北师大版数学教案九上第2章一元二次方程.docx
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北师大版数学教案九上第2章一元二次方程
第二章一元二次方程
课 题
§2.1.1 认识一元二次方程
(一)
第1课时
共2课时
教 学
目 标
1.理解一元二次方程的概念及它的有关概念;
2.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.
重 点
一元二次方程的概念及它的一般形式
难 点
一元二次方程的概念
教学过程:
Ⅰ.创设现实情景、引入新课
经济时代的今天,你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
……
下面我们来学习第一节:
花边有多宽.(板书)
Ⅱ.讲授新课
例1 我们来看一个实际问题(小黑板)
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
分析:
从题中,找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系.
这个题已知:
这块地毯的长为8m,宽为5m,它中央长方形图案的面积为18m2.
所要求的是;地毯的花边有多宽.本题是以面积为等量关系.
如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m,宽为(5-2x)m,根据题意,可得方程(8-2x)(5-2x)=18
例2.下面我们来看一个数学问题(小黑板)
观察下面等式
102+112+122=132+142.
你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
总结:
这个问题可以有不同的设未知数的方法,同学们可灵活设未知数,即可设这五个数中的任意一个,其他四个数可随之变化.
例3下面我们来看一个实际问题(小黑板):
如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
分析:
墙与地面是垂直的,因而墙、地面和梯子构成了直角三角形.已知梯子的长为10m,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,所以由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙有6m.
设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m,根据题意,利用勾股定理,可得方程.
上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程,称为整式方程,如:
我们学习过的一元一次方程,二元一次方程等都是整式方程.这三个方程还都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程我们叫做一元二次方程(quadraticequattonwithoneunknown),即只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分,不可漏掉,否则就不是一元二次方程了.
Ⅲ.应用、深化
课本P44随堂练习1、2课本P44习题2.11、2
Ⅳ.课时小结
本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念.
1.一元二次方程属于“整式方程”,其次,它只含有一个未知数,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式.
2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.
Ⅴ.课后作业
作业本()
Ⅵ.活动与探究
当d、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程?
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?
当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?
板书设计
§2.1.1 花边有多宽
(一)
例1方程
例2方程
例3方程
一元二次方程的定义
活动与探究
教学反思
课 题
§2.1.2认识一元二次方程
(一)
第2课时
共2课时
教 学
目 标
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力;
2、渗透“夹逼”思想。
重 点
用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解。
难 点
用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解。
教学过程:
一、复习:
1、什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
一般形式:
ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)―
x2=0
二、新授:
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8―2x)(5―2x)=18
也就是:
2x2―13x+11=0
你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时,5―2x<0,x>2.5时,5―2x<0.
(3)完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
从左至右分别11,4.75,0,―4,―7,―9
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流。
地毯花边1米,另,因8―2x比5―2x多3,将18分解为6×3,8―2x=6,x=1
2、例题讲析:
例:
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)x的整数部分是几?
十分位是几?
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1 进一步计算 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x―15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以1.1 因此x的整数部分是1,十分位是1 注意: (1)估算的精度不适过高。 (2)计算时提倡使用计算器。 三、巩固练习: P47,随堂练习1;P47,习题2.2: 1、2 四、小结: 估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。 五、作业: 作业本() 板书设计 §2.1.2 花边有多宽 引例 例题 随堂练习 教学反思 课 题 §2.2 配方法 (1) 第1课时 共3课时 教 学 目 标 1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程; 2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 3、体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程。 重 点 利用配方法解一元二次方程 难 点 把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n 0)的形式. 教学过程: 一、复习: 1、解下列方程: (1)x2=9 (2)(x+2)2=16 2、什么是完全平方式? 利用公式计算: (1)(x+6)2 (2)(x- )2 注意: 它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 3、解方程: (梯子滑动问题) x2+12x-15=0 二、新授: 1、引入: 像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢? 2、解方程的基本思路(配方法) 如: x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51 两边开平方,得 x+6=± ∴x1= ―6x2=― ―6(不合实际) 因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根。 3、配方: 填上适当的数,使下列等式成立: (1)x2+12x+=(x+6)2 (2)x2―12x+=(x―)2 (3)x2+8x+=(x+)2 从上可知: 常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题: 例1: 解方程: x2+8x―9=0 分析: 先把它变成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解。 解: 移项,得: x2+8x=9 配方,得: x2+8x+42=9+42,(两边同时加上一次项系数一半的平方) 即: (x+4)2=25 开平方,得: x+4=±5 即: x+4=5,或x+4=―5 所以: x1=1,x2=―9 5、配方法: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二闪方程的方法称为配方法。 三、巩固练习: P50,随堂练习: 1;P50习题2.3 1、2 四、小结: (1)什么叫配方法? (2)配方法的基本思路是什么? (3)怎样配方? 五、作业: 作业本 板书设计 §2.2 配方法 (1) 复习题例题 引例配方法定义配方法的基本思路 教学反思 课 题 §2.2 配方法 (2) 第2课时 共3课时 教 学 目 标 1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。 2、进一步理解配方法的解题思路。 重 点 用配方法解一元二次方程的思路;给方程配方。 难 点 用配方法解一元二次方程的思路;给方程配方。 教学过程: 一、复习: 1、什么叫配方法? 2、怎样配方? 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程: (1)x2+4x+3=0 (2)x2―4x+2=0 二、新授: 1、例题讲析: 例3: 解方程: 3x2+8x―3=0 分析: 将二次项系数化为1后,用配方法解此方程。 解: 两边都除以3,得: x2+ x―1=0 移项,得: x2+ x=1 配方,得: x2+ x+( )2=1+( )2(方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+ )2=( )2 即: x+ =± 所以x1= ,x2=―3 2、用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把二次项系数化为1; (2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。 (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 (4)用直接开平方法求出方程的根。 3、做一做: 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15t―5t2 小球何时能达到10m高? 三、巩固: 练习: P51,随堂练习: 1 P33,习题2.4 1、2 四、小结: 1、用配方法解一元二次方程的步骤。 (1)化二次项系数为1; (2)移项; (3)配方: (4)求根。 五、作业: 作业本 板书设计 §2.2 配方法 (2) 配方法定义 复习题 例3 配方法的步骤 教学反思 课 题 §2.2 配方法(三) 第3课时 共3课时 教 学 目 标 1、经历用方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力; 2、进一步掌握用配方法解题的技能。 重 点 列一元二次方程解方程。 难 点 列一元二次方程解方程。 教学过程: 一、复习: 1、配方: (1)x2―3x+=(x―)2 (2)x2―5x+=(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解下列一元二次方程? (1)3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题: 我们已经学习了用配方法解一元二次方程,在生产生活中常遇到一些问题,需要用一元二次方程来解答,请同学们将课本翻到54页,阅读课本,并思考: 三、出示思考题: 1、 如图所示: (1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程? (16-2x)(12-2x)= ×16×12 (2)一元二次方程的解是什么? x1=2,x2=12 (3)这两个解都合要求吗? 为什么? x1=2合要求,x2=12不合要求,因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。 2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程? x2π= ×12×16 (2)一元二次方程的解是什么? X1= ≈5.5 X2≈-5.5 (3)符合条件的解是多少? X1=5.5 3、你还有其他设计方案吗? 请设计出来与同伴交流。 (1)花园为菱形? (2)花园为圆形 (3)花园为三角形? (4)花园为梯形 四、练习: P56随堂练习 P56,习题2.5,1、2 五、小结: 1、本节内容的设计方案不只一种,只要符合条件即可。 2、设计方案时,关键是列一元二次方程。 3、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解。 六、作业: 作业本 板书设计 §2.2 配方法(三) 配方法解一元二次方程的步骤 复习题 思考题 随堂练习 习题 教学反思 课 题 2.3 公式法 第1课时 共1课时 教 学 目 标 1.一元二次方程的求根公式的推导; 2.会用求根公式解一元二次方程。 重 点 一元二次方程的求根公式. 难 点 求根公式的条件: b2-4ac 0。 教学过程: 一、复习 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些? 2、用配方法解方程: x2-7x-18=0 二、新授: 1、推导求根公式: ax2+bx+c=0(a≠0) 解: 方程两边都作以a,得x2+ x+ =0 移项,得: x2+ x=- 配方,得: x2+ x+( )2=- +( )2 即: (x+ )2= ∵a≠0,所以4a2>0 当b2-4ac≥0时,得 x+ =± =± ∴x= 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时, 它的根是x= 注意: 当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根。 2、公式法: 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、例题讲析: 例: 解方程: x2―7x―18=0 解: 这里a=1,b=―7,c=―18 ∵b2-4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0 ∴x= ,即: x1=9,x2=―2 例: 解方程: 2x2+7x=4 解: 移项,得2x2+7x―4=0 这里,a=1,b=7,c=―4 ∵b2-4ac=72―4×1×(―4)=81>0 ∴x= = 即: x1= ,x2=―4 三、巩固练习: P58随堂练习: 1、⑴⑶ 2 习题2.6 1、2、⑵⑶ 四、小结: (1)求根公式: x= (b2-4ac≥0) (2)利用求根公式解一元二次方程的步骤 五、作业: 作业本 板书设计 2.3 公式法 一、复习 二、求根公式的推导 三、练习 四、小结 五、作业 教学反思 课 题 2.4 分解因式法 第1课时 共2课时 教 学 目 标 1.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。 体会解决问题方法的多样性。 2.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。 重 点 掌握分解因式法解一元二次方程。 难 点 灵活运用分解因式法解一元二次方程。 教学过程: 一、回顾交流 1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。 1.5x2-2x-1=0 2.10(x+1)2-25(x+1)+10=0 观察比较: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗? 如果相等,这个数是几? 你是怎样求出来的? 分析小颖、小明、小亮的解法: 小颖: 用公式法解正确; 小明: 两边约去x,是非同解变形,结果丢掉一根,错误。 小亮: 利用“如果ab=0,那么a=0或b=0”来求解,正确。 分解因式法: 利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。 因式分解法的理论根据是: 如果两个因式的积等于零,那么这两个因式至少有一个等于零.如: 若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0;反之,若x+2=0或x-3=0,则一定有(x+2)(x-3)=0.这就是说,解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2=0或x-3=0. 二、范例学习 例: 解下列方程。 1.5x2=4x 2.x-2=x(x-2) 想一想 你能用几种方法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0。 三、随堂练习 随堂练习 1、2 P62 习题2.7 1、2 [拓展题] 分解因式法解方程: x3-4x2=0。 四、课堂总结 利用因式分解法解一元二次方程,能否分解是关键,因此,要熟练掌握因式分解的知识,通过提高因式分解的能力,来提高用分解因式法解方程的能力,在使用因式分解法时,先考虑有无公因式,如果没有再考虑公式法。 五、布置作业 补充: 用分解因式法解: (1)(2x-5)2-2x+5=0; (2)4(2x-1)2=9(x+4)2; (3)(x-1)(x+3)=12. 板书设计 2.4 分解因式法 一、复习 二、例题 三、想一想 四、练习 五、小结 六、作业 教学反思 第13课 祖国统一的历史大潮 【教学目标】 知识与能力: 1、说出香港、澳门回归的时间和设立特别行政区等基本史实。 2、能够列举出祖国大陆与台湾经济文化交往日益密切的史实。 3、比较香港、澳门特别行政区与内地的异同,增强比较能力。 4、通过比较港澳台问题的由来、港澳回归的背景和过程、回归后的发展情况等,培养分析、归纳能力。 过程与方法: 通过读书指导、讨论,了解“一国两制”这一基本国策的含义;通过播放有关港澳回归的视频,创设一个良好 的情景,加深祖国统一是历史必然的感性认识。 情感态度与价值观: 香港、澳门的顺利回归和回归后持续稳定的发展,说明了“一国两制”的科学构想确实是推进祖国和平统一大 业的基本方针,促进了港澳和内地的共同繁荣和发展。 认识祖国统一是大势所趋和历史必然。 【教材分析】 本课紧紧围绕着实现祖国统一这一主题,主要从三个方面介绍了“祖国统一的历史大潮”。 首先是“一国两 制”构想的提出和含义,然后是“一国两制”构想的成功实践——香港、澳门回归祖国,最后是海峡两岸关系 的发展。 这三部分环环相连,先有设想,接着实践,最后是展望。 【学情分析】 八年级的学生因为已经学习了中国古代史和中国近代史,因此他们对香港、澳门、台湾的自然地理、历史沿革 等方面比较了解,尤其是他们亲身见证了香港、澳门的回归,了解香港、澳门回归后经济的繁荣以及近几年来 海峡两岸人民联系的密切,容易产生历史认同感,更能体会到历史就在他们身边。 【设计思路】 《祖国统一的历史大潮》一课,我充分利用了地图、音乐、视频资料,使学生学习用多种方式靠近了解历史; 在教材处理上,我主要采用问题教学法,设计一系列的问题,逻辑推理,层层推进,使学生通过合作学习、探 究讨论理解掌握课堂内容,提高综合能力。 【教学重点】 能够说出香港、澳门回归和设立特别行政区以及海峡两岸经济文化交往日益密切等史实。 认识到“一国两制”的科学构想是推进祖国和平统一大业的基本方针。 祖国统一是大势所趋、历史必然。 【教学难点】 理解“一国两制”这一基本国策的含义和作用,明白社会主义制度在中国占有绝对主体的地位;理解香港、澳 门能够顺利回归,是建立在新中国综合国力大为提高的基础上的。 【教学准备】 教师准备: 教师整理课堂相关资料、视频剪辑等,制成多媒体课件。 学生准备: 1、收集有关资料,了解香港、澳门、台湾的历史沿革,进行必要的整理。 2、学生预习课文,根据兴趣自愿组成台湾组、香港组、澳门组。 【教材处理】 在教学中我调整了课文内容的顺序。 第一目“一国两制”的构想是本课的难点,开课便解决难点,不容易 为学生所接受,因此,可先让学生欣赏《乡愁》一诗,教师点拨这首诗表达了广大人民期望祖国统一的心愿, 把学生引向那段不堪回首的往昔。 然后教师引导学生介绍香港、澳门、台湾的历史沿革情况,用史实说明港澳 台自古以来就是祖国大陆不可分割的一部分,由此引出“一国两制”内容。 接下来,介绍在“一国两制”方针 指导下港澳回归的情况。 最后,介绍海峡两岸关系的发展。 这样,学生便会顺理成章地得出祖国统一是历史发 展的必然这一结论,从而增强使命感、责任感。 【教学过程】 导入新课: 让学生欣赏台湾著名诗人余光中的《乡愁》。 教师: 这首诗表达了作者怎样的情感? 学生: 寄托了台湾对祖国的思念,表达了广大人民期望祖国统一的心愿。 教师: 是啊! 两岸分隔、骨肉分离是中华儿女最深的乡愁! 那么这些原属伟大祖国版图上神圣不可分割的地方 是如何与祖国母亲分离的呢? 让我们把目光投向那段不堪回首的往昔······ 讲授新课: 一、百年屈辱 教师: 香港、澳门、台湾自古就是我国不可分割的领土,那么港澳台是从何时就在我国历史上有记载? 它们又 是从何时被分割出去的呢? 1、香港问题的由来 学生: 香港组介绍香港的历史沿革。 教师: 结合学生的回答,用多媒体展示香港(香港岛、新界、九龙)被割让的过程。 (1)1842年8月: 中英《南京条约》英国割占香港岛; (2)1860年10月: 中英《北京条约》英国割占九龙半岛南端界限街以南地区(九龙司地方一区) (3)1898年帝国主义掀起了瓜分中国的狂潮,1898年6月,中英签订《展拓香港界址专条》,英国强行租 借界限街以北,深圳河以南的九龙半岛北部大片土地及附近200多个岛屿(后统称“新界”)租期99年,到 1997年6月30日期满。 教师: 香港自古以来就是中国的领土,它是英国在19世纪中后期通过同清政府签订的三个不平等条约,先后 强行割占和租借去的。 2、澳门问题的历史由来 学生: 澳门组介绍澳门的历史沿革。 教师: (课件展示: 澳门特别行政区示意图和澳门被占过程)。 (1)1553年,葡萄牙人借口船遇风暴,攫取了在澳门的居住权; (2)1557年,葡萄牙人私自扩展土地,开始长期占据; (3)1849年,葡萄牙人占领澳门半岛; (4)1851年,葡萄牙人占领氹仔岛; (5)1864年,葡萄牙人占领路环岛。 教师: 澳门历来就是中国的领土,明朝中晚期被葡萄牙殖民者以欺骗手段租借并强占。 香港和澳门与祖国母亲 分离了,但港澳同胞对祖国母亲的思念和重返母亲怀抱的愿望一直没断。 下面请听他们的心声······ 教师: 播放《七子之歌》,介绍七子之歌的来历,让学生思考: 从歌词中你能找出哪些有关澳门的信息? 学生: 略 3、台湾问题 教师: 台湾自古以来就是我国不可分割的领土,台湾地处我国东南部,隔台湾海峡与祖国大陆遥遥相望,台湾 岛是我国面积最大的岛屿,面积36000平方千米,人口2200多万。 学生: 台湾组介绍台湾的历史沿革。 教师: (结合学生回答课件展示: 台湾问题的相关资料) (1)三国: 230年吴国孙权派大将卫温率万人船队达到夷洲,加强了夷洲与内地的联系。 夷洲即今台湾。 (2)隋朝: 隋炀帝三次派人去流求,密切两岸的经济、文化联系。 流求即今台湾。 (3)元朝: 元政府设立澎湖巡检司,管辖澎湖和琉球,促进了台湾的开发。 琉球即今台湾。 (4)1624年(明末),荷兰殖民者入侵台湾进行殖民统治,1662年初,郑成功在台湾人民的支持下,打 败
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