对数函数及其性质对数定律互化详尽讲解.docx
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对数函数及其性质对数定律互化详尽讲解
.
对数与对数运算
1.对数的观点
一般地,假如ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,
此中a叫做对数的底数,N叫做真数.
说明:
(1)实质上,上述对数表达式,可是是指数函数y=ax的另一种表达形式,比如:
34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系,所以,有关系式ax=N?
x=logaN,从
而得对数恒等式:
alogaN=N.
(2)“log〞同“+〞“×〞“〞等符号同样,表示一种运算,即一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,可是对数运算的符号写在数的前面.
(3)依据对数的定义,对数logaN(a>0,且a≠1)拥有以下性质:
①零和负数没有对数,即N>0;
②1的对数为零,即loga1=0;
③底的对数等于1,即logaa=1.
2.对数的运算法那么
利用对数的运算法那么,能够把乘、除、乘方、开方的运算转变为对数的加、减、乘、除
运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加速计算速度.
(1)根本公式
①loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和.
M
②loga=logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于
N
被除数的对数减去除数的对数.
③logaMn=n·logaM(a>0,a≠1,M>0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的
对数乘以幂指数.
.
(2)对数的运算性质注意点
①一定注意M>0,N>0,比如loga[(-3)×(-4)]是存在的,可是loga(-3)与loga(-
4)均不存在,故不可以写成loga[(-3)×(-4)]=loga(-3)+loga(-4).
M
②防备出现以下错误:
loga(M±N)=logaM±logaN,loga(M·N)=logaM·logaN,logaN
logaM
=logaN,logaMn=(logaM)n.3.对数换底公式
在实质应用中,常遇究竟数不为10的对数,怎样求这种对数,我们有下边的对数换底
公式:
logbN=
logcN
(b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;N>0).
logcb
证明设logbN=x,那么bx=N.两边取以c为底的对数,
logcN
logcN
得xlogcb=logcN.所以x=logcb,即logbN=logcb.
换底公式表达了对数运算中一种常用的转变,马上复杂的或未知的底数转变为的或
需要的底数,这是数学转变思想的详细应用.
由换底公式可推出下边两个常用公式:
1
(1)logbN=或logbN·logNb=1(N>0,且N≠1;b>0,且b≠1);logNb
m
(2)logbnNm=logbN(N>0;b>0,且b≠1;n≠0,m∈R)
n
.
题型一正确理解对数运算性质
.
对于a>0且a≠1,以下说法中,正确的选项是()
①假定M=N,那么logaM=logaN;
②假定logaM=logaN,那么M=N;
③假定logaM2=logaN2,那么M=N;
④假定M=N,那么logaM2=logaN2.
A.①与③
B.②与④
C.②
D.①、②、③、④
分析
在①中,当
M=N≤0
时,logaM与logaN均无心义,所以
logaM=logaN不
建立.
在②中,当logaM=logaN时,必有M>0,N>0,且M=N,所以M=N建立.
在③中,当
logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必
有M=N.比如,M=2,N=-2
时,也有logaM2=logaN2,但M≠N.
在④中,假定
M
=
N
=0,那么loga2与loga
2均无心义,所以loga
2=loga
2不建立.
M
N
M
N
所以,只有②建立.
答案
C
评论
正确理解对数运算性质公式,
是利用对数运算性质公式解题的前提条件,
使用运
算性质时,应切记公式的形式及公式建立的条件.
题型二对数运算性质的应用
求以下各式的值:
(1)2log
32
38-5log53;
32-log3+log
9
(2)lg25
2
+(lg2)2;
+lg8+lg5·lg20
3
.
log5
2·log
79
(3)
.
1
3
4
log5
·log7
3
剖析
利用对数的性质求值,
第一要明确解题目标是化异为同,
先使各项底数同样,
才
能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,能够先化简再计算.
解
(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3
=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.
10
(2)原式=2lg5+2lg2+lg·lg(2×10)+(lg2)2
2
=2lg(5×2)+(1-lg2)·(lg2+1)+(lg2)2
=2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.
1
log5
2·log79
log52·2log73
2
(3)∵
=
1
1
3
4
-log53·log74
log5
·log7
3
3
lg2
lg3
lg5
·
3
lg7
=-
lg3
=-.
1lg4
2
··
lg5
3lg7
评论
对数的求值方法一般有两种:
一种是将式中真数的积、
商、幂、方根利用对数的
运算性质将它们化为对数的和、
差、积、商,而后化简求值;另一种方法是将式中的和、
差、
积、商运用对数的运算法那么将它们化为真数的积、商、幂、方根,而后化简求值.
题型三对数换底公式的应用
计算:
(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
.
剖析由题目可获得以下主要信息:
本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的
底数都各不同样.
解答本题可先经过对数换底公式一致底数再进行化简求值.
解方法一原式=
log225
log
25
log54
log58
log253+
+
log52+
+
log24
log
28
log525
log5125
2log
25
log25
2log
52
3log52
=3log
25+
+
log52+
55
+
2log
22
3log22
2log
3log55
1
=3+1+log25·(3log52)3
log22
=13log25·=13.
log25
lg125
lg25
lg5
lg2
lg4
lg8
方法二
原式=
lg2
+
+
lg5
+
+
lg4
lg8
lg25
lg125
3lg5
2lg5
lg5
lg2
2lg2
3lg2
=
+
+
+
+
3lg5
lg2
2lg2
3lg2
lg5
2lg5
13lg5
lg2
=13.
=
3
3lg2
lg5
评论
方法一是先将括号内换底,而后再将底一致;方法二是在解题方向还不清楚的情
况下,一次性地一致为常用对数
(自然也能够换成其余非
1的正数为底),而后再化简.上述
方法是不一样底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法.
log(x+3)(x2+3x)=1,务实数x的值.
错解由对数的性质可得x2+3x=x+3.
解得x=1或x=-3.
错因剖析对数的底数和真数一定大于0且底数不等于1,这点在解题中忽视了.
.
x2+3x=x+3,
正解由对数的性质知x2+3x>0,
x+3>0且x+3≠1.
解得x=1,故实数x的值为1.
对数的定义及其性质是高考取的重要考点之一,主要性质有:
loga1=0,logaa=1,
alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0).
1.(上海高考)方程9x-6·3x-7=0的解是________.
分析∵9x-6·3x-7=0,即32x-6·3x-7=0
∴(3x-7)(3x+1)=0
∴3x=7或3x=-1(舍去)
∴x=log37.
答案
log37
ex,x≤0,
那么gg
1
2.(辽宁高考)设g(x)=
x,x>0,
=____.
ln
2
g
1
1
1
1
1
分析
=ln
<0,gln
=eln
=
,
2
2
2
2
2
∴g
1
1
g
=.
2
2
1
答案
2
1.对数式log(a-3)(7-a)=b,实数a的取值范围是()
.
A.(-∞,7)B.(3,7)
C.(3,4)∪(4,7)D.(3,+∞)
答案C
a-3>0,
分析由题意得a-3≠1,解得3 7-a>0, 2.设=log32,那么log38-2log36用 a 表示的形式是() a A.a-2B.3a-(1+a)2 C.5a-2D.-a2+3a-1 答案A 分析 ∵=log32,∴log38-2log 36=3log 32-2(log 32+1) a =3a-2(a+1)=a-2. 3.log56·log67·log78·log89·log910的值为() 1 A.1B.lg5C.D.1+lg2 lg5 答案C lg6lg7lg8lg9lg10lg101 分析原式=····==. lg5lg6lg7lg8lg9lg5lg5 4.loga(a2+1) 1 A.(0,1)B.0, 2 1 C.,1D.(1,+∞) 2 答案C . 0 分析 由题意,得 2a>1, ∵a>0,a≠1,loga(a2+1) 1 a2a,∴0 2 5.函数f(x)=ax-1+logax(a>0,a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为 a2,那么a 的值为( ) A.4 1 1 B. C.3D. 4 3 答案 D 6.假定方程(lgx)2+(lg7+lg5)lg x+lg7·lg5=0的两根为α,β,那么αβ等于( ) A.lg7·lg5 B.lg35C.35 1 D. 35 答案 D 1 分析∵lgα+lgβ=-(lg7+lg5)=-lg35=lg 35 1 ∴α·β=. 35 7.f(log2x)=x,那么f 1 =________. 2 答案 2 1 1 1 =2 1 2. 分析 令log2x= ,那么2 =x,∴f = 2 2 2 2 8.log( 2-1)( 2+1)=________. 答案 -1 log ( ( 2+1)( 2-1) 分析 2-1 2+1)=log2-1 2-1 . =log(2-1) 1 =-1. 2-1 9.lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=-2+0.7781,那么x=________. 答案 分析∵lg2=0.3010,lg3=0.4771, 而0.3010+0.4771=0.7781,∴lgx=-2+lg2+lg3, 即lgx=lg10-2+lg6. ∴lgx=lg(6×10-2),即x=6×10-2=0.06. 10. (1)lgx+lgy=2lg(x-2y),求log2 x 的值; y (2)log189=a,18b=5,试用a,b表示log 365. 解 (1)lgx+lgy=2lg(x-2y), ∴xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0. 即(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y, x>0, 又∵y>0, ∴x>2y>0, x-2y>0, ∴x=y,应舍去,取 x=4y. x 4 y lg4 那么log 2y=log 2y=log 24=lg 2 =4. (2)∵18b=5,∴log 185 =b,又∵log18 9 =a, log18 5 b ∴log365= = 18(18×2) lg1836 log bb == 1+log18218 1+log18 9 . bb ==. 1+(1-log189)2-a 111 11.设a,b,c均为不等于1的正数,且ax=by=cz,++=0,求abc的值. xyz 解令ax=by=cz=t(t>0且t≠1), 111 那么有x=logta,y=logtb,z=logtc, 111 又++=0,∴logtabc=0,∴abc=1. xyz 12.a,b,c是△ABC的三边,且对于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1= 0有等根,试判断△ABC的形状. 解∵对于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根, ∴Δ=0,即4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=0. 即lg(c2-b2)-2lga=0,故c2-b2=a2,∴a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形. 2.对数与对数运算 (一) 学习目标 1.理解对数的观点,能进行指数式与对数式的互化. 2.认识常用对数与自然对数的意义. 3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算. 自学导引 . 1.假如a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的 对数,记作b=logaN,此中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.对数的性质有: (1)1的对数为零; (2)底的对数为1; (3)零和负数没有对数. 3.往常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,log10N可 简记为lgN,logeN简记为lnN. 4.假定a>0,且a≠1,那么ab=N等价于logaN=b. 5.对数恒等式: alogaN=N(a>0且a≠1) . 一、对数式存心义的条件 例 1 求以下各式中 x的取值范围: (1)log 2(x-10); (2)log (x-1)(x+2);(3)log (x+1)(x-1)2. 剖析 由真数大于零,底数大于零且不等于 1可获得对于 x的不等式 (组),解之即可. 解 (1)由题意有x-10>0,∴x>10,即为所求. x+2>0, (2)由题意有 x-1>0且x-1≠1, x>-2, 即∴x>1且x≠2. x>1且x≠2, . (x-1)2>0, (3)由题意有 x+1>0且x+1≠1, 解得x>-1且x≠0,x≠1. 评论在解决与对数有关的问题时,必定要注意: 对数真数大于零,对数的底数大于零 且不等于1. 变式迁徙1在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是()
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- 对数 函数 及其 性质 定律 详尽 讲解