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二次函数建模
2017年中考数学专题复习
二次函数建模
实际问题、几何综合、数形结合一直以来是襄阳中考后三大轴题,其中实际问题从2015年开始以二次函数为模型创设实际问题。
它涉猎的知识和方法有整式运算、方程、不等式、一次函数二次函数图象性质及配方法、待定系数法等等。
要求同学们既要弄清题意,还要有过硬的计算能力,可谓一分难求。
〖基本问题设计〗1、构建二次函数关系式
2、解一元二次方程
3、求最值(顶点式的最值、非顶点式的最值)
4、解二次不等式
5、根据自变量的取值范围及一次函数的最大(小)值
6、利用二次函数性质求参数范围
〖题干呈现形式〗1、用表格或图象提供解答问题的信息
2、函数要分段
〖答题注意事项〗1、计算要准确
2、格式、步骤要规范
【数学练习】
1、化简下列函数:
①y=(0.25x+30-20)(120-2x)=-0.5x2+10x+1200
②y=(-
0.5x+48-20)(120-2x)=x2-116x+3360
2、求下列函数的最大值
①当1≤x≤24时,y=-0.5x2+10x+1200;
解:
∵y=-0.5x2+10x+1200=-0.5(x-10)2+1250
又∵y是x的二次函数且a=-0.5<0
∴当x=10时,y最大=1250.
②当25≤x≤48时,y=x2-116x+3360
解:
∵y=x2-116x+3360=(x-58)2-4
又∵y是x的二次函数且a=1>0
∴开口向上,且对称轴为直线x=58
∵又25≤x≤48在对称轴x=58左侧
∴y随x增大而减小
∴当x=25时,y最大=1085.
3、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集:
-0.5x2+10x+1200≥1152
解:
解方程-0.5x2+10x+1200=1152,得x1=-4,x2=24
∴根据y=-0.5x2+10x+1200图象(如右图)
得y=-0.5x2+10x+1200≥1152的解集是-4≤x≤24
【例题】某超市以每千克20元购进一种水果,经调研发现,这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)及日销售量m(kg)与时间x(天)之间的函数关系式如下表:
时间x(天)
1≤x≤24的整数
25≤x≤48的整数
销售单价p(元/kg)
0.25x+30
-0.5x+48
日销售量m(kg)
-2x+120
(1)求日销售利润y(元)与x之间函数关系式,
解:
当1≤x≤24时,y=(0.25x+30-20)(120-2x)=-0.5x2+10x+1200
当25≤x≤48时,y=(-
0.5x+48-20)(120-2x)=x2-116x+3360
综上可得:
y=
(2)该超市第几天的销售利润为1152元?
解:
当1≤x≤24时,y=-0.5(x-10)2+1250=1152,解之得x1=-4(舍),x2=24
当25≤x≤48时,y=(x-58)2-4=1152,解之得x1=24(舍),x2=94(舍)
综上可得:
该超市第24天的销售利润为1152元
(3)问哪一天的销售利润最大?
最大日销售利润为多少?
解:
当1≤x≤24时,y=-0.5x2+10x+1200=-0.5(x-10)2+1250
∵y是x的二次函数且a=-0.5<0
∴当x=10时,y最大=1250.
当25≤x≤48时,y=x2-116x+3360=(x-58)2-4
∵y是x的二次函数且a=1>0
∴开口向上,且对称轴为直线x=58
∵又25≤x≤48在对称轴x=58左侧
∴y随x增大而减小
∴当x=25时,y最大=1085.
综上可得:
在第10天的销售利润最大,最大利润为1250元
(4)若日销售利润不低于1152元,①求x的取值范围.
②该超市至少需要多少元的进货款。
解:
①∵当25≤x≤48时,最大利润为1085元<1152元
这种范围内所获得利润不能不低于1152元。
当1≤x≤24时,由y=-0.5x2+10x+1200=1152得x1=-4,x2=24
∴根据y=-0.5x2+10x+1200图象(如右图)
得y=-0.5x2+10x+1200≥1152时x的范围是-4≤x≤24
又∵1≤x≤24
∴1≤x≤24
故若日销售利润不低于1152元时,x的取值范围是1≤x≤24.
②设超市的总进货款为P元,
则当1≤x≤24时,P=20(-2x+120)=-40x+2400
∵P是x一次函数,且k=-40<0
∴P随x增大而减小
∴当x=24时P最小值是-40×24+2400=1440
故若日销售利润不低于1152元时,超市的至少需要1440元的进货款。
(5)在实际销售的前24天中,该公司决定每销售1kg的这种水果,就捐赠n元利润(n<9)给果农.公司通过销售记录发现,前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x(天)的增大而增大,请直接写出n的取值范围.
解:
当1≤x≤24,设扣除捐赠后的日销售利润为P元,
则P=(
0.25x+30-20-n)(120-2x)=-0.5
x2+(2n+10)x+1200-120n,
∵y是x二次函数,且a=-0.5<0
∴开口向下,且对称轴为x=2n+10,
∴要使在前24天y随x的增大而增大
∴由二次函数的图像及性质知:
2n+10≥24,解得n≥7.
又∵n<9,
∴7≤n<9.
〖练习〗
1、某商场经销一种商品,这种商品在第x(1≤x≤90)天的售价及与销售量与x之间关系如下表:
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)若该商品的日销售利润不低于4800元时,求该商场至少需要多少进货款
2为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款,用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品,并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元,员工每人每月的工资为2500元,公司每月需支付其它费用15万元.该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为50元时,为保证公司月利润达到5万元,该公司可安排员工多少人?
(利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用)
(3)若该公司有80名员工,求月销售利润W(万元)与x之间的函数关系式
(4)若该公司有80名员工,则该公司最早可在几个月后还清无息贷款?
3某公司进行甲、乙两种产品加工,已知加式甲种产品每件需成本费30元,加工乙种产品每件需成本费20元。
经调研:
甲种产品年销售量为y(万件)与销售单价为x(元/件)的函数关系式如下图所示;乙种产品年销售量稳定在10万件。
物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元。
(1)直接写出y与x之间的函数关系式。
(2)若公司第一年的年销售量利润为W(万元),则如何定价,可使第一年的年销售利润最大?
最大年销售利润是多少?
(年销售利润=年销售收入﹣生产成本)
(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在
(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围。
(总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本)
2解:
(1)
(2)设公司可安排员工a人,定价50元时,
由5=(-0.1×50+8)(50-40)-15-0.25a,解之得a=40,
所以公司可安排员工40人;
(3)设公司月利润为W元
当40≤x≤60时,W=(-0.1x+8)(x-40)-15-20=﹣0.1(x-60)2+5,
则当x=60时,W的最大值为5万元;
当60<x<100时,W=(-0.05x+5)(x-40)-15-0.25×80
=-0.05(x-70)2+10,
∴x=70时,W的最大值=10万元,
∴要尽早还清贷款,只有当单价x=70元时,获得最大月利润10万元,
设该公司n个月后还清贷款,则10n≥80,∴n≥8,∴n的最小值为8.
答:
该公司最早可在8个月后还清无息贷款
3解:
(1)y=
(2)①当45≤x<50时,W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20),
=-0.2x2+16x+100,=-0.2(x-40)2+420,
∵W是x的二次函数且a=﹣0.2<0,
∴开口向下且对称轴为x=40
∴45≤x<50在对称轴的右侧,W随x的增大而减小,
∴当x=45时,W的最大值为-0.2(45-40)2+420=415万元;
②当50≤x≤70时,W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20),
=-0.1x2+8x+250,=-0.1(x-40)2+410,
∵W是x的二次函数且a=﹣0.1<0,
∴开口向下且对称轴为x=40
∴50≤x≤56在对称轴的右侧,W随x的增大而减小,
∴当x=50时,W有最大值为-0.1(50-40)2+410=400万元.
综上所述,当x=45,W的最大值是415
答:
甲、乙两种产品定价均为45元时,第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元;
(3)根据题意得,W=-0.1x2+8x+250+415-700=-0.1x2+8x-35,
当W=85,则-0.1x2+8x﹣35=85,解得x1=20,x2=60.
∵W是x的二次函数且a=-0.1<0
∴开口向下
∴根据二次函数的性质得当W≥85时,20≤x≤60
又∵50≤x≤65,
∴50≤x≤60,
即50≤90﹣m≤60,解之得30≤m≤40.
∴第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围是30≤m≤40.
二次函数建模复习专题
【数学基础练习】
1、化简下列函数:
①y=(0.25x+30-20)(120-2x)=
②y=(-
0.5x+48-20)(120-2x)=
2、求下列函数的最大值
①当1≤x≤24时,y=-0.5x2+10x+1200;
②当25≤x≤48时,y=x2-116x+3360
3、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集:
-0.5x2+10x+1200≥1152
【讲练例题】某超市以每千克20元购进一种水果,经调研发现,这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)及日销售量m(kg)与时间x(天)之间的函数关系式如下表:
时间x(天)
1≤x≤24的整数
25≤x≤48的整数
销售单价p(元/kg)
0.25x+30
-0.5x+48
日销售量m(kg)
-2x+120
(1)求日销售利润y(元)与x之间函数关系式,
(2)该超市第几天的销售利润为1152元?
(3)问哪一天的销售利润最大?
最大日销售利润为多少?
(4)若日销售利润不低于1152元,
①求x的取值范围.②该超市至少需要多少元的进货款。
(5)在实际销售的前24天中,该公司决定每销售1kg的这种水果,就捐赠n元利润(n<9)给果农.公司通过销售记录发现,前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x(天)的增大而增大,请直接写出n的取值范围.
〖课后练习〗
1、某商场经销一种商品,这种商品在第x(1≤x≤90)天的售价及与销售量与x之间关系如下表:
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)若该商品的日销售利润不低于4800元时,求该商场至少需要多少进货款
2为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款,用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品,并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元,员工每人每月的工资为2500元,公司每月需支付其它费用15万元.该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为50元时,为保证公司月利润达到5万元,该公司可安排员工多少人?
(利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用)
(3)若该公司有80名员工,求月销售利润W(万元)与x之间的函数关系式
(4)若该公司有80名员工,则该公司最早可在几个月后还清无息贷款?
3某公司进行甲、乙两种产品加工,已知加式甲种产品每件需成本费30元,加工乙种产品每件需成本费20元。
经调研:
甲种产品年销售量为y(万件)与销售单价为x(元/件)的函数关系式如下图所示;乙种产品年销售量稳定在10万件。
物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元。
(1)直接写出y与x之间的函数关系式。
(2)若公司第一年的年销售量利润为W(万元),则如何定价,可使第一年的年销售利润最大?
最大年销售利润是多少?
(年销售利润=年销售收入﹣生产成本)
(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在
(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围。
(总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本)
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