
)0,则①若f(x。
)0,则X。
为极大值点;②若f(x。
)0,则X。
为极小值点.
3、凹凸性及其判断,拐点
rx1x2、f(x1)f(x2)
1)f(X)在区间I上连续,若Xi,X2I,f(—)—2-,则称f(X)在
「Xx2、f(x1)f(x2)
区间I上的图形是凹的;若X1,X2I,f(—-2-,则称f(x)在
区间I上的图形是凸的.
2)判定定理:
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则
a)若x(a,b),f(x)。
,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
b)若x(a,b),f(x)。
,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
3)拐点:
设yf(x)在区间|上连续,x。
是f(x)的内点,如果曲线yf(x)经过点(x。
f(X。
))时,曲线的凹凸性改变了,则称点(X。
f(x。
))为曲线的拐点.
(5)不等式证明
1、
利用微分中值定理;
2、
利用函数单调性;
3、
利用极值(最值).
(六)
方程根的讨论
1、
连续函数的介值定理;
2、
Rolle定理;
3、
函数的单调性;
4、
极值、最值;
5、
凹凸性.
(七)
渐近线
1、铅直渐近线:
limf(x)
xa
则xa为一条铅直渐近线;
四、不定积分
(一)概念和性质
1、原函数:
在区间I上,若函数F(x)可导,且F(x)f(x),则F(x)称为
f(x)的一个原函数.
2、不定积分:
在区间|上,函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性).
(二)换元积分法
1、第一类换元法(凑微分):
f[(x)](X)dxf(u)duu(x)
2、第二类换元法(变量代换:
三角代换、倒代换、根式代换等)
f(x)dx
f[
(t)]
(t)dtt1(x)
(三)分部积分法:
udv
uv
vdu(反对幕指三,前u后v'
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、
倒代换、根式代换等).
五、定积分
(一)概念与性质:
性质:
(7条)
(二)微积分基本公式(N—L公式)
x
1、变上限积分:
设(x)af(t)dt,则(x)f(x)
d(x)
推广•一(、f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)
dx(x)
F(a)
b
2、N—L公式:
若F(x)为f(x)的一个原函数,贝qaf(x)dxF(b)
(三)换元法和分部积分
b
1、换元法:
f(x)dxf
a
[(t)](t)dt
2、分部积分法:
b
udv
a
uv;bvdu
a
(四)反常积分
1、无穷积分
f(x)dx
a
lim
t
t
f(x)dx
a
b
f(x)dx
lim
t
b
f(x)dxt
f(x)dx
0
f(x)dx
0
f(x)dx
2、瑕积分:
b
f(x)dx
a
lim
ta
b
tf(x)dx
(a为瑕点)
b
f(x)dx
a
lim
tb
t
f(x)dx
a
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
,P1dx
ip
1)axp—pi
P1
bdxbdx
(ba)1q
1q
2)a(xa)qa(bx)q
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