江海名师零距离二轮数学大题提高版.docx
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江海名师零距离二轮数学大题提高版
专题一解决集合与常用逻辑用语问题
典题导引】
例2.设函数f(x)axlnx,且曲线yf(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2xyb0(其中e是自然对数的底数).
(1)求实数a、b的值;
1x3x23x9
(2)设集合A{y|yb3,x[3,)},Bxf(x)m0.
①求集合A;
②若AB,求实数m的取值范围.
932例3.已知a1,函数f(x)4x94(x0,1),g(x)x33a2x2a16(x0,1).
x1
(1)求f(x)和g(x)的值域;
(2)若x10,1,x20,1,使得g(x2)f(x1)成立,试求a的取值范围.
变题:
是否存在实数a,使得x1,x20,1,g(x2)f(x1)成立?
例4.设正项数列an的前n项和为Sn,a11,数列an2的前n项和为Tn,且
2
4(Sn2)2Tn3.
(1)求证:
数列an为等比数列;
(2)证明:
“数列an,2xan1,2yan2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x1,且y2”.
专题二解决函数的图象与性质问题
【典题导引】例1.已知函数f(x)为R上的偶函数.
2
(1)若x0时,f(x)xax1(aR).
①求x0时,f(x)的解析式;
②若函数f(x)有4个零点,求实数a的取值范围;
(2)设mR,函数f(x)在[0,)上单调递增,试比较f(m1)与f(3m)的大小.
例2.已知二次函数f(x)ax2bx
(1)若f(x)为偶函数,试判断
2)若方程g(x)x有两个不等的实根,求证:
函数f(x)在(1,1)上是单调函数.
例3.(2015上海)已知函数f(x)ax21,其中a为实数.
x
(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若a(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由
m).
例4.设a0,函数f(x)xa,当x1,3时,f(x)的值域为A,且A[n,m](nx
(1)①若a1,求mn的最小值;
②若m16,n8,求a的值;
(2)若mn1,且A[n,m],求a的取值范围.
专题三解决基本初等函数问题
【典题导引】
例1.已知函数fxloga(x2x1)(a0且a1).
(1)当a变化时,函数yfx的图象恒过定点,试求定点的坐标;
(2)若fx在区间0,2上的最大值为2,求a的值.
例2.设mR,函数f(x)4xm2x1m23,xR.
(1)当x[0,2]时,求函数yf(x)的最大值;
(2)若xR,使得f(x)f(x)0,求实数m的取值范围.
例3.设函数f(x)x22xa(xR,aR).
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)
变式:
求函数f(x)x2
设a2,求函数f(x)的最小值.
2xa(x[0,1],aR)的最小值.
例4.已知函数f(x)blogax(a0且a1)的图象经过点(8,2)和(1,1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)3f(x2)f(x)的最小值;
(3)若对任意x[1,2],不等式f(2x)2f(2xm)恒成立,求实数m的取值范围.
专题四解决利用导数研究函数问题
(1)
【典题导引】
例1.设函数f(x)lnxax,其中a为实数.
(1)若a=1,求证:
f(x)≤1恒成立;
(2)若曲线yf(x),x(1,)上任意两点的连线的斜率都小于4,求实数a的最小值.
2
x
例2.设函数f(x)alnx,g(x)(1a)x.
2
1
(1)当a,x1时,求证:
f(x)g(x);
2
a的取值范围.
2)若x[1,e],使得不等式f(x)g(x)a成立,求实数
素材来源于网络,林老师搜集编辑整理例3.(2013山东)已知函数f(x)ax2bxlnx(a,bR).
(1)设a0,求f(x)的单调区间;
(2)设a0,且对任意x0,f(x)f
(1).试比较lna与2b的大小.
1)求证:
函数f(x)存在极小值;
x
2)若x[1,),使得不等式elnxm0成立,求实数m的取值范围.
2xx
专题五解决利用导数研究函数问题
(2)
【典题导引】
例1.设函数f(x)
alnx,g(x)(1a)x,a
R且a1.
a的取值范围;
1)若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上是单调性相同的单调函数,求实数
2)求证:
ae时,函数f(x)存在两个零点.
1)求证:
g(x)f(x)2;
2)若关于x的不等式g(x)
求实数
m的取值范围
例3.已知函数f(x)ax2blnx在点(1,f
(1))处的切线为y1.
(1)求实数a,b的值;
m(x1)的最小值为0?
(2)是否存在实数m,当x(0,1]时,函数g(x)f(x)x2若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)若0x1x2,求证:
x2x12x2.
lnx2lnx1
1
例4.设函数f(x)xalnx(aR).
x
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)存在两个极值点x1,x2(x1x2).
①求实数a的取值范围;
),求证:
x2e.
②若f(x2)f(x1)22ea2(其中e是自然对数的底数x2x1e1
专题六解决三角恒等变换的有关问题
【典题导引】
例1.已知f(x)sinx3cosx(0).
(1)
)是偶函数,求的值;
2
,求sin()的值.
33
当2时,若函数yf(x)(0
162
(2)当1时,若f()6,且2
253
例2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2basinC.11
(1)求11的值;tanAtanC
(2)若tanA3,求tanB的值.
例3.已知
(0,),且tan2,cos
72
10
1)求cos2的值;
2)求2的值.
例4.已知
(0,),且tan
15.
22
tan2
2
(1)
求
tan的值;
(2)
求
cos
(2)的值;
4
(3)
若
sin
(2)7sin
,求tan()的值
专题七解决三角函数的图象与性质问题
典题导引】
例1.(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0,||)在某一个2周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
x
0
2
3
2
2
x
[来源学+科+网]
3
5
6
Asin(x)
0
5
5
0
1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为(5,0),求的最小值.
12
例2.(2015南通三模)已知函数f(x)Asin(x)(其中A,,为常数,且A0,
0,)的部分图象如图所示.
22
1)求函数f(x)的解析式;
3
2)若f(),求sin
(2)的值.
26例3.已知函数fx2sin(x)sinx23cosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x[0,]时,求函数f(x)的值域.
2
3
例4.已知函数f(x)sin(x)(0,0)是偶函数,且图象关于点M(3,0)对称,4且在区间[0,]上是单调函数,求和的值.
2
典题导引】
例1.如图,已知ABC中,AB
36,AD3,CD5,
2
ABC45o,且ADB(0,)
2
(1)求ADB的大小;
(2)求AC的长.
A
A
BDC
(例1图)
例2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2c2b2ac.
(1)求B的大小;
(2)若A,求c的取值范围;
64a
(3)若c2,A的平分线AD3,求b.
例3.(2016四川)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAcosBsinC.abc
(1)证明:
sinAsinBsinC;
(2)若b2c2a26bc,求tanB.
5
例4.在ABC中,已知3tanAtanBtanAtanB3.
(1)求C的大小;
(2)若ABC的面积SABC3,求ABC周长的最小值;
(3)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c2,且ABC是锐角三角形,求a2b2的取值范围.
专题九
解决平面向量及应用问题
【典题导引】
例1.如图,
(1)若
(2)若
在uuurAD
AC
uuur
ABC中,CDuuuryBC(x,y
BC3,
uuur
xAC
23,
uuur
2DB.R),求x,ACB30o,求
y的值;uuurAD
uuur
BC的值.
B
例2.设向量a
(1)求br
(2)若
(3)若ar
s值
(co的
rc
(sin,cos),
c(cos,sin).
k(kZ),求证rr
(b3c),求tan(
a//c;
)的值.
例3.如图,点C是半径为1,圆心角为3的圆弧AB上的点.
2uuuruuur
(1)若C为圆弧AB的中点,点D在线段OA上运动,求OuuCuruOuDur的最小值;
(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧AB上运动时,求uCuEurCuuDur的
取值范围.
例4.在ABC中,已知(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC.
(1)求角A的大小;
(2)设O为ABC的外心(三角形各边中垂线的交点),当BC13,ABC的面积uuruuuur
为33时,求AOBC的值;
(3)设AD为ABC的中线,当BC23时,求AD长的最大值.
专题十解决不等式的有关问题
【典题导引】
例1.设函数f(x)ax2bx6(a0).
(1)若不等式f(x)2x的解集为(,2)U(3,),求a、b的值;
(2)若a0,b0,且f
(2)8,求12的最小值.
ab
1)当a=1时,求不等式f1(x)f2(x)的解集;
2)当2?
a9时,设f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]
的长度定义为nm),试求l的最大值;
3)是否存在这样的a,使得当x[2,)时,f(x)=f2(x)?
若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
专题十一解决等差数列与等比数列问题
【典题导引】
例1.(2016天津)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d(d0),对任意的nN*,bn是an和an1的等比中项.
1)
设
cnbn21b
n2,nN*,求证:
数列cn
是等差数列;
是等差数列;
2)
设
a1d,Tn
2nk
1bk2,nN*,求证:
n11k1Tk2d2
k1
例2.设数列{an}满足a1a21,anan22an1,nN,为常数.
(1)若a1,a3,a5成等比数列,且0,求的值;
(2)设bn
(3)设cn
an1an,nN,求证:
数列{bn}为等差数列;
2an2an,求数列{cn}的前n项和Sn.
例3.设各项均为正数的数列{an}的前n项的和为Sn,且满足a11,4Snanan11(nN*).
(1)求a15的值;
(2)求证:
数列{an}是等差数列;
(3)若am12,am,amk18成等比数列,其中mN*,kN*,求m的值.
例4.(2015南通一模)设数列{an}的前n项和为Sn.若1an12(nN*),则称{an}是2an
“紧密数列”.
(1)若数列{an}的前n项和Sn1(n23n)(nN*),证明:
{an}是“紧密数列”;
4
(2)设数列{an}是公比为q的等比数列.若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
【典题导引】
例1.已知数列{an}是等比数列.
(1)设a22,a516.
222*
①若a1a2La2nt(a12a22Lan2),nN*,求实数t的值;
11111
②若在1与1之间插入k个数b1,b2,L,bk,使得,b1,b2,L,bk,,成等差数列,
a1a4a1a4a5
求k的值;
(2)若数列{cn}是公差不为0的等差数列,a1c1,a2c2,a3cm,其中m是某个正
整数,且m3,求证:
数列{an}中的每一项都是数列{cn}中的项.
n*
例2.已知数列{an}满足a1a(aR),an12n3an(nN*),bnan12n(nN*).
nn5
(1)当a2时,求证:
数列{bn}是等比数列;
5
(2)当a2时,求数列{an}前n项和Sn;
(3)若nN*,an1an,求实数a的值.
素材来源于网络,林老师搜集编辑整理例3(.2015四校联考)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn1Sn(n1)an11an1,nN
(1)若数列{an}是等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设a26,求证:
数列{an}是等差数列.
例4.(2014江苏)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Snam,则称{an}是“H数列”.
(1)若数列{an}的前n项和Sn2n(nN),证明:
{an}是“H数列”;
(2)设{an}是等差数列,其首项a11,公差d0.若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:
对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得anbncn(nN)成立.
专题十三解决直线与圆及其应用问题
【典题导引】
例1.已知圆C:
x2y22x4y30.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有PMPO,求使得PM取得最小值时点P的坐标.
例2.在平面直角坐标系xOy中,曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;91
(2)若过点A(9,4)的直线l与圆C交于P,Q两点,且圆弧PQ恰为圆C周长的1,求直23线l的方程.
素材来源于网络,林老师搜集编辑整理例3.已知圆C经过点A(1,1),B(1,1),且与直线xy20相切.
(1)求圆C的方程;
(2)过点A作倾斜角互补的两条相异直线,与圆C分别交于点P、Q,求证:
直线PQ的斜率为定值;
uuuuruuuur
(3)设点D(x0,y0)在直线xy20上,若圆C上存在点M、N满足DMMN,求x0的取值范围.
例4.(2016江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆
22
M:
x2y212x14y600及其上一点A2,4.
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BCOA,求直线l的方程;uuruuruuur
(3)设点Tt,0满足:
存在圆M上的两点P和Q,使得TATPTQ,求实数t的取值范围.
专题十四解决圆锥曲线与方程问题
【典题导引】
22
例1.平面直角坐标系xOy中,设双曲线C1:
x2y21a0,b0,抛物线a2b2
2
C2:
x22pyp0.
(1)若双曲线C1的一条渐近线方程为y2x,两准线之间的距离为1813,求双曲
1313线C1的方程;
(2)若双曲线C1的渐近线与抛物线C2交于点O,A,B,且OAB的垂心为C2的焦点,求双曲线C1的离心率.
2
y21(ab0)上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,b
ACBC,BC2AC.
1)若PF122,PF222,求椭圆的标准方程;
2)若PQPF1,且34,试确定椭圆离心率的取值范围
43
专题十五解决解析几何中的综合问题
【典题导引】
2y2
例1.(2014江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆ax2by21(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.
(1)若点C的坐标为(43,13),且BF22,求椭圆的方程;
33
2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.
例1图)
22
例2.(2015江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2y21ab0的离a2b2
2心率为2,且右焦点F到左准线l的距离为3.
2
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC2AB,求直线AB的方程.
y
P
FA
F
O
l
C
B
(例2图)
1(ab0)的右焦点F(1,0),离心率为2,过F作两条互相
2
2
例4.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x6于A、B两点,直线AO交椭圆C于另
4
1)若直线l的斜率为4,求直线PB的斜率;
3
2)若A(3,1),E(3,0),求PAB的面积;
2
3)是否存在定点
E,使得12
EA2
1
EB2
该定值;若不存在,请说明理由
专题十六解决立体几何中的有关问题
【典题导引】
例1.(2016江苏)如图,在直三棱柱ABC在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1
(1)求证:
直线DE//平面A1C1F;
(2)求证:
平面B1DE⊥平面A1C1F.
A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F
A1B1.
C
E
D(例1图)
B1
F
ABCD是矩形,DE平面ABCD.
例2.如图,在五面体ABCDEF中,四边形
(1)求证:
AB//EF;
(2)求证:
平面BCF平面CDEF.
EF
例3.如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,PA平面ABCD,M是AD中点,N是PC中点.
(1)求证:
MN//平面PAB;
(2)若平面PMC平面PAD,求证:
CMAD.
例3图)
PD,F为AD的
3)若点E在线段BC上,且EC平面ABCD?
并证明你的结论.
例4.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,BAD,PA
3中点,PDBF.
(1)求证:
ADPB;
(2)若菱形ABCD的边长为6,PA5,求四面体PBCD的体积;
1
BC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG
3
P
例4图)
C
心,2百米为半径设立一个圆形保护区.点P、Q分别在公路l1、l2上,且要求
(1)设BQx百米,试利用QTB∽
专题十七应用题
(1)
【典题导引】
例1.如图,某地有一条东西走向的公路l1,现经过公路l1上的A处铺设一条南北走向的公路l2.施工中发现A处正北2百米的B处有一古迹,为了保护古迹,决定以B为圆
为了连通公路l1、l2,欲再新建一条公路PQ,PQ与圆B相切(切点为T).
QAP,将新建公路PQ的长表示为x的函数;
2)试确定点Q的位置,使新建公路
东
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