数列等差数列与等比数列 01.docx
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数列等差数列与等比数列01
走近高考—高三数学总复习013数列1等差数列与等比数列1
一.知识要点
01.数列的通项公式
数列的通项公式:
数列中的通项(即第n项)关于项数n的函数表达式
02.数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+∙∙∙+an(nN*)
03.等差数列与等比数列的通项公式、求和公式及其特性
(1)等差数列的通项公式,求和公式及公式特性:
①等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)d(nN*),an=am+(n-m)d(m,nN*)
★d=
(m≠n,m,nN*)★an=an+b(nN*)
da+b=a1
②等差数列的求和公式:
Sn=
(nN*),Sn=na1+
d(nN*)
★Sn=an2+bn(nN*)★Sn=an2+bn+c(nN*)
当c=0时,数列{an}是等差数列
a+b=a1当c≠0时,数列{an}从第2项起是等差数列
(2)等比数列的通项公式,求和公式及公式特性:
①等比数列的通项公式:
an=a1∙qn-1(nN*),an=am∙qn-m(m,nN*)
②等比数列的求和公式:
若公比q=1,则Sn=na1
若公比q≠1,Sn=
(nN*),Sn=
(nN*)
★Sn=A(1-tn)(nN*)★Sn=A∙Bn+C(nN*)
qAt≠0,t≠1qA+C=0,ABC≠0,B≠1
☆隐含条件:
①an≠0(nN*),q≠0;②若各项和存在,则q(-1,0)∪(0,1)
04.已知Sn,求an的基本方法:
an=
★an是否为分段函数形式的基本判断方法
05.数列{an}的递推公式
06.证明数列{an}是等差数列、等比数列的基本方法
(1)证明数列{an}是等差数列的基本方法
①第一步,求首项(若仅仅是证明,这一步可省略)
第二步,通过推理得:
对一切nN*,an+1-an=常数
第三步,下结论
★常数的含义:
与n无关
②通过推理得:
对一切nN*,an,an+1,an+2成等差数列
即对一切nN*,恒有2an+1=an+an+2
★a,b,c成等差数列
(2)证明数列{an}是等比数列的基本方法
①第一步,求首项,并证明其不等于0(这一步不可省略)
第二步,通过推理得:
对一切nN*,
=非零常数
第三步,下结论
②通过推理得:
对一切nN*,an,an+1,an+2成等比数列
即对一切nN*,恒有a
=an∙an+2≠0
★a,b,c成等比数列
07.等差中项与等比中项
若a,b,c成等差数列,则称b是a,c的等差中项
★x,y的等差中项是
若a,b,c成等比数列,则称b是a,c的等比中项
★x,y的等比中项是
08.等差数列与等比数列的等距性
设m,n,p,qN*,且m+n=p+q
若数列{an}是等差数列,则am+an=ap+aq
若数列{an}是等比数列,则am∙an=ap∙aq
★特别注意:
在运用等比数列的等距性时,注意隐含条件:
等比数列的的奇数项同号,偶数项同号
09.数列的单调性
若对一切nN*,都有an+1>an,则数列{an}单调递增
若对一切nN*,都有an+1 ★设数列{an}是等差数列 则数列{an}单调递增,数列{an}单调递减 ★设数列{an}是等比数列 则使数列{an}单调递增的条件可以是 使数列{an}单调递减的条件可以是 10.数列的周期性 若对一切nN*,存在tN*,是an+t=an恒成立,则数列{an}是周期数列,它的一个周期为t 11.等差数列与等比数列之间的类比性 (1)基本类比思想 等差数列 加 减 乘 除 等比数列 乘 除 乘方 开方 (2)通项公式之间的类比 (3)等距性之间的类比 二.配套例题讲解 01.已知等差数列{an}的首项a1=7,公差d=4 则数列{an}的通项公式是,前n项和Sn= 02.已知等差数列{an}的首项a1=7,公差d=-3 则数列{an}的通项公式是,前n项和Sn= 03.等差数列{an}中,a3=11,公差d=5 则数列{an}的通项公式是,前n项和Sn= 04.等差数列{an}中,a3=11,a7=-1 则数列{an}的通项公式是,前n项和Sn= 05.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则其通项公式是 06.已知数列{an}的前n项和Sn=-3n2+2n,则其通项公式是 07.已知数列{an}的前n项和Sn=-3n2+2n+1,则其通项公式是 08.已知数列{an}的前n项和Sn=-3n2+2n,求其通项公式 09.已知数列{an}的前n项和Sn=-3n2+2n+1,求其通项公式 10.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+t 则实数t=,数列{an}的通项公式是 11.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2∙3n+1+t 则实数t=,数列{an}的通项公式是 12.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1-3,则其通项公式是 13.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1+3,则其通项公式是 14.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1-3,求其通项公式 15.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1+3,求其通项公式 16.已知数列{an}的前n项和Sn=23n-3n2+2n-2,求其通项公式 17.已知数列{an}的前n项和Sn=23n-3n2+2n+1,求其通项公式 18.已知数列{an}的前n项和Sn满足lg(Sn+1)=n(nN*),则数列{an}的通项公式是 19.已知a1+2a2+3a3+∙∙∙+nan=n(n+1)(n+2)(nN*),求数列{an}的通项公式及其前n项 和Sn 20.已知a1a2a3∙∙∙an=n2(nN*),求数列{an}的通项公式 21.已知数列{an}的前n项和Sn满足log Sn=n+ (nN*),则数列{an}是[] (A)公比为 的等比数列(B)公差为 的等差数列 (C)公比为 的等比数列(D)既不是等差数列,也不是等比数列 22.已知数列{an}的通项公式是an= (nN*),则a2008= 23.等差数列{an}中,a1=2008,d=-3,则数列{an}的递推公式是 24.已知数列{an}的通项公式为an= (nN*),则0.98(填“是”或填“不 是”)数列{an}中的项 如果你认为0.98是数列{an}中的项,则0.98是数列{an}中的第项 如果你认为0.98不是数列{an}中的项,则0.98与数列{an}中的第项最接近 25.已知数列{an}中,a1=1,an+1=n2+n+1(nN*),则数列{an}的通项公式是: 26.已知数列{an}中,a1=2,an+1=n2+n+1(nN*),则数列{an}的通项公式是: 27.已知集合A={1,2,3},若数列a1,a2,a3的各项均为集合A中的元素,则这样的数 列有个 28.已知数列{an}的前3项依次是-1,1,-1,请写出数列{an}的一个通项公式 29.已知数列{an}的前3项依次是1,8,27,请写出数列{an}的一个通项公式 30.请写出数列a,b,a,b,a,b,∙∙∙的一个通项公式: 31.请写出数列1,1,2,2,3,3,∙∙∙的一个通项公式: 32.已知数列{an}中,a1=2,且对一切m,nN*,恒有an+m=am+an, (1)求证: 数列{an}是等差数列 (2)求数列{an}的通项公式 33.对32题进行类比,请写出类似的一个真命题,并证明之 34.已知数列{an}的通项公式为an=3n+log2n(nN*),从数列{an}中依次抽取第2项, 第4项,第8项,∙∙∙,第2n项,∙∙∙,按原来的顺序组成一个新的数列{bn},求数 列{bn}的通项公式及其前n项的和Sn 三.配套训练试题 01.下列命题中,不正确的是[] (A)若对一切nN*,点(n,an)都在直线y=kx+b上,则数列{an}是等差数列 (B)若对一切nN*,点(n,an)都在曲线y=ax(a>0)上,则数列{an}是等比数列 (C)若对一切nN*,点(n,Sn)都在直线y=kx上,且Sn是数列{an}的前n项的和, 则数列{an}是等差数列 (D)若对一切nN*,点(n,Sn)在曲线y=ax(a>0)上,且Sn是数列{an}的前n项的 和,则数列{an}是等比数列 02.已知a,b,c成等比数列,且11,则[] (A)log x,log x,log x是等差数列(B)log x,log x,log x是等比数列 (C) , , 是等差数列(D) , , 是等比数列 03.已知数列{an}是公差为0的等差数列,数列{bn}是公比为1的等比数列,则下列判断 中,正确的序号是 ①对一切nN*,an=bn②数列{an}是等比数列 ③数列{bn}是等差数列④数列{an+bn}是公差为0等差数列 04.观察右图中规律,下列各图中,正确的是[] 05.已知数列{an}的通项公式是an=2n+ (nN*),则其前n项和Sn= 06.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+ n(nN*),则其通项公式是 07.数列{an}中,an+1=an+3(nN*),则a2-a4+a6-a8+a10-a12+∙∙∙+a2006-a2008= 08.设数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n(nN*),则数列{a2n}的前2n项和Tn= 09.已知数列{an}中,a1=2,3an+1-an=0(nN*),又bn是an与an+1的等差中项(nN*), 则数列{bn}的前n项和Sn= 10.已知数列{an}的前n项和Sn= (3n-1)(nN*),则通项公式an= 11.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1 (1)a1+a3+a5+∙∙∙+a2n-1= (2)a12+a22+a32+∙∙∙+an2= 12.一个凸n边形的各内角的度数成等差数列,公差为10º,最小内角为100º,则这个凸n 边形的边数n= 13.数列1, , , , , , , , , , , , , , ,∙∙∙中,第n项的 值为2008,则正整数n的最小值为 14.如图,在表格的每一个空格内填写一个正数,使每一行成等 比数列,每一列成等差数列,则a+b+c= 15.设数列{an}的前n项的和为Sn,称 为数列a1,a2,a3,∙∙∙,an的 凯森和.若数列b1,b2,b3,∙∙∙,b99的凯森和为1000,则数列1,b1,b2,b3,∙∙∙,b99 的凯森和为[] (A)1001(B)991(C)999(D)990 16.我们把使a1∙a2∙a3∙∙∙∙∙anZ的正整数n叫做劣数. 设an=logn+1(n+2)(nN*),则在区间[1,2008]内,所有劣数之和为 17.在等差数列{an}中,若a12=0,则a1+a2+∙∙∙+an=a1+a2+∙∙∙+a23-n(n<23,nN*).类似 的,在等比数列{bn}中,若b9=1,则 18.已知等比数列{an}的前n项的和为Sn=35n+p (1)求p的值 (2)求数列{an}的通项公式 19.已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+∙∙∙+2n-1∙an=4n-1(nN*) (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{an}的前n项和Sn 20.等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是一等比数列的前三项, 则此等比数列的公比q的值是 21.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,数列{abn}是等比数列,b1=1,b2=5,b3=17 (1)求等比数列{abn}的公比q (2)求数列{bn}的通项公式 (3)求数列{bn}的前n项和Sn 走近高考—高三数学专题复习数列1等差数列与等比数列1解答 01.D02.C03.③④04.B05.Sn=n2+ n(nN*)06.Sn=4n- (nN*) 07.-301208.Tn=16n2+10n(nN*)09.Sn=2[1-( )n](nN*)10.an=53n-1(nN*) 11. (1) ; (2) 12.813.201502914.3815.B16.2026 17.b1b2∙∙∙bn=b1b2∙∙∙a17-n(n<17,nN*)18. (1)p=-3; (2)an=125n-1(nN*) 19. (1)an=32n-1(nN*); (2)an=3(2n-1)(nN*)20.4 21. (1)q=3; (2)bn=23n-1-1(nN*);(3)Sn=3n-1-n-1(nN*)
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