八年级数学下册新版北师大版精品导学案第一章 三角形的证明.docx
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八年级数学下册新版北师大版精品导学案第一章三角形的证明
八年级数学下册(新版北师大版)精品导学案【第一章三角形的证明】
数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————
第一章三角形的证明
第一节等腰三角形
(一)
【学习目标】
1、理解证明基础的几条公理的内容,用这些公理证明等腰三角形的性质定理;
2、熟悉证明的基本步骤和书写格式;
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】
重点:
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法。
难点:
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、两边及其________对应相等的两个三角形全等(SAS);
2、两角及其________对应相等的两个三角形全等(ASA);
3、________对应相等的两个三角形全等(SSS);
4、________及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);
5、全等三角形的对应边________,对应角________。
6、有__________的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做____,两腰的夹角叫做_____,腰与底边的夹角叫做________,____________________________的三角形叫做等边三角形。
7、阅读教材:
第1节《等腰三角形》。
二、教材精读
8、已知:
△ABC是等腰三角形,AB=AC
求证:
∠B=∠C(提示:
利用三角形全等证明。
你能想到哪些方法?
)
归纳:
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);推理格式:
∵AB=AC,∴_________(等边对等角)
2、推论(三线合一):
;推理格式:
①∵AB=AC,AD⊥BC,②∵AB=AC,BD=DC,③∵AB=AC,___平分____,∴BD=DC,AD平分_____,∴___⊥___,___平分_____,∴________________,实践练习:
1、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm,则周长为____。
2、如图在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,∠BAC=100°。
求:
∠1、∠B的度数。
3BC
1BC
数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————模块二合作探究
9、如图,已知∠D=∠C,∠A=∠B,且AE=BF。
求证:
AD=BC。
D
F
10、如图,在△ABC中,D为AC上一点,并且AB=AD,DB=DC,若∠C=29°,求∠A。
A
BC
模块三形成提升
1、填空:
A
(1)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD。
请找出所有的等腰三角形_________。
D
(2)等腰三角形的顶角为50°,则它的底角为_________。
(3)等腰三角形的一个角为40°,则另两个角为_。
(4)等腰三角形的一个角为100°,则另两个角为_。
BC
(5)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于__度。
2、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC。
求证:
∠1=∠2。
A
EFBC
模块四小结反思
一、本课知识:
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);
2、推论(三线合一):
;
二、本课典例:
利用等腰三角形的性质和定理和三角形的全等,求角和边。
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
)
2
数学专题之【精品导学案】
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第一章三角形的证明
第一节等腰三角形
(二)
【学习目标】
1.经历“探索—发现—猜想—证明”过程,用三角形全等证明等腰三角形的一些线段相等。
2.借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点:
证明等腰三角形的一些线段相等。
难点:
能够用综合法证明等腰三角形的有关性质和定理。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);
2、推论(三线合一):
;
3、阅读教材:
第1节《等腰三角形》
二、教材精读
4、证明:
等腰三角形的两底角的角平分线相等
已知:
如图,△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线,求证:
BD=CE
证明:
∵AB=AC()
∴________________(等边对等角)
又∵BD、CE是△ABC的角平分线,
1∴∠∠ABC,∠ECB=________,AED∴∠DBC=∠ECB
∴在△BCE与△CBD中,
2
5、推理论证:
等腰三角形两腰上的中线(高)相等;(画图、写出已知、求证、证明过程)已知:
如图,
求证:
证明:
归纳:
等腰三角形两腰上的中线(高线)、两底角的平分线_____。
6、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=BC,求证:
∠A=∠B=∠C
B
归纳:
等边三角形的三个内角都_______,并且每个内角都等于____°。
3C
数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————模块二合作探究
116、在如图的等腰三角形ABC中,
(1)如果∠ABD=∠ABC∠ACB,33
那么BD=CE吗?
由此,你能得到一个什么结论?
EAD
11
(2)如果,,那么BD=CE吗?
由此你得到什么结论?
22
7、如图,ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD=CE。
求证:
ABC是等腰三角形。
A
E
BC
模块三形成提升
1、如图,E是△ABC内的一点,AB=AC,连接AE、BE、CE,且BE=CE,延长AE,交BC
边于点D。
求证:
AD⊥BC。
A
BD
2、已知:
如图,点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证:
BD=CE
模块四小结反思
一、本课知识:
1、等腰三角形两腰上的中线(高线)、两底角的平分线_____。
2、等边三角形的三个内角都_______,并且每个内角都等于____°。
二、本课典例:
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
)
4
数学专题之【精品导学案】
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第一章三角形的证明
第一节等腰三角形(三)
【学习目标】
1、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
2、运用等腰三角形的判定定理解决一些实际问题。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点:
等腰三角形的判定定理。
难点:
灵活运用等腰三角形的判定定理和性质解决实际问题。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);
2、推论(三线合一):
;
3、证明三角形全等的方法:
SAS、_______、_______、_______.
4、阅读教材:
第1节《等腰三角形》
二、教材精读
5、已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:
AB=AC(提示:
构造两个全等三角形证明)
B
归纳:
1、有两个角相等的三角形是______三角形。
(简称“等角对等边”)
推理格式:
∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)C
2、反证法证明问题的一般步骤:
从结论的_出发,先假设命题的结论__,然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相__的结果,从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为____。
实践练习:
1、用反证法证明:
在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。
2、如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,求证:
△ADE是等腰三角形。
D
B
5EC
数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————模块二合作探究
A1、如图,在ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,DE∥BC。
求证:
△EBD是等腰三角形。
DE
B
2、如图,一艘船从A处出发,以18节的速度向正北航行,经过10时到达B处。
分别从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°。
求B处到灯塔C的距离。
NCB
A模块三形成提升
1、已知:
如图,在三角形ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC
于M.求证:
MD=ME.
2、用反证法证明:
一个三角形中不能有两个直角。
模块四小结反思
一、本课知识:
1、等腰三角形的判定定理:
(简称“等角对等边”);
2、反证法:
___________;_____________________________________________________________________________
二、本课典例:
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
)
6
数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————模块二合作探究
A1、如图,在ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,DE∥BC。
求证:
△EBD是等腰三角形。
DE
B
2、如图,一艘船从A处出发,以18节的速度向正北航行,经过10时到达B处。
分别从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°。
求B处到灯塔C的距离。
NCB
A模块三形成提升
1、已知:
如图,在三角形ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC
于M.求证:
MD=ME.
2、用反证法证明:
一个三角形中不能有两个直角。
模块四小结反思
一、本课知识:
1、等腰三角形的判定定理:
(简称“等角对等边”);
2、反证法:
___________;_____________________________________________________________________________
二、本课典例:
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
)
6
数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————模块二合作探究
A1、如图,在ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,DE∥BC。
求证:
△EBD是等腰三角形。
DE
B
2、如图,一艘船从A处出发,以18节的速度向正北航行,经过10时到达B处。
分别从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°。
求B处到灯塔C的距离。
NCB
A模块三形成提升
1、已知:
如图,在三角形ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC
于M.求证:
MD=ME.
2、用反证法证明:
一个三角形中不能有两个直角。
模块四小结反思
一、本课知识:
1、等腰三角形的判定定理:
(简称“等角对等边”);
2、反证法:
___________;_____________________________________________________________________________
二、本课典例:
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
)
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数学专题之【精品导学案】
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第一章三角形的证明
第一节等腰三角形(四)
【学习目标】
1、能够用综合法证明等边三角形的判定定理,进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
2、运用等边三角形的性质和判定定理证明直角三角形的有关性质。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点:
等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质。
难点:
运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、三边都_________的三角形是等边三角形。
2、等边三角形的三个内角都__________,并且都等于______。
3、等腰三角形的判定:
有__________相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)
4、等腰三角形的性质:
等腰三角形两底角_______(简称“____________”)
5、阅读教材:
第1节《等腰三角形》
二、教材精读6、已知:
如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C。
求证:
△ABC是等边三角形。
证明:
∵∠A=∠B,∠B=∠C
∴AC=____,AB=______,
∴
7、一个等腰三角形满足什么条件便称为等边三角形?
8、已知:
如图△ABC是直角三角形,∠BAC=30°,求证:
BC=BC1AB2
B2
CD证明:
延长BC到D,使CD=BC,再连接∴在△ABC和△ADC中,∵△ABC是直角三角形,∴∠1=_____°又∠1+∠2=180°,所以∠2=_____
归纳:
1、等边三角形的判定
1)三条边都_______的三角形是等边三角形。
2)三个_____都相等的三角形是等边三角形。
3)有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形。
2、等边三角形是特殊的________三角形,它具有等腰三角形的一切性质,除此之外,它还具有每个内角都是_____的特殊性质。
3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的________。
模块二合作探究
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数学专题之【精品导学案】
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9、填空:
(1)如图1,BC=AC,若,则△ABC是等边三角形。
(2)如图2,AB=AC,AD⊥BC,BD=4,若AB=,则△ABC是等边三角形。
(3)如图3,在RtABC中,∠B=30°,AC=6cm,则AB=;若AB=7,则AC=。
A
BCB图1图2图3
10、已知:
如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于D、E。
求证:
△ADE是等边三角形。
A证明:
∵DE∥BC
∴
E
BC
11、如图,在RtABC中,∠B=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长。
A
ã
DC
模块三形成提升
1、已知:
ABC中,ACB90,CDAB,A30,AB=40,求DB的长。
DB
2、如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD。
模块四小结反思
一、本课知识:
1、三条边都_______的三角形是等边三角形。
2、三个_____都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。
4、在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的________。
二、本课典例:
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
)
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数学专题之【精品导学案】
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第一章三角形的证明
第二节直角三角形
(一)
【学习目标】
1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
2、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不
一定成立。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点:
勾股定理及其逆定理。
难点:
结合具体例子了解逆命题的概念。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、直角三角形:
有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
2、边的关系:
直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
角的关系:
直角三角形的两个锐角_________。
3、有两个角___________的三角形是直角三角形。
4、在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、阅读教材:
第2节《直角三角形》
二、教材精读
6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。
解:
①S1+下底)×高=2
②S2=
因为S1=S2,所以
归纳:
勾股定理:
直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
7、已知:
如图,在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证:
△ABC是直角三角形。
证明:
作出Rt△A’B’C’,使∠A=90°,A’B’=AB,A’C’=AC,则
B’C’2=_____________(勾股定理)
∵AB2+AC2=BC2,A’B’=AB,A’C’=AC,
∴BC2=B’C’2
∴BC=_______
∴在△ABC和△A’B’C’中,
∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等)∴△ABC≌△A’B’C’(______)
因此,△ABC是直角三角形。
,归纳:
1、勾股定理的逆定理:
∵AB2+AC2=BC2,∴∠___=90°(△ABC是直角三角形)
2、互逆命题:
在两个命题中,如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______,那么这两个命题称为__________,其中一个命题称为另一个命题的__________。
3、互逆定理:
一个命题是真命题,它的逆命题却______是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为________,其中一个定理称为另一个定理的________。
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数学专题之【精品导学案】
———————————————————————————————————————模块二合作探究
8、已知:
如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=9。
5
(1)求DC的长;
(2)求AD的长;(3)求AB的长;(4)求证:
△ABC是直角三角形.
9、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图5所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?
最低造价是多少?
10、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假。
(1)如果ab=0,那么a=0,b=0;
(2)初三(6)班有62位同学;(3)等边对等角;
11、找出下列定理有哪些存在逆定理,并把它写出来。
(1)如果xy,则xy
(2)全等三角形对应角相等(3)对顶角相等
模块三形成提升
1、直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为;直角三角形的两边分别为13和5,则另一条边为。
如果三角形的三边长是6、10、8,则这个三角形是三角形。
2、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,求:
AD22
模块四小结反思
一、本课知识:
1、勾股定理:
直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
2、如果三角形两边的平方___等于第三边的______,那么这个三角形是____三角形。
二、本课典例:
三、我的困惑:
(你一定要认真思考哦!
把它写在下面,好吗?
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数学专题之【精品导学案】
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第一章三角形的证明
第二节直角三角形
(二)
【学习目标】
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法,能够证明直角三角形全等“HL”判定定理
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】直角三角形全等“HL”判定定理。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、一般三角形全等判定方法有:
。
2、直角三角形的判定:
①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
②有两个角互余的三角形是_____三角形。
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______,那么这个三角形是____三角形。
3、阅读教材:
第2节《直角三角形》
二、教材精读
4、已知:
如图,△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°,且AB=A’B’,BC=B’C’,求证:
△ABC≌△A’B’C’
证明:
Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
222AC=___________,A’C’=____________,(勾股定理)
∵AB=A’B’,BC=B’C’,’
2∴AC=______∴AC=_______
∴△ABC≌A’B’C’()
归纳:
斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。
(“斜边、直角边”或“__”)推理格式:
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°
∵’B’
BC=B’C’
∴△AB
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