第一章 11 第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征.docx
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第一章11第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征
§1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算.
知识点一 多面体、旋转体的定义
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边形围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体
图形
相关概念
面:
围成多面体的各个多边形
棱:
相邻两个面的公共边
顶点:
棱与棱的公共点
轴:
形成旋转体所绕的定直线
思考 构成空间几何体的基本元素是什么?
常见的几何体可以分成哪几类?
答案 构成空间几何体的基本元素是:
点、线、面.常见几何体可以分为多面体和旋转体.
知识点二 棱柱的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱柱
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作:
棱柱ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
底面(底):
两个互相平行的面
侧面:
其余各面
侧棱:
相邻侧面的公共边
顶点:
侧面与底面的公共顶点
按底面多边形的边数分:
三棱柱、四棱柱……
思考 棱柱的侧面一定是平行四边形吗?
答案 棱柱的侧面一定是平行四边形.
知识点三 棱锥的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱锥
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作:
棱锥S—ABCD
底面(底):
多边形面
侧面:
有公共顶点的各个三角形面
侧棱:
相邻侧面的公共边
顶点:
各侧面的公共顶点
按底面多边形的边数分:
三棱锥、四棱锥……
知识点四 棱台的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作:
棱台ABCD—A′B′C′D′
上底面:
平行于棱锥底面的截面
下底面:
原棱锥的底面
侧面:
其余各面
侧棱:
相邻侧面的公共边
顶点:
侧面与上(下)底面的公共顶点
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
思考 棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗?
答案 一定相交于一点.
1.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( × )
2.棱柱的两个底面是全等的多边形.( √ )
3.棱柱最多有两个面不是四边形.( √ )
4.棱锥的所有面都可以是三角形.( √ )
题型一 棱柱的结构特征
例1
(1)下列关于棱柱的说法:
①所有的面都是平行四边形;
②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行;
④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的说法的序号是________.
答案 ③④
解析 ①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误,棱柱的底面可以是三角形.
③正确,由棱柱的定义易知.
④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是③④.
(2)如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为棱A1B1,C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗?
如果是,是几棱柱?
为什么?
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?
如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
解 ①是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行,符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
反思感悟 棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义:
判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例:
通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.
跟踪训练1 下列命题中正确的是( )
A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
答案 D
题型二 棱锥、棱台的结构特征
例2
(1)有下列三种叙述:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
考点 棱台的结构特征
题点 棱台的概念的应用
答案 A
解析 ①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.
(2)下列说法中,正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形;
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;
③棱锥的侧棱平行.
A.①B.①②C.②D.③
考点 棱锥的结构特征
题点 棱锥的结构特征的应用
答案 B
解析 由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故②正确;棱锥的侧棱交于一点不平行,故③错.
反思感悟 判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
考点 棱锥的结构特征
题点 棱锥的结构特征的应用
答案 ①②
解析 ①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;
③错误,如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
空间几何体的平面展开图
典例
(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
答案 A
解析 其展开图是沿盒子的棱剪开,无论从哪条棱剪开,剪开的相邻面在展开图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻.
(2)如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?
解 图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把侧面展开图还原为原几何体,如图所示:
所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
[素养评析]
(1)多面体展开图问题的解题方法
①绘制展开图:
绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
②由展开图复原几何体:
若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多种平面展开图.
(2)借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题是直观想象的核心素养.
1.下面多面体中,是棱柱的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
考点 空间几何体
题点 空间几何体结构判断
答案 D
解析 根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.
2.下面图形中,为棱锥的是( )
A.①③B.①③④C.①②④D.①②
答案 C
解析 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.故选C.
3.有一个多面体,由四个面围成,每一个面都是三角形,则这个几何体为( )
A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥
答案 D
解析 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.
4.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A.①③B.②④C.③④D.①②
答案 C
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.
5.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
考点 棱柱的结构特征
题点 棱柱的结构特征的应用
答案 A
解析 棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
1.棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可:
①有两个平面(底面)互相平行;
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点,缺一不可:
①有一个面(底面)是多边形;
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
2.根据几何体的结构特点判定几何体的类型,首先要熟练掌握各几何体的概念,把握好各类几何体的性质,其次要有一定的空间想象能力.
一、选择题
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错
考点 空间几何体
题点 空间几何体结构判断
答案 B
解析 由棱锥的结构特征可得.
2.下列关于棱柱的说法中,错误的是( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形
考点 棱柱的结构特征
题点 棱柱的结构特征的应用
答案 C
解析 显然A正确;底面边数最少的棱柱是三棱柱,它有五个面,故B正确;底面是正方形的四棱柱,有一对侧面与底面垂直,另一对侧面不垂直于底面,此时侧面并不全等,故C错误;D正确,故选C.
3.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是( )
A.①是棱柱B.②不是棱锥
C.③不是棱锥D.④是棱台
考点 空间几何体
题点 空间几何体结构判断
答案 B
解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.
4.下列命题中正确的是( )
A.三棱柱的侧面为三角形
B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形
答案 D
5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
答案 D
6.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
答案 C
解析 选项A中
≠
,故A不正确;选项B中
≠
,故B不正确;选项C中
=
=
,故C正确;选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱,不是三棱台,故选C.
7.一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( )
A.三棱锥B.四棱锥
C.五棱锥D.六棱锥
答案 D
解析 由题意可知,每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
8.下面图形中是正方体展开图的是( )
考点 空间几何体的平面展开图
题点 多面体的平面展开图
答案 A
解析 由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图;B折叠后第一行两个面无法折起来,而且下边没有面,故不能折成正方体;C缺少一个正方形;D折叠后有一个面重合,另外还少一个面,故不能折成正方体.故选A.
二、填空题
9.四棱柱有________条侧棱,________个顶点.
答案 4 8
10.一个棱台至少有________个面,面数最少的棱台有________个顶点,有________条棱.
答案 5 6 9
11.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=________.
答案 60°
12.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
答案 ①③④⑤
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何体是:
①矩形,如四边形ACC1A1;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如A-CB1D1;⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A-A1DC,故填①③④⑤.
三、解答题
13.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少?
解
(1)如图折起后的几何体是三棱锥.
(2)S△PEF=
a2,S△DPF=S△DPE=
×2a×a=a2,S△DEF=
a2.
14.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是
,
,
,则这个长方体对角线的长是________.
考点 棱柱的结构特征
题点 与棱柱有关的运算
答案
解析 设长方体长、宽、高为x,y,z,
则yz=
,xz=
,yx=
,
三式相乘得x2y2z2=6,即xyz=
,
解得x=
,y=
,z=1,
所以
=
=
.
15.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
考点 空间几何体
题点 空间几何体结构应用
解
(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).
(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
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