一元二次方程解析版.docx
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一元二次方程解析版
专题2一元二次方程
考点解析
考点1.一元二次方程的定义
(1)一元二次方程的定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
(2)概念解析:
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:
“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.
考点2.一元二次方程的一般形式
(1)一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.
其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数,二次项系数a是不等于0的实数,这是因为当a=0时,方程中就没有二次项了,所以,此方程就不是一元二次方程了.
(2)要确定二次项系数,一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式.
考点3.一元二次方程的解
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量.
ax12+bx1+c=0(a≠0),ax22+bx2+c=0(a≠0).
考点4.解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±
;
如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±
.
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.
③方法是根据平方根的意义开平方.
考点5.解一元二次方程-配方法
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
考点6.解一元二次方程-公式法
(1)把x
(b2﹣4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程无实数根);
③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:
用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:
①a≠0;②b2﹣4ac≥0.
考点7.解一元二次方程-因式分解法
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
考点8.换元法解一元二次方程
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
考点9.根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
考点10.根与系数的关系
(1)若二次项系数为1,常用以下关系:
x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2
,x1x2
,反过来也成立,即
(x1+x2),
x1x2.
(3)常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
考点11.由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程.
实战演练
一、精心选一选
1.(兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.
B.ax2+bx+c=0
C.(x﹣1)(x+2)=1D.3x2﹣2xy﹣5y2=0
【点拨】一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
【解答】解:
A、原方程为分式方程;故A选项错误;
B、当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程就不是一元二次方程;故B选项错误;
C、由原方程,得x2+x﹣3=0,符合一元二次方程的要求;故C选项正确;
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数;故D选项错误.
故选:
C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2.(菏泽)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,则m等于( )
A.1B.2C.1或2D.0
【点拨】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组,求出m的值即可.
【解答】解:
根据题意,知,
,
解方程得:
m=2.
故选:
B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
3.(2019•兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )
A.﹣2B.﹣3C.﹣1D.﹣6
【点拨】先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=﹣1,然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值.
【解答】解:
把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,
所以a+2b=﹣1,
所以2a+4b=2(a+2b)=2×(﹣1)=﹣2.
故选:
A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
4.(2017•准格尔旗二模)给出一种运算:
对于函数y=xn,规定y'=nxn﹣1.例如:
若函数y=x4,则有y'=4x3.已知函数y=x3,则方程y'=36的解是( )
A.x1=x2=0B.x1=2
,x2=﹣2
C.x1=2,x2=﹣2D.x1=4,x2=﹣4
【点拨】根据新定义得出3x2=36,利用直接开平方法求解可得.
【解答】解:
根据题意得3x2=36,
即x2=12,
解得:
x1=2
,x2=﹣2
,
故选:
B.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和新定义的理解,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
5.(2019•泰州)方程2x2+6x﹣1=0的两根为x1、x2,则x1+x2等于( )
A.﹣6B.6C.﹣3D.3
【点拨】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:
由于△>0,
∴x1+x2=﹣3,
故选:
C.
【点睛】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
6.(2019•南通)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=﹣9B.(x+4)2=﹣7C.(x+4)2=25D.(x+4)2=7
【点拨】方程移项后,利用完全平方公式配方即可得到结果.
【解答】解:
方程x2+8x+9=0,整理得:
x2+8x=﹣9,
配方得:
x2+8x+16=7,即(x+4)2=7,
故选:
D.
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
7.(2019春•包河区期末)用公式法解方程3x2+5x+1=0,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【点拨】利用求根公式求出解即可.
【解答】解:
这里a=3,b=5,c=1,
∵△=25﹣12=13,
∴x
,
故选:
A.
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
8.(2019•通辽)一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15=0的一个根,其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为( )
A.48B.24C.24或40D.48或80
【点拨】利用因式分解法解方程得到x1=5,x2=3,利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6,然后计算
菱形的面积.
【解答】解:
(x﹣5)(x﹣3)=0,
所以x1=5,x2=3,
∵菱形一条对角线长为8,
∴菱形的边长为5,
∴菱形的另一条对角线为2
6,
∴菱形的面积
6×8=24.
故选:
B.
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角形三边的关系.也考查了三角形三边的关系和菱形的性质.
9.(2019•烟台)当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
【点拨】由b+c=5可得出c=5﹣b,根据方程的系数结合根的判别式可得出△=(b﹣6)2+24,由偶次方的非负性可得出(b﹣6)2+24>0,即△>0,由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根.
【解答】解:
∵b+c=5,
∴c=5﹣b.
△=b2﹣4×3×(﹣c)=b2+12c=b2﹣12b+60=(b﹣6)2+24.
∵(b﹣6)2≥0,
∴(b﹣6)2+24>0,
∴△>0,
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根.
故选:
A.
【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
10.(2019秋•长葛市校级月考)若实数x,y满足(x2+y2+3)(x2+y2﹣3)=0,则x2+y2的值为( )
A.3或﹣3B.3C.﹣3D.1
【点拨】设t=x2+y2(t≥0),则原方程转化为(t+3)(t﹣3)=0,由因式分解法解该方程即可.
【解答】解:
设t=x2+y2(t≥0),则原方程转化为(t+3)(t﹣3)=0,
所以t+3=0或t﹣3=0.
所以t=﹣3(舍去)或t=3,
即x2+y2的值为3.
故选:
B.
【点睛】考查了换元法解一元二次方程,换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
二、细心填一填
11.(2019•桂林)一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=0的根是 x1=3,x2=2 .
【点拨】利用因式分解法把方程化为x﹣3=0或x﹣2=0,然后解两个一次方程即可.
【解答】解:
x﹣3=0或x﹣2=0,
所以x1=3,x2=2.
故答案为x1=3,x2=2.
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
12.(2019•威海)一元二次方程3x2=4﹣2x的解是 x1
,x2
.
【点拨】直接利用公式法解方程得出答案.
【解答】解:
3x2=4﹣2x
3x2+2x﹣4=0,
则b2﹣4ac=4﹣4×3×(﹣4)=52>0,
故x
,
解得:
x1
,x2
.
故答案为:
x1
,x2
.
【点睛】此题主要考查了公式法解方程,正确掌握公式法是解题关键.
13.(2019秋•江阴市期中)已知(m﹣3)x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 m≠3 .
【点拨】根据一元二次方程的定义:
未知数的最高次数是2;二次项系数不为0,由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
【解答】解:
由题意,得
m﹣3≠0.
解得m≠3,
故答案为:
m≠3.
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
14.(2019春•阜阳期中)把一元二次方程(﹣x﹣1)2=3化为一般形式是 x2+2x﹣2=0 .
【点拨】方程利用完全平方公式化简,整理即可得到结果.
【解答】解:
方程整理得:
x2+2x+1=3,即x2+2x﹣2=0,
故答案为:
x2+2x﹣2=0
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
15.(2019•济宁)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是 ﹣2 .
【点拨】根据根与系数的关系得出x1x2
2,即可得出另一根的值.
【解答】解:
∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,
∴x1x2
2,
∴1×x2=﹣2,
则方程的另一个根是:
﹣2,
故答案为﹣2.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.
16.(呼和浩特)若实数a、b满足(4a+4b)(4a+4b﹣2)﹣8=0,则a+b=
或1 .
【点拨】设a+b=x,则原方程转化为关于x的一元二次方程,通过解该一元二次方程来求x即(a+b)的值.
【解答】解:
设a+b=x,则由原方程,得
4x(4x﹣2)﹣8=0,
整理,得16x2﹣8x﹣8=0,即2x2﹣x﹣1=0,
分解得:
(2x+1)(x﹣1)=0,
解得:
x1
,x2=1.
则a+b的值是
或1.
故答案是:
或1.
【点睛】本题主要考查了换元法,即把某个式子看作一个整体,用一个字母去代替它,实行等量替换.
17.(2019•攀枝花)已知x1,x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,则x12+x22= 6 .
【点拨】根据根与系数的关系变形后求解.
【解答】解:
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,
∴x1+x2=2,x1×x2=﹣1,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=22﹣2×(﹣1)=6.
故答案为:
6.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程两个为x1,x2,则x1+x2
,x1•x2
.
18.(2019•吉林)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 5(答案不唯一,只要c≥0即可) (写出一个即可).
【点拨】由于方程有实数根,则其根的判别式△≥0,由此可以得到关于c的不等式,解不等式就可以求出c的取值范围.
【解答】解:
一元二次方程化为x2+6x+9﹣c=0,
∵△=36﹣4(9﹣c)=4c≥0,
解上式得c≥0.
故答为5(答案不唯一,只要c≥0即可).
【点睛】本题主要考查根与系数的关系,根的判别式,关键在于求出c的取值范围.
19.(2019•台安县一模)如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(m﹣n)2018= 1
【点拨】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值,即可得到结果.
【解答】解:
由(x+m)2=3,得:
x2+2mx+m2﹣3=0,
∴2m=4,m2﹣3=n,
∴m=2,n=1,
∴(m﹣n)2018=1,
故答案为:
1.
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
20.(2019•泰安)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 k
.
【点拨】根据方程有两个不相等的实数根可得△=(2k﹣1)2﹣4(k2+3)>0,求出k的取值范围;
【解答】解:
∵原方程有两个不相等的实数根,
∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2+3)=﹣4k+1﹣12>0,
解得k
;
故答案为:
k
.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.
三、耐心做一做
21.(2019•北京)关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
【点拨】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案.
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根,
∴b2﹣4ac=4﹣4(2m﹣1)≥0,
解得:
m≤1,
∵m为正整数,
∴m=1,
∴x2﹣2x+1=0,
则(x﹣1)2=0,
解得:
x1=x2=1.
【点睛】此题主要考查了根的判别式,正确得出m的值是解题关键.
22.(2019•巴中)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两不相等的实数根.
①求m的取值范围.
②设x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17=0,求m的值.
【点拨】①根据“关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两不相等的实数根”,结合判别式公式,得到关于m的不等式,解之即可,
②根据“x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17=0”,结合根与系数的关系,列出关于m的一元二次方程,解之,结合
(1)的结果,即可得到答案.
【解答】解:
①根据题意得:
△=(2m+1)2﹣4(m2﹣1)>0,
解得:
m
,
②根据题意得:
x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2﹣1,
x12+x22+x1x2﹣17
x1x2﹣17
=(2m+1)2﹣(m2﹣1)﹣17
=0,
解得:
m1
,m2=﹣3(不合题意,舍去),
∴m的值为
.
【点睛】本题考查了根与系数的关系,根的判别式,解题的关键:
①正确掌握判别式公式,②正确掌握根与系数的关系.
23.(2018春•昭平县期中)已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0.
(1)求m的值;
(2)求此时一元二次方程的解.
【点拨】
(1)直接利用常数项为0,进而得出关于m的等式进而得出答案;
(2)利用
(1)中所求得出方程的解.
【解答】解:
(1)由题意,得:
m2﹣3m+2=0
解之,得m=2或m=1①,
由m﹣1≠0,得:
m≠1②,
由①,②得:
m=2;
(2)当m=2时,代入(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,
得x2+5x=0,
x(x+5)=0
解得:
x1=0,x2=﹣5.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法,正确解方程是解题关键.
24.(海原县期中)学了一元二次方程后,学生小刚和小明都想出个问题考考对方.下面是他们俩的一段对话:
聪明的你能替小刚或小明解决问题吗?
(要求任选一人回答)
【点拨】首先选出要解答的问题:
小刚.然后根据一元二次方程的解的定义,将x=0代入方程,然后解关于m的方程即可.
【解答】解:
我替小刚解答问题;
根据题意,得
x=0满足关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0,
∴0﹣0+m2=0,
解得m=0;
∴0+x2=2(m+1),即x2=2.
故小刚的问题中m的值为0,另一个根为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系.一元二次方程的解,即方程的根,一定满足该方程.
25.(2019•安徽)解方程:
(x﹣1)2=4.
【点拨】利用直接开平方法,方程两边直接开平方即可.
【解答】解:
两边直接开平方得:
x﹣1=±2,
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2,
解得:
x1=3,x2=﹣1.
【点睛】此题主要考查了直接开平方法,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
26.(2019•常德)解方程:
x2﹣3x﹣2=0.
【点拨】公式法的步骤:
①化方程为一般形式;②找出a,b,c;③求b2﹣4ac;④代入公式x
.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣3,c=﹣2;
∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=9+8=17;
∴x
,
∴x1
,x2
.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的解法.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.此法适用于任何一元二次方程.
27.(2018•齐齐哈尔)解
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- 一元 二次方程 解析