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正交设计文本
多因素试验方法教案
正交试验设计法
我们遇到的实际问题,一般都是比较复杂的,包含有多种因素,各个因素又有不同的状态,它们互相交织在一起。
为了寻求合适的条件,就要对各种因素及各个因素的不同状态进行试验,这就是多因素的试验问题。
正交试验设计法就是利用正交表来安排多因子试验,利用统计数学原理来进行数据分析的一种数学方法。
实践证明,正交试验设计法对于因子多、周期长、有误差的一类试验问题是一种简单易行、行之有效的方法。
例1.某农药厂生产某种农药,根据生产经验,发现影响农药收率的因素有四个,每个因素都有两种状态,具体如下:
A反应温度A1:
60℃;A2:
80℃
B反应时间B1:
2.5h;B2:
3.5h
C原料配比C1:
1/1;C2:
2/1
D真空度D1:
500毫米汞柱;D2:
600毫米汞柱
我们通常称影响试验指标的因素为因子,每个因子可能处的状态称为水平。
显然,例1中我们通过试验需要解决的问题是:
分别选出各因子的一个水平来共同组成比较合适的生产条件,即最佳生产条件。
例1是四个因子两水平的试验,所以从四个因子的每个因子的两个水平中选取一个水平的所有可能搭配共有24=16种。
显然,所有16种可能搭配都进行试验,再经过试验结果的处理就可以获得问题的圆满解决。
但如果是一个9因子3水平的问题呢?
那我们所有可能的搭配就有39=19683种,要逐个进行试验显然是不可能的。
那么能否只作其中一小部分试验,通过分析就可获得问题的圆满解决呢?
正交试验设计方法是一种研究多因子试验问题的很重要的数学方法,它主要是使用正交表这一工具来进行整体设计、综合比较、统计分析。
也就是说使用正交表从所有可能搭配中一下就挑出若干必需的试验,然后再用统计分析方法对试验结果进行综合处理,以解决问题。
这样可以大大缩短试验周期,节约时间。
对于例1来说,我们可以通过L8(27)正交表设计试验方案,下表为L8(27)正交表。
L8(27)正交表
试验号
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
3
1
2
2
1
1
2
2
4
1
2
2
2
2
1
1
5
2
1
2
1
2
1
2
6
2
1
2
2
1
2
1
7
2
2
1
1
2
2
1
8
2
2
1
2
1
1
2
表头设计及试验安排如下:
L8(27)正交表试验设计
试验号
A(℃)
B(h)
C
D(毫米汞柱)
5
6
7
1
60
2.5
1/1
500
1
1
1
2
60
2.5
1/1
600
2
2
2
3
60
3.5
2/1
500
1
2
2
4
60
3.5
2/1
600
2
1
1
5
80
2.5
2/1
500
2
1
2
6
80
2.5
2/1
600
1
2
1
7
80
3.5
1/1
500
2
2
1
8
80
3.5
1/1
600
1
1
2
试验结果:
试验号
A(℃)
B(h)
C
D(毫米汞柱)
5
6
7
农药收率%
1
60
2.5
1/1
500
1
1
1
86
2
60
2.5
1/1
600
2
2
2
95
3
60
3.5
2/1
500
1
2
2
91
4
60
3.5
2/1
600
2
1
1
94
5
80
2.5
2/1
500
2
1
2
91
6
80
2.5
2/1
600
1
2
1
96
7
80
3.5
1/1
500
2
2
1
83
8
80
3.5
1/1
600
1
1
2
88
试验后得到的数据要进行分析,有两种方法,一种方法是综合比较的直观分析法,另一种方法是方差分析法。
(1)直观分析法:
直观分析要解决的问题就是比较每个因子的几个水平对试验结果的影响,从而确定每个因子的最佳水平。
例如例1中,A因子为反应温度,如何确定哪个温度较好呢?
因为A因子的1水平出现在试验1~4号,2水平出现在5~8号,我们可以将试验1~4号的试验结果相加后取均值A1,同样将5~8号的试验结果相加后取均值得A2。
这时,A1和A2即代表A因子的两个不同水平对试验结果造成的不同影响。
通过比较A1和A2就可以确定该因子的最佳水平。
本例中,A1=(y1+y2+y3+y4)/4=(86+95+91+94)/4=91.5
A2=(y5+y6+y7+y8)/4=89.5
由于A1>A2,所以说因子A取1水平时收率较高。
同样其它因子的两个水平的好坏我们也可以通过上述方法求得。
最后我们根据直观分析的结果可以确定一个最佳生产条件。
但是这里还有一个问题,直观分析虽然简便易懂,它只是对试验结果作少量计算,通过综合比较得出最佳生产条件,但直观分析无法顾忌试验过程中以及试验结果测定中必然存在的误差的大小,也就是说它无法区别某因子各水平所对应的试验结果间的差异究竟是真正由因子水平不同所引起的,还是由试验的误差所引起的,因此不能知道分析的精度。
为了弥补直观分析法的这个缺点,可以采用方差分析的方法。
(2)方差分析
方差分析首先要计算的就是每个因子的不同水平对应的数据间的偏差平方和(用S表示)。
例如例1的数据可以作如下计算:
同样,计算B、C、D三个因子的偏差平方和,依照这个算法也可以计算S5、S6、S7,它们是误差偏差平方和。
接着,我们需要计算每个因子的F比,所谓F比就是因子水平的改变引起的平均偏差平方和与误差的平均偏差平方和的比值。
,其中f是自由度,这里是水平数减1。
Se=S5+S6+S7,
fe=f5+f6+f7
同样计算FB、FC、FD。
通过以上计算,结果如下:
因子
偏差平方和
自由度
F比
F临界值
显著性
温度
8.0
1
2.526
10.1
无影响
时间
18.0
1
5.684
10.1
有影响
配比
50.0
1
15.789
10.1
显著
真空度
60.5
1
19.105
10.1
显著
误差
9.5
3
查F检验的临界值表:
F0.01(1,3)=34.1;F0.05(1,3)=10.1;F0.1(1,3)=5.54
结合直观分析,可以确定最佳生产条件。
上述设计及计算还遗留有一个问题,就是没有考虑因子间的相互影响作用。
在一个试验中,不仅各个因子在单独起作用,而且因子之间有时会联合起来影响某一指标,这一作用叫做交互作用。
我们看一个简单例子:
有四块试验田,用不同方式施肥,施肥情况及亩产见下表,
施肥情况
磷肥(0kg)
磷肥(4kg)
氮肥(0kg)
200kg粮/亩
250kg粮/亩
氮肥(6kg)
230kg粮/亩
340kg粮/亩
从表中可以看出,4kg磷肥的增产作用为50kg,6kg氮肥亩产增加30kg,当氮肥和磷肥都加时增产140kg,这里的140-50-30=60kg就为氮肥和磷肥联合起来所发挥的作用,即交互作用的结果。
交互作用计算方法在下面的例子中介绍。
例2:
某一种抗菌素的发酵培养基由蛋白胨(A)、葡萄糖(B)、磷盐(C)、微量元素(D)等成分组成,我们现在打算对其中的蛋白胨、葡萄糖、磷盐、微量元素四种成分的最适配比以及装量(E)进行研究,按三种水平进行试验,构成一个五因子三水平试验。
此外,还需要考察交互作用:
蛋白胨×葡萄糖,蛋白胨×磷盐,蛋白胨×微量元素。
我们选择L27(313)正交表进行设计研究。
表头
A
B
A×B
C
A×C
D
A×D
E
误差
试验
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
2
5
1
2
6
1
2
7
1
3
8
1
3
9
1
3
10
2
1
11
2
1
12
2
1
13
2
2
14
2
2
15
2
2
16
2
3
17
2
3
18
2
3
19
3
1
20
3
1
21
3
1
22
3
2
23
3
2
24
3
2
25
3
3
26
3
3
27
3
3
试验结果及计算:
表头
A
B
A×B
C
A×C
D
A×D
E
误差
试验
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
结果
1
1
1
0.69
2
1
1
0.54
3
1
1
0.98
4
1
2
0.90
5
1
2
0.84
6
1
2
0.96
7
1
3
0.81
8
1
3
0.68
9
1
3
0.39
10
2
1
0.93
11
2
1
1.15
12
2
1
0.90
13
2
2
0.86
14
2
2
0.97
15
2
2
1.17
16
2
3
0.99
17
2
3
1.13
18
2
3
0.80
19
3
1
0.69
20
3
1
1.10
21
3
1
0.91
22
3
2
0.86
23
3
2
1.16
24
3
2
1.30
25
3
3
0.66
26
3
3
1.38
27
3
3
0.73
I
5.37
7.28
7.84
7.37
7.15
8.67
8.35
8.45
7.40
7.39
7.11
7.78
8.29
II
8.90
8.21
7.64
7.51
8.86
7.69
7.05
7.09
7.55
7.82
8.20
7.68
7.30
III
8.79
7.57
7.58
8.18
7.05
6.70
7.66
7.52
8.11
7.85
7.75
7.60
7.47
S
0.9
0.08
0.2
0.31
0.23
0.22
0.1
0.11
0.04
0.02
0.07
0.01
0.07
F比
26.47
1.47
7.2
6.76
1.32
2.06
-
-
9.31
显著性
极显著
无
显著
有
无
无
显著
F0.01(2,4)=18
F0.05(2,4)=6.94
F0.10(2,4)=4.32
这里A、B交互的计算方法为:
列出交互作用表:
葡萄糖
蛋白胨
1
2
3
1
2.149
2.773
2.203
2
1.947
3.251
3.630
3
1.232
2.865
2.940
综合分析上述结果,如果不考虑交互作用,那么我们可以作如下选择:
蛋白胨选2水平,葡萄糖选2水平,磷盐选2水平,微量元素选1水平,装量选2水平。
但是,考虑到蛋白胨与葡萄糖的交互作用显著,所以参考交互作用表选择蛋白胨3水平,葡萄糖为2水平。
响应面试验设计法
上面我们看到的正交试验设计,虽然简化了试验步骤,但显然也存在着非常明显的问题:
最终确定的“水平”是人为选定的,存在随意性,有时会导致试验结构与实际情况脱节,那么有没有可能做到科学的进行多因素的试验设计呢?
目前,响应面设计法就已经走出了这一步,其原理是借助于一定数量的试验数据,利用数理统计软件,计算我们所选定的因素反映的趋势,拟合一个可以反应这种趋势的函数(曲线),在曲线上取极值就可以确定为最佳水平,这样就有可能真正做到最佳化设计。
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