中考数学试题分类汇编专项38等腰边三角形.docx
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中考数学试题分类汇编专项38等腰边三角形
2019年中考数学试题分类汇编专项38等腰(边)三角形
注意事项:
认真阅读理解,结合历年的真题,总结经验,查找不足!
重在审题,多思考,多理解!
专题:
38等腰〔边〕三角形
【一】选择题
1.〔2018宁夏区3分〕一个等腰三角形两边的长分别为4和9,那么这个三角形的周长是【】
A、13B、17C、22D、17或22
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】求等腰三角形的周长,即是确定等腰三角形的腰与底的长;题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形:
①假设4为腰长,9为底边长,由于4+4<9,那么三角形不存在;
②9为腰长,那么符合三角形的两边之和大于第三边。
∴这个三角形的周长为9+9+4=22。
应选C。
2.〔2018广东肇庆3分〕等腰三角形两边长分别为4和8,那么这个等腰三角形的周长为【】
A、16B、18C、20D、16或20
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,那么应该分两种情况进行分析:
①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;
②当8为腰时,8-4<8<8+4,符合题意。
∴此三角形的周长=8+8+4=20。
应选C。
3.〔2018江苏常州2分〕三角形三边的长分别为4,9,那么这个等腰三角形的周长为【】
A.13B.17C.22D.17或22
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】由三角形三边的长分别为4,9,知三角形三边的长分别为4,4,9或4,9,9,但由于4,4,9与三角形的构成条件“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”不符,因此,三角形三边的长只能分别为4,9,9,周长为22。
应选C。
4.〔2018江苏徐州3分〕如果等腰三角形的两边长分别为2和5,那么它的周长为【】
A、9B、7C、12D、9或12
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】根据等腰三角形的性质,如果等腰三角形的两边长分别为2和5,那么另一边可能是2或5。
但根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的三边关系,2,2,5不构成三角形。
因此这个等腰三角形的三边只能是2,5,5,周长为12。
应选C。
5.〔2018福建三明4分〕如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,假设以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么满足条件的点P共有【】
A、2个B、3个C、4个D、5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图,分OP=AP〔1点〕,OA=AP〔1点〕,OA=OP〔2点〕三种情况讨论。
∴以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么满足条件的点P共有4个。
应选C。
6.〔2018湖北荆门3分〕如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q、假设BF=2,那么PE的长为【】
A、2B、2
C、
D、3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质,角平分线的定义,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形,点P是∠ABC的平分线,∴∠EBP=∠QBF=30°,
∵BF=2,FQ⊥BP,∴BQ=BF•cos30°=2×
。
∵FQ是BP的垂直平分线,∴BP=2BQ=2
。
在Rt△BEF中,∵∠EBP=30°,∴PE=
BP=
。
应选C。
7.〔2018湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分〕如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC、假设△ABC的边长为4,AE=2,那么BD的长为【】
A、2B、3C、
D、
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线分线段成比例,等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点,使得CF=BD,
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECF。
∴△EBD≌△EFC〔SAS〕。
∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB。
∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。
∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。
应选A。
8.〔2018湖北孝感3分〕如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36º,BD平分∠ABC交AC于点D、假设
AC=2,那么AD的长是【】
A、
B、
C、
D、
【答案】C。
【考点】黄金分割,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。
【分析】∵∠A=∠DBC=36°,∠C公共,∴△ABC∽△BDC,且AD=BD=BC。
∴
。
设BD=x,那么BC=x,CD=2-x,∴
,整理得:
x2+2x-4=0,解得:
。
∵x为正数,∴
。
应选C。
9.〔2018湖南怀化3分〕等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为【】[来源:
Z。
A、7B、6C、5D、4
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。
【分析】如图,△ABC中AB=AC,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形三线合一的性质,AD⊥BC。
在Rt△ABD中,BD=
×6=3,AD=4,根据勾股定理,得AB=5。
应选C。
10.〔2018四川绵阳3分〕如图,将等腰直角三角形虚线剪去顶角后,∠1+∠2=【】。
A、225°B、235°C、270°D、与虚线的位置有关
【答案】C。
【考点】等腰直角三角形的性质,多边形内角和定理。
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出两底角的度数,再根据四边形内角和定理解答即可:
如图,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A+∠B=90°,
∵四边形的内角和是360°,
∴∠1+∠2=360°-〔∠A+∠B〕=360°-90°=270°。
应选C。
11.〔2018四川凉山4分〕如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,那么图中∠α+∠β的度数是【】
A、
B、
C、
D、
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质,多边形内角和定理。
【分析】∵等边三角形每个内角为60°,∴两底角和=120°。
又∵四边形内角和为360°,∴∠α+∠β=360°-120°=240°。
应选C。
12.〔2018四川广安3分〕等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=
BC,那么△ABC底角的度数为【】
A、45°B、75°C、45°或75°D、60°
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】根据题意画出图形,注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析,然后利用等腰三角形与直角三角形的性质,即可求得答案:
如图1:
AB=AC,
∵AD⊥BC,∴BD=CD=
BC,∠ADB=90°。
∵AD=
BC,∴AD=BD。
∴∠B=45°。
即此时△ABC底角的度数为45°。
如图2,AC=BC,
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°。
∵AD=
BC,∴AD=
AC,∴∠C=30°。
∴∠CAB=∠B=〔1800-∠A〕÷2=75°。
即此时△ABC底角的度数为75°。
综上所述,△ABC底角的度数为45°或75°。
应选C。
13.〔2018辽宁沈阳3分〕如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,那么图中的等腰直角三角形有【】
A、4个B、6个C、8个D、10个
【答案】C。
【考点】等腰直角三角形的判定,正方形的性质。
【分析】∵正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,
∴AB=BC=CD=AD,OA=OB=OC=OD,四个角都是直角,AC⊥BD。
∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。
应选C。
14.〔2018贵州铜仁4分〕如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,假设BM+CN=9,那么线段MN的长为【】
A、6B、7C、8D、9
【答案】D。
【考点】角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB。
∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN。
∴BM=ME,EN=CN。
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN。
∵BM+CN=9∴MN=9。
应选D。
15.〔2018山东威海3分〕如图,a∥b,点A在直线a上,点C在直线b上,∠BAC=900,AB=AC。
假设∠1=200,那么∠2的度数为【】
A.250B.650C.700D.750
【答案】B。
【考点】等腰直角三角形的性质,平行线的性质。
【分析】∵∠BAC=900,AB=AC,∴∠ABC=450。
∵∠1=200,∴∠ABC+∠1=650。
又∵a∥b,∴∠2=∠ABC+∠1=650。
应选B。
16.〔2018山东潍坊3分〕轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东300方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东750方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东600方向上,那么C处与灯塔A的距离是【】海里、
A、
B、
C、50D、25
【答案】D。
【考点】方向角,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】如图,根据题意,∠1=∠2=30°,
又∵∠ACD=60°,
∴∠ABC=30°+60°=90°,∠CBA=75°-30°=45°。
∴△ABC为等腰直角三角形。
∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25〔海里〕。
应选D。
17.〔2018江西南昌3分〕等腰三角形的顶角为80°,那么它的底角是【】
A、20°B、50°C、60°D、80°
【答案】B。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵等腰三角形的一个顶角为80°,∴底角=〔180°﹣80°〕÷2=50°。
应选B。
18.〔2018江西省3分〕等腰三角形的顶角为80°,那么它的底角是【】
A、20°B、50°C、60°D、80°
【答案】B。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵等腰三角形的一个顶角为80°,∴底角=〔180°﹣80°〕÷2=50°。
应选B。
19.〔2018黑龙江龙东地区3分〕如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,
点E为AC的中点,连接DE,那么△CDE的周长为【】
A.20B.12C.14D.13
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC,CD=BD=
BC=4。
∵点E为AC的中点,
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=
AC=5。
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。
应选C。
【二】填空题
1.〔2018上海市4分〕我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为
▲、
【答案】4。
【考点】三角形的重心,等边三角形的性质。
【分析】设等边三角形的中线长为a,那么其重心到对边的距离为:
,
∵它们的一边重合时〔图1〕,重心距为2,
∴
,解得a=3。
∴当它们的一对角成对顶角时〔图2〕重心=
。
2.〔2018浙江宁波3分〕如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,那么∠EAB=
▲度、
【答案】40。
【考点】等腰三角形的性质,平角定义,三角形内角和定理,平行线的性质。
【分析】∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC。
∵∠ACD=110°,∴∠ACB=∠BAC=70°。
∴∠B=∠40°,
∵AE∥BD,∴∠EAB=40°。
3.〔2018江苏淮安3分〕如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,假设∠BAC=700,那么∠BAD=
▲0。
【答案】35。
【考点】等腰三角形的性质。
【分析】由AB=AC,AD⊥BC,根据等腰三角形三线合一的性质,得∠BAD=∠CAD;由∠BAC=700,得∠BAD=350。
4.〔2018福建泉州4分〕如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于点D,那么BD的长是▲.
【答案】3。
【考点】等腰三角形的性质。
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质直接得出结果:
∵AB=AC,BC=6,AD⊥BC。
∴BD=
BC=3。
5.〔2018湖北随州4分〕等腰三角形的周长为16,其一边长为6,那么另两边为▲.
【答案】6和4或5和5。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】当腰是6时,那么另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理。
故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5。
6.〔2018湖北黄冈3分〕如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂
足为点D,连接BE,那么∠EBC的度数为▲.
【答案】36°。
【考点】线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE。
∵∠A=36°,∴∠ABE=∠A=36°。
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=
。
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°。
7.〔2018湖北襄阳3分〕在等腰△ABC中,∠A=30°,AB=8,那么AB边上的高CD的长是▲、
【答案】4或
或
。
【考点】等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC,AB=BC和AC=BC时的图象,然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形,分别进行计算即可:
〔1〕如图,当AB=AC时,
∵∠A=30°,
∴CD=
AC=
×8=4。
〔2〕如图,当AB=BC时,那么∠A=∠ACB=30°。
∴∠ACD=60°。
∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4
。
〔3〕如图,当AC=BC时,那么AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=
。
综上所述,AB边上的高CD的长是4或
或
。
8.〔2018四川广元3分〕等腰三角形的一个内角为80°,那么另两个角的度数是▲
【答案】50°,50°或80°,20°。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】分情况讨论:
〔1〕假设等腰三角形的顶角为80°时,另外两个内角=〔180°-80°〕÷2=50°;
〔2〕假设等腰三角形的底角为80°时,顶角为180°-80°-80°=20°。
∴等腰三角形的一个内角为80°,那么另两个角的度数是50°,50°或80°,20°。
9.〔2018贵州遵义4分〕一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm,那么这个三角形的周长为▲、
【答案】20cm。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】分两种情况讨论:
〔1〕当等腰三角形的腰为4cm,底为8cm时,不能构成三角形、
〔2〕当等腰三角形的腰为8cm,底为4cm时,能构成三角形,周长为4+8+8=20〔cm〕。
∴这个等腰三角形的周长是20cm。
10.〔2018贵州黔东南4分〕用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成▲个正三角形、
【答案】4。
【考点】等边三角形的性质。
【分析】用6根火柴棒搭成正四面体,四个面都是正三角形。
故答案为4。
11.〔2018山东滨州4分〕如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,那么∠C=▲°、
【答案】40。
【考点】三角形的外角性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质。
【分析】∵AB=AD,∠BAD=20°,∴∠B=
。
∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°。
∵AD=DC,∴∠C=
。
12.〔2018山东济宁3分〕如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,那么tan∠AEO=▲、
【答案】
。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC。
∵BF⊥AC,∴∠ABF=
∠ABC=30°。
∵AB=AC,AE=AC,∴AB=AE。
∵AO平分∠BAE,∴∠BAO=∠EAO。
∵在△BAO和△EAO中,AB=AE,∠BAO=∠EAO,AO=AO,
∴△BAO≌△EAO〔SAS〕。
∴∠AEO=∠ABO=30°。
∴tan∠AEO=tan30°=
。
13.〔2018山东日照4分〕如图,过A、C、D三点的圆的圆心为E,过B、F、E三点的圆的圆心为D,如果∠A=63°,那么∠θ=▲、[来︿源
【答案】180。
【考点】等腰三角形的判定和性质,三角形外角定理。
【分析】如图,连接CE,DE,
∵过A、C、D三点的圆的圆心为E,过B、F、E三点的圆的圆心为D,
∴AE=CE=DE=DB。
∴∠A=∠ACE,∠ECD=∠CDE,∠DEB=∠DBE=∠θ。
∵∠A=63°,∴∠AEC=1800-2×630=540。
又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ,∴∠AEC=∠ECD+∠DBE=3∠θ,即3∠θ=540。
∴∠θ=180。
14.〔2018广西来宾3分〕等腰三角形的一个内角是80°,那么它的底角是▲0、
【答案】50或80。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】分两种情况:
①当80°的角为等腰三角形的顶角时,底角的度数=〔180°-80°〕÷2=50°;
②当80°的角为等腰三角形的底角时,其底角为80°。
故它的底角度数是500或800。
15.〔2018广西钦州3分〕等腰三角形的顶角为80°,那么它的一个底角为▲、
【答案】50°。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵等腰三角形的顶角等于80°,
又∵等腰三角形的底角相等,∴底角等于〔180°﹣80°〕÷2=50°。
16.〔2018甘肃白银4分〕如图,在△ABC中,AC=BC,△ABC的外角∠ACE=100°,那么∠A=▲度、
【答案】50。
【考点】三角形的外角性质,等腰三角形的性质。
【分析】∵AC=BC,∴∠A=∠B〔等角对等边〕。
∵∠A+∠B=∠ACE〔三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和〕,
∴∠A=
∠ACE=
×100°=50°。
17.〔2018青海西宁2分〕如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E
为AD的中点,点P在x轴上移动、小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(-5,0)和
(5,0)、请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲、
18.〔2018黑龙江绥化3分〕假设等腰三角形两边长分别为3和5,那么它的周长是▲
【答案】11或13。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形:
①腰长为3,底边长为5,三边为:
3,3,5可构成三角形,周长=3+3+5=11;
②腰长为5,底边长为3,三边为:
5,5,3可构成三角形,周长=5+5+3=13。
故答案为:
11或13。
19.〔2018黑龙江牡丹江3分〕矩形ABCD中,AB=10,BC=3,E为AB边的中点,P为CD边上的点,且△AEP是腰长为5的等腰三角形,那么DP=▲
【答案】4或1或9。
【考点】矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,根据题意,
∵AB=10,BC=3,E为AB边的中点,
∴AE=5,AD=3。
假设AE=AP=5,那么在Rt△ADP1中,
由勾股定理,得DP1=4。
假设AE=PE=5,A作EF⊥CD于点F,那么EF=3,DF=5
在Rt△EFP2中,P2F=4,∴DP2=DF-P2F=1:
在Rt△EFP3中,P3F=4,∴DP3=DF+P3F=9。
另AP=EP=5不成立。
综上所述,DP=4或1或9。
20.〔2018黑龙江哈尔滨3分〕一个等腰三角形的两边长分别为5或6,那么这个等腰三角形的周长是
▲、
【答案】16或17。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底,故需分两种情况讨论:
〔1〕当等腰三角形的腰为5,底为6时,周长为5+5+6=16;
〔2〕当等腰三角形的腰为6,底为5时,周长为5+6+6=17。
∴这个等腰三角形的周长是16或17。
21.〔2018黑龙江龙东地区3分〕等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,那么底边长为▲。
【答案】8或
或
。
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。
【分析】由的是一边上的高,分底边上的高和腰上的高两种情况,当高为腰上高时,再分锐角三角形与钝角三角形两种情况:
〔1〕如图,当AD为底边上的高时,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AD=3,AB=5,
根据勾股定理得:
。
∴BC=2BD=8。
〔2〕如图,当CD为腰上的高时,
假设等腰三角形为锐角三角形,
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,
根据勾股定理得:
。
∴BD=AB-AD=5-4=1。
在Rt△BDC中,CD=3,BD=1,
根据勾股定理得:
。
假设等腰三角形为钝角三角形,
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,
根据勾股定理得:
。
∴BD=AB+AD=5+4=9。
在Rt△BDC中,CD=3,BD=9,
根据勾股定理得:
。
综上所述,等腰三角形的底边长为8或
或
。
【三】解答题
1.〔2018重庆市6分〕如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形、假设AB=2,求△ABC的周长、〔结果保留根号〕
【答案】解:
∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°。
∵∠BAC=90°,∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°。
∴BC=2AB=4。
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
。
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=
+4+2=6+
。
答:
△ABC的周长是6+
。
【考点】解直角三角形,三角形内角和定理,等边三角形的性质,勾股定理。
【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案。
2.〔2018广东肇庆7分〕如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD、
求证:
〔1〕BC=AD;
〔2〕△OAB是等腰三角形、
【答案】证明:
〔1〕∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴△ABC与△BAD是直角三角形,
在△ABC和△BAD中,∵AC=BD,AB=
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- 中考 数学试题 分类 汇编 专项 38 等腰 三角形