七下方程组与不等式组综合训练1 解析版.docx
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七下方程组与不等式组综合训练1解析版
七(下)方程组与不等式组综合训练1解析版
1.(2016•万州区模拟)对x,y定义一种新运算T,规定:
T(x,y)=
(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:
T(0,1)=
=b,已知T(1,1)=2.5,T(4,﹣2)=4.
(1)求a,b的值;
(2)若关于m的不等式组
恰好有2个整数解,求实数P的取值范围.
【解答】解:
(1)根据题意得:
,
①+②得:
3a=9,即a=3,
把a=3代入①得:
b=2,
故a,b的值分别为3和2;
(2)根据题意得:
,
由①得:
m≤
,
由②得:
m>
p﹣3,
∴不等式组的解集为
p﹣3<m≤
,
∵不等式组恰好有2个整数解,即m=0,1,
∴﹣1≤
p﹣3<0,
解得
≤p<2,
即实数P的取值范围是
≤p<2.
2.(2013•邵阳)雅安地震后,政府为安置灾民,从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m2和铝材2210m2,计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间,若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示:
板房规格
板材数量(m2)
铝材数量(m2)
甲型
40
30
乙型
60
20
请你根据以上信息,设计出甲、乙两种板房的搭建方案.
【解答】解:
设甲种板房搭建x间,则乙种板房搭建(100﹣x)间,根据题意得:
,
解得:
20≤x≤21,
x只能取整数,
则x=20,21,
所以共有2种搭建方案:
方案一:
甲种板房搭建20间,乙种板房搭建80间,
方案二:
甲种板房搭建21间,乙种板房搭建79间.
3.(2013•云南)某中学为了绿化校园,计划购买一批榕树和香樟树,经市场调查榕树的单价比香樟树少20元,购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元.
(1)请问榕树和香樟树的单价各多少?
(2)根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍,请你算算,该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案.
【解答】解:
(1)设榕树的单价为x元/棵,香樟树的单价是y元/棵,
根据题意得,
,
解得
,
答:
榕树和香樟树的单价分别是60元/棵,80元/棵;
(2)设购买榕树a棵,则购买香樟树为(150﹣a)棵,
根据题意得,
,
解不等式①得,a≥58,
解不等式②得,a≤60,
所以,不等式组的解集是58≤a≤60,
∵a只能取正整数,
∴a=58、59、60,
因此有3种购买方案:
方案一:
购买榕树58棵,香樟树92棵,
方案二:
购买榕树59棵,香樟树91棵,
方案三:
购买榕树60棵,香樟树90棵.
4.(2013•成都模拟)如果关于x的不等式组
无解,求a的取值范围.
【解答】解:
由题意得:
a+2≥3a﹣2,
解得a≤2.
5.(2013•东莞模拟)若干名学生,若干间宿舍,若每间住4人将有20人无法安排住处;若每间住8人,则有一间宿舍的人不空也不满.问学生有多少人?
宿舍有几间?
【解答】解:
设宿舍有x间,则学生数有(4x+20)人,根据题意得:
,
解得:
5<x<7.
∵x为整数,
∴x=6,
∴学生有:
4×6+20=44(人).
答:
学生有44人,宿舍有6间.
6.(2012•绥化)在实施“中小学校舍安全工程”之际,某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造,根据预算,改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元,改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元.
(1)改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元?
(2)该市某县A、B两类学校共有8所需要改造.改造资金由国家财政和地方财政共同承担,若国家财政拨付的改造资金不超过770万元,地方财政投入的资金不少于210万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元,请你通过计算求出有几种改造方案,每个方案中A、B两类学校各有几所?
【解答】解:
(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元,改造一所B类学校的校舍所需资金y万元,
则
,
解得
.
答:
改造一所A类学校的校舍需资金90万元,改造一所B类学校的校舍所需资金130万元.
(2)设A类学校应该有a所,则B类学校有(8﹣a)所.
则
,
解得由①的a≤3,由②得a≥1,
∴1≤a≤3,即a=1,2,3.
答:
有3种改造方案.
方案一:
A类学校有1所,B类学校有7所;
方案二:
A类学校有2所,B类学校有6所;
方案三:
A类学校有3所,B类学校有5所.
7.(2012•麻城市校级模拟)解不等式组
,并把不等式的解集在数轴上表示出来.
【解答】解:
由3(x﹣2)+4<5x得:
3x﹣5x<6﹣4,
﹣2x<2,
x>﹣1,
由
得:
1﹣x+4x≥8x﹣4,
﹣5x≥﹣5,
x≤1,
∴﹣1<x≤1.
8.(2011•齐齐哈尔)建华小区准备新建50个停车位,以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元;新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元.
(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?
(2)若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元,则共有几种建造方案?
(3)已知每个地上停车位月租金100元,每个地下停车位月租金300元.在
(2)的条件下,新建停车位全部租出.若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修,其余收入继续兴建新车位,恰好用完,请直接写出该小区选择的是哪种建造方案?
【解答】解:
(1)设新建一个地上停车位需x万元,新建一个地下停车位需y万元,由题意得:
,
解得
,
答:
新建一个地上停车位需0.1万元,新建一个地下停车位需0.4万元;
﹙2﹚设新建m个地上停车位,则:
10<0.1m+0.4(50﹣m)≤11,
解得30≤m<
,
因为m为整数,所以m=30或m=31或m=32或m=33,
对应的50﹣m=20或50﹣m=19或50﹣m=18或50﹣m=17,
答:
有4种建造方案;
﹙3﹚当地上停车位=30时,地下=20,30×100+20×300=9000.用掉3600,剩余9000﹣3600=5400.因为修建一个地上停车位的费用是1000,一个地下是4000.5400不能凑成整数,所以不符合题意.
同理得:
当地上停车位=31,33时.均不能凑成整数.
当算到地上停车位=32时,地下停车位=18,
则32×100+18×300=8600,8600﹣3600=5000.
此时可凑成修建1个地上停车场和一个地下停车位,1000+4000=5000.
所以答案是32和18.
答:
建造方案是建造32个地上停车位,18个地下停车位.
9.(2010•仙桃)小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”.他准备购置80只相同规格的网箱,养殖A、B两种淡水鱼(两种鱼不能混养).计划用于养鱼的总投资不少于7万元,但不超过7.2万元,其中购置网箱等基础建设需要1.2万元.设他用x只网箱养殖A种淡水鱼,目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表:
项目类别
鱼苗投资
(百元)
饲料支出
(百元)
收获成品鱼(千克)
成品鱼价格
(百元/千克)
A种鱼
2.3
3
100
0.1
B种鱼
4
5.5
55
0.4
(1)小王有哪几种养殖方式?
(2)哪种养殖方案获得的利润最大?
(3)根据市场调查分析,当他的鱼上市时,两种鱼的价格会有所变化,A种鱼价格上涨a%(0<a<50),B种鱼价格下降20%,考虑市场变化,哪种方案获得的利润最大?
(利润=收入﹣支出.收入指成品鱼收益,支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)
【解答】解:
(1)设他用x只网箱养殖A种淡水鱼.由题意,得
,
解得
.
又∵x为整数,
∴39≤x≤42.
∴x=39,40,41,42.
所以他有以下4种养殖方式:
①养殖A种淡水鱼39箱,养殖B种淡水鱼41箱;②养殖A种淡水鱼40箱,养殖B种淡水鱼40箱;③养殖A种淡水鱼41箱,养殖B种淡水鱼39箱;④养殖A种淡水鱼42箱,养殖B种淡水鱼38箱.
(2)A种鱼的利润=100×0.1﹣(2.3+3)=4.7(百元),B种鱼的利润=55×0.4﹣(4+5.5)=12.5(百元).
四种养殖方式所获得的利润:
①4.7×39+12.5×41﹣120=575.8(百元);
②4.7×40+12.5×40﹣120=568(百元);
③4.7×41+12.5×39﹣120=560.2(百元);
④4.7×42+12.5×38﹣120=552.4(百元).
所以,A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
(3)价格变动后,A种鱼的利润=100×0.1×(1+a%)﹣(2.3+3)(百元),
B种鱼的利润=55×0.4×(1﹣20%)﹣(4+5.5)=8.1(百元).
设A、B两种鱼上市时价格利润相等,则有100×0.1×(1+a%)﹣(2.3+3)=8.1,
解得a=34.
由此可见,当a=34时,利润相等;当34<a<50时第④种方式利润最大;当0<a<34时,第①种方案利润最大.
10.(2009•温州)某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板,做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒 .
(1)现有正方形纸板162张,长方形纸板340张.若要做两种纸盒共100个,设做竖式纸盒x个.
①根据题意,完成以下表格:
纸盒
纸板
竖式纸盒(个)
横式纸盒(个)
x
100﹣x
正方形纸板(张)
2(100﹣x)
长方形纸板(张)
4x
②按两种纸盒的生产个数来分,有哪几种生产方案?
(2)若有正方形纸162张,长方形纸板a张,做成上述两种纸盒,纸板恰好用完.已知290<a<306.求a的值.
【解答】解:
(1)①如表:
纸盒
纸板
竖式纸盒(个)
横式纸盒(个)
x
100﹣x
正方形纸板(张)
x
2(100﹣x)
长方形纸板(张)
4x
3(100﹣x)
②由题意得,
,
解得38≤x≤40.
又∵x是整数,
∴x=38,39,40.
答:
有三种方案:
生产竖式纸盒38个,横式纸盒62个;
生产竖式纸盒39个,横式纸盒61个;
生产竖式纸盒40个,横式纸盒60个;
(2)如果设x个竖式需要正方形纸板x张,长方形纸板横4x张;y个横式需要正方形纸板2y张,长方形纸板横3y张,可得方程组
,
于是我们可得出y=
,
因为已知了a的取值范围是290<a<306,
所以68.4<y<71.6,由y取正整数,
则,当取y=70,则a=298;
当取y=69时,a=303;
当取y=71时,a=293.
293或298或303(写出其中一个即可).
11.(2009•湛江)某公司为了开发新产品,用A、B两种原料各360千克、290千克,试制甲、乙两种新型产品共50件,下表是试验每件新产品所需原料的相关数据:
原料
含量
产品
A(单位:
千克)
B(单位:
千克)
甲
9
3
乙
4
10
(1)设生产甲种产品x件,根据题意列出不等式组,求出x的取值范围;
(2)若甲种产品每件成本为70元,乙种产品每件成本为90元,设两种产品的成本总额为y元,写出成本总额y(元)与甲种产品件数x(件)之间的函数关系式;当甲、乙两种产品各生产多少件时,产品的成本总额最少?
并求出最少的成本总额.
【解答】解:
(1)依题意列不等式组得
,
由①得x≤32;
由②得x≥30;
∴x的取值范围为30≤x≤32.
(2)y=70x+90(50﹣x),
化简得y=﹣20x+4500,
∵﹣20<0,
∴y随x的增大而减小.
而30≤x≤32,
∴当x=32,50﹣x=18时,y最小值=﹣20×32+4500=3860(元).
答:
当甲种产品生产32件,乙种18件时,甲、乙两种产品的成本总额最少,最少的成本总额为3860元.
12.(2008•湘潭)我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题:
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量(吨)
6
5
4
每吨脐橙获得(百元)
12
16
10
(1)设装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式;
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?
并写出每种安排方案;
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?
并求出最大利润的值.
【解答】解:
(1)根据题意,装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车辆数为y,
那么装运C种脐橙的车辆数为(20﹣x﹣y),
则有:
6x+5y+4(20﹣x﹣y)=100
整理得:
y=﹣2x+20(1≤x≤9且为整数);
(2)由
(1)知,装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x,﹣2x+20,x.
由题意得:
解得:
4≤x≤8
因为x为整数,
所以x的值为4,5,6,7,8,所以安排方案共有5种.
方案一:
装运A种脐橙4车,B种脐橙12车,C种脐橙4车;
方案二:
装运A种脐橙5车,B种脐橙10车,C种脐橙5车,
方案三:
装运A种脐橙6车,B种脐橙8车,C种脐橙6车,
方案四:
装运A种脐橙7车,B种脐橙6车,C种脐橙7车,
方案五:
装运A种脐橙8车,B种脐橙4车,C种脐橙8车;
(3)设利润为W(百元)则:
W=6x×12+5(﹣2x+20)×16+4x×10=﹣48x+1600
∵k=﹣48<0
∴W的值随x的增大而减小.
要使利润W最大,则x=4,
故选方案一W最大=﹣48×4+1600=1408(百元)=14.08(万元)
答:
当装运A种脐橙4车,B种脐橙12车,C种脐橙4车时,获利最大,最大利润为14.08万元.
13.(2007•重庆校级模拟)甲、乙两家公司共有150名工人,甲公司每名工人月工资为1200元,乙公司每名工人月工资为1500元,两家公司每月需付给工人工资共计19.5万元.
(1)求甲、乙公司分别有多少名工人;
(2)经营一段时间后发现,乙公司工人人均月产值是甲公司工人的3.2倍,于是甲公司决定内部调整,选拔了本公司部分工人到新岗位工作.调整后,原岗位工人和新岗位工人的人均月产值分别为调整前的1.2倍和4倍,且甲公司新岗位工人的月生产总值不超过乙公司月生产总值的40%,甲公司的月生产总值不少于乙公司的月生产总值,求甲公司选拔到新岗位有多少人?
(甲公司调整前人均月产值设定为p元)
【解答】解:
(1)设甲公司有x名工人,乙公司有y名工人,
由题意得:
,
解得
.
即甲公司有100名工人,乙公司有50名工人.
(2)设甲公司选拔a人到新岗位工作,甲公司调整前人均月产值为p元,
由题意得:
,
解得
,
又∵a为整数,
∴a=15或16,
答:
甲公司选拔15人或16人到新岗位工作.
14.(2006•西岗区)某汽车经销公司计划经销A、B两种品牌的轿车50辆,该公司经销这50辆轿车的成本不少于1240万元,但不超过1244万元,两种轿车的成本和售价如下表.
A
B
成本(万元/辆)
24
26
售价(万元/辆)
27
30
(1)该公司经销这两种品牌轿车有哪几种方案,哪种方案获利最大,最大利润是多少?
(2)根据市场调查,一段时期内,B牌轿车售价不会改变,每辆A牌轿车的售价将会提高a万元(0<a<1.2),且所有两种轿车全部售出,哪种经销方案获利最大?
(注:
利润=售价﹣成本)
【解答】解:
(1)设经销A品牌轿车x辆,则经销B品牌轿车(50﹣x)辆,根据题意得
解这个不等式组得28≤x≤30
∴该公司经销这两种品牌轿车的方案有三种,即
方案一:
经销A种品牌轿车28辆,B种品牌轿车22辆,
方案二:
经销A种品牌轿车29辆,B种品牌轿车21辆,
方案三:
经销A种品牌轿车30辆,B种品牌轿车20辆.
方案一获利(27﹣24)×28+(30﹣26)×22=172万元,
方案二获利(27﹣24)×29+(30﹣26)×21=171万元,
方案三获利(27﹣24)×30+(30﹣26)×20=170万元.
∴方案一获利最大,最大利润是172万元;
(2)方案一获利(a+3)×28+4×22=172+28a万元,
方案二获利(a+3)×29+4×21=171+29a万元,
方案三获利(a+3)×30+4×20=170+30a万元.
当0<a<1时,方案一获利最大,
当a=1时,三种方案获利一样大,
当1<a<1.2时,方案三获利最大.
15.(2006•汉川市)某地为促进特种水产养殖业的发展,决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴.该地某农户在改建的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝,因资金有限,投入不能超过14万元,并希望获得不低于10.8万元的收益,相关信息如下表所示:
(收益=毛利润﹣成本+政府补贴)
养殖种类
成本(万元/亩)
毛利润(万元/亩)
政府补贴(万元/亩)
甲鱼
1.5
2.5
0.2
黄鳝
1
1.8
0.1
(1)根据以上信息,该农户可以怎样安排养殖?
(2)应怎样安排养殖,可获得最大收益?
(3)据市场调查,在养殖成本不变的情况下,黄鳝的毛利润相对稳定,而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元.问该农户又该如何安排养殖,才能获得最大收益?
【解答】解:
(1)设养甲鱼x亩,养黄鳝y亩,
由题意可得:
,
(2.5﹣1.5+0.2)x+(1.8﹣1+0.1)y≥10.8,
解得:
6≤x≤8,2≤y≤4.
因此可以有三种方案:
①养甲鱼6亩,黄鳝4亩;
②养甲鱼7亩,黄鳝3亩;
③养甲鱼8亩,黄鳝2亩.
(2)方案一的收益为1.2×6+0.9×4=10.8(万元);
方案二的收益为1.2×7+0.9×3=11.1(万元);
方案三的收益为1.2×8+0.9×2=11.4(万元).
∴安排8个水池养甲鱼,2个水池养黄鳝获得最大收益.
(3)方案一的收益为10.8﹣6m;方案二的收益为11.1﹣7m;方案三的收益为11.4﹣8m.
那么当m=0.3时三种方案收益都一样,
当m<0.3时,第三种方案即养8池甲鱼,2池黄鳝获利最多,
当m>0.3时,第一种方案即养6池甲鱼,4池黄鳝获利最多.
16.(2006•温州)如图是B、C两市到A市的公路示意图,小明和小王提供如下信息:
小明:
普通公路EA与高速公路DA的路程相等;
小王:
A、B两市的路程(B⇒D⇒A)为240千米,A、C两市的路程(C⇒E⇒A)为290千米,
小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千米/时,在高速公路DA上行驶的平均速度是90千米/时;
小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是100千米/时,在普通公路EA上行驶的平均速度是40千米/时;
小明汽车从B市到A市不超过5时;小王:
汽车扶C市到A市也不超过5时.
若设高速公路AD的路程为x千米.
(1)根据以上信息填表:
路程
(单位千米)
行驶速度
(单位:
千米/时)
所需时间
(单位:
时)
高速公路AD
普通公路BD
普通公路AE
高建公路CE
(2)试确定高速公路AD的路程范围.
【解答】解:
(1)填表如下:
路程
(单位千米)
行驶速度
(单位:
千米/时)
所需时间
(单位:
时)
高速公路AD
x
90
普通公路BD
240﹣x
30
普通公路AE
x
40
高建公路CE
290﹣x
100
(2)由题意得
,
解得135≤x≤140,
答:
高速公路AD的路程在135千米至140千米之间.
17.(2003•昆明)某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案:
每千克9元,由基地送货上门.乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司的两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式.
(2)当购买量在什么范围内时,选择哪种方案付款较少?
说明理由.
【解答】解:
(1)y甲=9x(x≥3000),y乙=8x+5000(x≥3000).
(2)当y甲=y乙时,即9x=8x+5000,
解得x=5000.
∴当x=5000千克时,两种付款一样.
当y甲<y乙时,有
解得3000≤x<5000.
∴当3000≤x<5000时,选择甲种方案付款少.
当y甲>y乙时,有x>5000,
∴当x>5000千克时,选择乙种方案付款少.
方法二:
图象法
作出它们的函数图象(如图)
由函数图象可得,当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时,选择甲方案付款最少;
当购买量等于5000千克时,两种方案付款一样;
当购买量大于5000千克时,选择乙方案付款最少.
18.(2003•黄石)随着我市教育改革的不断深入,素质教育的全面推进,我市中学生利用假期参加社会实践活动调查的越来越多,张同学在我市J牌公司实习调查时,计划发展部给了他一份实习作业:
在下述条件下,规划一个月的产量:
假如公司生产部有工人200名,每个工人的月劳动时间不超过192小时,生产一件J牌产品需要一个工人劳动2小时;本月将剩余原料60吨,下个月准备购进出300吨,每件J牌产品需原料20公斤;经市场调查,预计下月市场对J牌产品需求量为16000件,公司准备充分保证市场需求.请你和张同学一起规划下个月的产量范围(设下个月的产量为x件).
【解答】解:
设下个月的产量为x件,
根据题意得
,
解得,16000≤x≤18000
答:
下个月的产量不少于16000件,不多于18000件.
19.(2011•乐山)已知关于x、y的方程组
的解满足不等式x+y<3,求实数a的取值范围.
【解答】解:
,
①+②得,3x=6a+3,
解得x=2a+1,
将x=2a+1代入①得,y=2a﹣2,
∵x+y<3,
∴2a+1+2a﹣2<3,
即4a<4,
a<1.
20.(2011•温州)2011年5月20日是第22个中国学生营养日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).根据信息,解答下列问题.
(1)求这份快餐中所含脂肪质量;
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的质量;
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值.
【解答】解:
(1)400×5%=20克.
答:
这份快餐中所含脂肪质量为20克
(2)设400克快餐所含矿物质的质量为x克,由题意得:
x+4x+20+400×40%=40
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