与函数有关的压轴题.docx
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与函数有关的压轴题
下笔如有神读书破万卷
与函数有关的压轴题
一、选择题
1、(2014?
济宁第8题)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:
若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是()
A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b
【考点】:
抛物线与x轴的交点.
【分析】:
依题意画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)图象草图,根据二次函数的增减性求解.
【解答】:
解:
依题意,画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象,如图所示.
函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a<b).
方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1,方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线y=1的两个交点.
由m<n,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.
由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少,则有m<a;在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有b<n.
综上所述,可知m<a<b<n.
故选A.
【点评】:
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想.解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算.
2、(20XX年山东泰安第20题)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
X﹣1013
y﹣1353
下列结论:
(1)ac<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正确的个数为()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【分析】:
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.
【解答】:
由图表中数据可得出:
x=1时,y=5值最大,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故
(1)正确;
值的增大x的值随y时,1.5>x,∴当x==1.5开口向下,且对称轴为y=ax2+bx+c∵二次函数.
下笔如有神读书破万卷
而减小,故
(2)错误;
∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,故(3)正确;
∵x=﹣1时,ax2+bx+c=﹣1,∴x=﹣1时,ax2+(b﹣1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b﹣1)x+c=0,且函数有最大值,∴当﹣1<x<3时,ax2=(b﹣1)x+c>0,故(4)正确.
故选B.
【点评】:
本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.
3、(20XX年山东烟台第11题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】:
根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.
【解答】:
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,∴b=﹣4a,即4a+b=0,所以①正确;
∵当x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b,所以②错误;
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,
而b=﹣4a,∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,
∵抛物线开口向下,∴a<0,∴8a+7b+2c>0,所以③正确;
∵对称轴为直线x=2,
∴当﹣1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小,所以④错误.故选B.
【点评】:
本题考查了二次函数图象与系数的关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
4、(2014?
威海第11题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:
①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).
其中正确的个数是()
4
.3D.2C.1B.A
下笔如有神读书破万卷
【考点】:
二次函数图象与系数的关系.
【分析】:
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】:
解:
抛物线与y轴交于原点,c=0,故①正确;
该抛物线的对称轴是:
,直线x=﹣1,故②正确;
当x=1时,y=2a+b+c,
∵对称轴是直线x=﹣1,
∴,b=2a,
又∵c=0,
∴y=4a,故③错误;
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c,又x=﹣1时函数取得最小值,
∴a﹣b+c<am2+bm+c,即a﹣b<am2+bm,
∵b=2a,
∴am2+bm+a>0(m≠﹣1).故④正确.
故选:
C.
【点评】:
本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
5、(2014?
宁波第12题)已知点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()
A.(﹣3,7)B.(﹣1,7)C.(﹣4,10)D.(0,10)
【考点】:
二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-对称.
【分析】:
把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理,然后根据非负数的性质列式求出a、b,再求出点A的坐标,然后求出抛物线的对称轴,再根据对称性求解即可.
【解答】:
解:
∵点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,
∴(a﹣2b)2+4×(a﹣2b)+10=2﹣4ab,
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab,
(a+2)2+4(b﹣1)2=0,
∴a+2=0,b﹣1=0,
解得a=﹣2,b=1,
∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4,
2﹣4ab=2﹣4×(﹣2)×1=10,
∴点A的坐标为(﹣4,10),
∵对称轴为直线x=﹣=﹣2,
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为(0,10).
故选D.
【点评】:
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,坐标与图形的变化﹣对称,把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键.
下笔如有神读书破万卷
6、(2014?
温州第10题)如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴,AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例函数y=(k≠0)中k的值的变化情况是()
A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大
【考点】:
反比例函数图象上点的坐标特征;矩形的性质.
【分析】:
设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b,由于矩形ABCD的周长始终保持不变,则a+b为定值.根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k=AB?
AD=ab,再根据a+b一定时,当a=b时,ab最大可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,k的值先增大后减小.
【解答】:
解:
设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2B.
∵矩形ABCD的周长始终保持不变,
∴2(2a+2b)=4(a+b)为定值,
∴a+b为定值.
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k=AB?
AD=ab,
又∵a+b为定值时,当a=b时,ab最大,
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,k的值先增大后减小.
故选C.
【点评】:
本题考查了矩形的性质,反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质,有一定难度.根据题意得出k=AB?
AD=ab是解题的关键.
7、(20XX年山东泰安第17题)已知函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m<n)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是()
A.BCD.
【分析】:
根据二次函数图象判断出m<﹣1,n=1,然后求出m+n<0,再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可.
【解答】:
由图可知,m<﹣1,n=1,所以,m+n<0,
所以,一次函数y=mx+n经过第二四象限,且与y轴相交于点(0,1),
反比例函数y=的图象位于第二四象限,
纵观各选项,只有C选项图形符合.故选C.
【点评】:
本题考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键.
8、(2014.福州第10题)如图,已知直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是【】
A.B.1C.D.
下笔如有神读书破万卷
【考点】:
1.反比例函数与一次函数交点问题;2.曲线上点的坐标与方程的关系;3.相似三角形的判定和性质;4.轴对称的性质.
9、(2014.泸州第12题)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是()
A.4B.C.D.
【解答】:
解:
作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,
∵⊙P的圆心坐标是(3,a),
∴OC=3,PC=a,
把x=3代入y=x得y=3,
∴D点坐标为(3,3),
∴CD=3,
∴△OCD为等腰直角三角形,
∴△PED也为等腰直角三角形,
∵PE⊥AB,
∴AE=BE=AB=×4=2,
在Rt△PBE中,PB=3,
∴PE=,
∴PD=PE=,
∴a=3+.
故选B.
【点评】:
本题考查了垂径定理:
平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.
10.(2014?
山东潍坊,第8题3分)如图,已知矩形ABCD的长AB为5,宽BC为4.E是BC边上的一个动点,AE⊥上EF,EF交CD于点F.设BE=x,FC=y,则点E从点B运动到点C时,能表示y关于x的函数关系的大致图象是()
考点:
动点问题的函数图象.
分析:
易证△ABE∽△ECF,根据相似比得出函数表达式,在判断图像.
解答:
因为△ABE∽△ECF,则BE:
CF=AB:
EC,即x:
y=5:
(4-x)y,
整理,得y=-(x-2)2+,
很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是(2,)的抛物线.对应A选项.
故选:
A.
点评:
此题考查了动点问题的函数图象,关键列出动点的函数关系,再判断选项.
的路A→D→C→B边上一动点,沿ABCD?
是P分)如图,点3题12山东烟台,第2014?
(11.
下笔如有神读书破万卷
径移动,设P点()经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是
A.B.C.D.
考点:
平行四边形的性质,函数图象.
分析:
分三段来考虑点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小,据此选择即可.
解答:
点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;
点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小.故选:
A.
点评:
本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.
12.(2014?
江西抚州,第8题,3分)一天,小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯,桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形,桶口的半径是杯口半径的2倍,其主视图如图所示.小亮决定做个试验:
把塑料桶和玻璃杯看作一个容器,对准杯口匀速注水,注水过程中杯子始终竖直放置,则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是
解析:
选C.∵桶口的半径是杯口半径的2倍,∴水注满杯口周围所用时间是注满杯子所用时间的3倍,∴C正确.
13.(2014山东济南,第12题,3分)如图,直线与轴,轴分别交于两点,把沿着直线翻折后得到,则点的坐标是
A.B.C.D.
【解析】连接,由直线可知,故,点为点O关于直线的对称点,故,是等边三角形,点的横坐标是长度的一半,纵坐标则是的高3,故选A.
14.(2014?
四川内江,第12题,3分)如图,已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1,连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1,依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn.△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn,则Sn为()
A.B.C.D.
考点:
一次函数图象上点的坐标特征.
专题:
规律型.
分析:
根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn,进而得出答案.
解答:
解:
∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1
作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1,
,2,纵坐标为:
1的横坐标为:
B1∴.
下笔如有神读书破万卷
则B1(1,2),
同理可得:
B2的横坐标为:
2,纵坐标为:
4,
则B2(2,4),
B3(2,6)…
∵A1B1∥A2B2,
∴△A1B1P1∽△A2B2P1,
∴=,
∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为:
1:
2,
∴A1B1边上的高为:
,
∴=××2==,
同理可得出:
=,=,
∴Sn=.
故选;D.
点评:
此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律,得出图形面积变化规律是解题关键.
15.(2014?
四川广安,第9题3分)如图,在△ABC中,AC=BC,有一动点P从点A出发,沿A→C→B→A匀速运动.则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是()
A.B.C.D.
考点:
动点问题的函数图象
分析:
该题属于分段函数:
点P在边AC上时,s随t的增大而减小;当点P在边BC上时,s随t的增大而增大;当点P在线段BD上时,s随t的增大而减小;当点P在线段AD上时,s随t的增大而增大.
解答:
解:
如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵在△ABC中,AC=BC,
∴AD=BD.
①点P在边AC上时,s随t的增大而减小.故A、B错误;
②当点P在边BC上时,s随t的增大而增大;
③当点P在线段BD上时,s随t的增大而减小,点P与点D重合时,s最小,但是不等于零.故C错误;
④当点P在线段AD上时,s随t的增大而增大.故D正确.
故选:
D.
点评:
本题考查了动点问题的函数图象.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.
16.(2014?
湖北黄石,第10题3分)如图,AB是半圆O的直径,点P从点A出发,沿半圆弧AB之t与S,则下列图象能大致刻画S的面积为ABP△,t,运动时间为B顺时针方向匀速移动至点.
下笔如有神读书破万卷
间的关系的是()
第5题图
A.B.C.D.
考点:
动点问题的函数图象.
分析:
根据点P到AB的距离变化,利用三角形的面积分析解答即可.
解答:
解:
点P在弧AB上运动时,随着时间t的增大,点P到AB的距离先变大,
当到达弧AB的中点时,最大,
然后逐渐变小,直至到达点B时为0,
并且点P到AB的距离的变化不是直线变化,
∵AB的长度等于半圆的直径,
∴△ABP的面积为S与t的变化情况相同,
纵观各选项,只有C选项图象符合.
故选C.
点评:
本题考查了动点问题的函数图象,读懂题目信息,理解△ABP的面积的变化情况与点P到AB的距离的变化情况相同是解题的关键.
17.(2014?
丽水,第10题3分)如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是()
A.y=﹣B.y=﹣C.y=﹣D.y=﹣
考点:
全等三角形的判定与性质;函数关系式;相似三角形的判定与性质..
分析:
作FG⊥BC于G,依据已知条件求得△DBE≌△EGF,得出FG=BE=x,EG=DB=2x,然后根据平行线的性质即可求得.
解答:
解:
作FG⊥BC于G,
∵∠DEB+∠FEC=90°,∠DEB+∠DBE=90°;
∴∠BDE=∠FEG,
在△DBE与△EGF中
∴△DBE≌△EGF,
∴EG=DB,FG=BE=x,
∴EG=DB=2BE=2x,
∴GC=y﹣3x,
∵FG⊥BC,AB⊥BC,
∴FG∥AB,
CG:
BC=FG:
AB,
,=即.
下笔如有神读书破万卷
∴y=﹣.
故应选A.
点评:
本题考查了三角形全等的判定和性质,以及平行线的性质,辅助线的做法是解题的关键.
18.(2014?
安徽省,第9题4分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是()
A.B.C.D.
考点:
动点问题的函数图象.
分析:
①点P在AB上时,点D到AP的距离为AD的长度,②点P在BC上时,根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式,从而得解.
解答:
解:
①点P在AB上时,0≤x≤3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4;
②点P在BC上时,3<x≤5,
∵∠APB+∠BAP=90°,
∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠APB=∠PAD,
又∵∠B=∠DEA=90°,
∴△ABP∽△DEA,
∴=,
即=,
∴y=,
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选B.
点评:
本题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的判定与性质,难点在于根据点P的位置分两种情况讨论.
19.(2014?
广西玉林市、防城港市,第12题3分)如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是()
A.B.C.D.
考点:
动点问题的函数图象.
分析:
根据题目提供的条件可以求出函数的解析式,根据解析式判断函数的图象的形状.
解答:
解:
①t≤1时,两个三角形重叠面积为小三角形的面积,
∴y=×1×=,
,,高为x﹣2时,重叠三角形的边长为x≤2<1②当.
下笔如有神读书破万卷
y=(2﹣x)×=x﹣x+,
③当x≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0,
故选:
B.
点评:
本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象,此类题目的图象往往是几个函数的组合体.
20.(2014?
黑龙江龙东,第15题3分)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形ABCD中,AD边的中点处有一动点P,动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周,则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是()
A.B.C.D.
考点:
动点问题的函数图象..
分析:
将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段,分别进行分析,最后得出结论.
解答:
解:
动点P运动过程中:
①当0≤s≤时,动点P在线段PD上运动,此时y=2保持不变;
②当<s≤时,动点P在线段DC上运动,此时y由2到1逐渐减少;
③当<s≤时,动点P在线段CB上运动,此时y=1保持不变;
④当<s≤时,动点P在线段BA上运动,此时y由1到2逐渐增大;
⑤当<s≤4时,动点P在线段AP上运动,此时y=2保持不变.
结合函数图象,只有D选项符合要求.
故选D.
点评:
本题考查了动点运动过程中的函数图象.把运动过程分解,进行分类讨论是解题的关键.
21.(2014?
江苏盐城,第8题3分)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是()
A.B.C.D.
考点:
反比例函数综合题
专题:
综合题.
分析:
根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为(﹣1,1)得到k=﹣1,即反比例函数解析式为y=﹣,且OB=AB=1,则可判断△OAB为等
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- 关 键 词:
- 函数 有关 压轴
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