初二小班第六讲 不等式组的应用.docx
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初二小班第六讲不等式组的应用
第六讲不等式(组)的应用
教学目标
1、从实际问题中找到不等关系,根据实际问题情境列出不等式(组)。
2、进一步理解一元一次不等式(组),一元一次不等式(组)的解集等概念。
3、能运用已学过的不等式的知识并结合已经学过的知识点解决实际问题,并能求出符合实际的解集。
教学重点及相应策略
能够根据实际问题中的数量关系,列出不等式组解决实际问题
教学难点及相应策略
题目中出现多个量时,理清这些量之间的关系,并用不等式组表示出来是处理不等式组应用的一个难点。
教学方法建议
讲练结合,引导学生归纳总结
选材程度及数量
课堂精讲例题
搭配课堂训练题
课后作业
A类
(6)道
(6)道
()道
B类
(5)道
(3)道
()道
C类
(3)道
(2)道
()道
一、知识梳理/提炼
1.求不等式(组)的特殊解:
不等式(组)的解往往有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解,非负整数解,求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集,然后再找到相应答案.
2.列不等式(组)解应用题的一般步骤:
①审:
审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;
②找:
找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系;
③设:
设未知数(一般求什么,就设什么为
;
④列:
根据这个不等关系列出需要的代数式,从而列出不等式(组);
⑤解:
解所列出的不等式(组),写出未知数的值或范围;
⑥答:
检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位).
三、课堂精讲例题
例题1
题目:
已知方程kx+1=2x-1的根是正数,则k的取值范围是.
难度分级:
A类
-试题来源:
课时训练
-选题意图(对应知识点):
解一元一次不等式;一元一次方程的解.
-解题思路:
先解方程得x=
,再根据根是正数即x>0列出不等式求解即可.
-解法与答案:
-解:
∵方程kx+1=2x-1的根是正数,
-∴x=
,即k-2<0,
-解得k<2.
-故答案为:
k<2.
搭配课堂训练题
题目:
已知关于x的方程4(x-3)=3t+9的解为正数,则t的取值范围为.
-解析:
首先解方程,根据去括号,移项,合并同类项,把x的系数化为1,得到x=
,再根据x>0,得到
>0,解不等式即可.
-答案:
t>-7。
例题2
题目:
若三角形的三边长分别为2,a-1,4,则a的取值范围为.
-难度分级:
A类
-试题来源:
课时训练
-选题意图(对应知识点):
三角形三边之间的关系;一元一次不等式(组)的解法。
-解题思路:
根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;即可求a的取值范围.
-解法与答案:
-解:
由三角形三边关系定理得4-2<a-1<4+2,即3<a<7.
即a的取值范围是3<a<7.
搭配课堂训练题
-题目:
一根12cm长得铁丝围成一个等腰三角形,如果腰长为x,则x的取值范围为。
-解析:
根据三角形的三边关系以及周长,可列出不等式组进行求解.
-答案:
1<x≤12.
例题3
题目:
关于x,y的方程组
的解满足x>y,求m的最小整数值.
-难度分级:
A类
-试题来源:
课时训练
-选题意图(对应知识点):
一元一次不等式的整数解;解二元一次方程组.
-解题思路:
先求出方程组的解,用含m的代数式表示x,y,由x>y得到关于m的不等式,解得关于m的不等式的解集,然后求m的最小整数值.
-解法与答案:
-解:
由①+②得x=2m,
-由①-②得y=-m+1,
-∵x>y,
-∴2m>-m+1,
-解得m>1/3,
-∴m的最小整数值为1.
搭配课堂训练题
题目:
关于x、y的方程组
的解满足x、y均小于2,求m的取值范围.
-解析:
首先求出方程组的解,然后根据这个方程组的解满足x、y均小于2,得到一个关于m的不等式组,求出不等式组的解集即可得到m的取值范围.
-答案:
-1<m<1.
例题4
-题目:
若关于x的方程
的解为正数,则实数a的取值范围是。
-难度分级:
A类
-试题来源:
课时训练班
-选题意图(对应知识点):
分式方程的解;实数;一元一次不等式.
-解题思路:
首先解方程求得方程的解,根据方程的解是正数,即可得到一个关于a的不等式,从而求得a的范围.
-解法与答案:
-解:
去分母得:
2x+a=-x-2
-即3x=-a-2
-解得x=
-根据题意得:
>0
-解得:
a<-2
-故答案是:
a<-2
搭配课堂训练题
题目:
已知关于x的方程
解为正数,求m的取值范围.
-解析:
先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围.
-答案:
m<6且m≠3.
例题5
题目:
在平面直角坐标系中,已知点P(4m-6,m-3)在第四象限,则m的取值范围是.
-难度分级:
A类
-试题来源:
实验班
-选题意图(对应知识点):
点的坐标;解一元一次不等式组.
-解题思路:
让点P的横坐标大于0,纵坐标小于0,列式求值即可.
-解法与答案:
-解:
∵点P(4m-6,m-3)在第四象限,
-∴
-解得:
3/2<m<3.
搭配课堂训练题
-题目:
在平面直角坐标系内,点P(x-2,2x-1)在第二象限,则x的取值范围是
-.
-答案:
1/2<x<2
例题6
题目:
如图,直线y=ax+b经过点(-4,0),则不等式
ax+b≥0的解集为.
-难度分级:
A类
-试题来源:
课课通
-选题意图(对应知识点):
一次函数与一元一次不等式.
-解题思路:
根据图象得出当x≥-4时,y≥0,即可得到答案.
-解法与答案:
-解:
由图象可以看出:
当x≥-4时,y≥0,
-∴不等式ax+b≥0的解集为x≥-4,
-故答案为:
x≥-4.
搭配课堂训练题
-
题目:
如图,直线y=kx-1经过点(2,1),则不等式0≤x<2kx+2的解集为.
-解析:
先解出k的值,然后解不等式0≤x<2kx+2,求出不等式的解集即可.
-答案:
x≥0.
总结归纳:
以上六个例题都涉及到了一次不等式(组)和我们所学过知识点的综合应用。
分别是一次不等式(组)和一次方程、一次不等式(组)和三角形、一次不等式(组)和二元一次方程、一次不等式(组)和分式方程、一次不等式(组)和图形的坐标、一次不等式(组)和一次函数。
处理这些题型的关键就是;根据其它知识的知识点,找出等量或是不等量关系,建立不等式。
在一次不等式组的应用题中,类型有很多,但主要有如下几种类型:
一分配问题
二速度、时间问题
三工程问题
四价格问题
五方案选择与设计
六其他问题
在处理这些实际问题时,主要步骤如下:
⑴审题,找出不等关系;
⑵设未知数;
⑶列出不等式;
⑷求出不等式的解集;
⑸找出符合题意的值;
⑹作答。
例题7(分配问题)
题目:
鹿门宾馆一楼客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排在一楼,每间住4人,房间不够;每间住5人,有房间没有住满5人.又若全安排在二楼,每间住3人,房间不够,每间住4人,有房间没有住满4人,求该宾馆一楼有客房多少间?
-难度分级:
B类
-试题来源:
2010年中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
一元一次不等式组的应用.
-解题思路:
关系式为:
48除以5得到的房间数<一楼房间数<48除以4得到的房间数;3×二楼房间数<48<4×二楼房间数.
-解法与答案:
-解:
设该宾馆一楼有客房x间,则二楼有客房(x+5)间.
-依题意,得:
.
-解不等式①得:
9.6<x<12,
-所以x可能为10或11;③
-解不等式②,得7<x<11,
-所以x可能为8、9、10.④
-综合③、④知x=10.
-答:
该宾馆一楼有客房10间.
搭配课堂训练题
-题目:
某校利用周日选派学生协助交通警察维护交通秩序,若每个路口安排4人,那么还剩下78人;若每个路口安排8人,那么最后一个路口不足8人,但不少于4人.求这个学校共选派了多少名学生参与值勤?
共在多少个路口安排值勤?
-解析:
该题应设两个未知量,根据题意列出一个等式和两个不等式,通过解等式和不等式组可以求出两个变量.
-答案:
学生数为158;路口数位20.
例题8(速度、时间问题)
题目:
甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训,甲班学生步行速度为4km/h,乙班学生步行速度为5km/h,学校有一辆汽车,该车空车速度为40km/h,载人时的速度为20km/h,且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生,现在要求两个班的学生同时到达军营,问他们至少需要多少时间才能到达?
-难度分级:
B类
-试题来源:
2010年中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
二元一次方程;不等式的应用
-解题思路:
根据题意可让甲班学生从学校A乘汽车akm出发至某处下车步行,汽车空车返回至某处,乙班同学此处上车,此处距离学校bkm,根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间,甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程,求方程组的解即可.然后根据时间=路程/速度即可得他们至少需要多少时间才能到达.
-解法与答案:
-解:
设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行,乘车akm,空车返回至C处,乙班同学于C处上车,此时已步行了bkm.
-
-则
-解得a=60,b=20.
-则至少需要60/20+15/4=27/4(h)=6.75(小时).
-答:
他们至少需要6.75小时才能到达.
搭配课堂训练题
-
题目:
小明从家到学校,开始步行,后来跑步,小明离家的路程S(m)与所用时间t(分)之间的关系如图所示.
-
(1)根据图象回答:
小明家距学校的路及小明步行的速度.
-
(2)若h≤8,小明跑步速度为210m/分,求小明至少需要跑几分钟.
-解析:
-
(1)由图象可得小明家距学校2100m,小明步行的速度270÷3=90m/分.
-
(2)步行的路程+跑步的路程=2100,列出方程求解即可.
-答案:
-解:
(1)由图象可得小明家距学校2100m,小明步行的速度90m/分.
-
(2)由题意,若小明从家一直跑步到学校需时间2100÷210=10分钟,而h≤8,所以此题无解。
例题9(工程问题)
题目:
下面是工厂各部门提供的信息:
人事部:
明年生产工人不多于800人,每人每年工时按2400工时计算;
市场部:
预测明年的产品销售是10000~12000件;
技术部:
该产品平均每件需用120工时,每件需要装4个某种主要部件;
供应部:
今年年终库存某种主要部件6000个,明年可采购到这些部件60000个.
请判定:
①工厂明年的生产量至多应多少件?
②为了减少积压,至多可裁减多少工人用于开发其他新产品?
-难度分级:
B类
-试题来源:
2009年中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
一元一次不等式的应用.
-解题思路:
本题第一问有工时和部件两个条件限制可列两个不等式找公共部分.至多裁减多少人就应该是留下工人生产销售最少量时也就是10000件的时候.
-解法与答案:
-
(1)解:
设工厂明年的生产量至多应为x件.
-①x≤
-x≤16000
-②x≤
-x≤16500
-∴两不等式的公共部分x≤16000
-答:
工厂明年的产量至多为16000件.
-
(2)解:
设生产10000件至少需要y个工人
-
≥10000
-y≥500
-800-500=300(人)
-答:
至多裁减300人.
搭配课堂训练题
-题目:
某公司有员工50人,为了提高经济效益,决定引进一条新的生产线并从现有员工中抽调一部分员工到新的生产线上工作,经调查发现:
分工后,留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%;到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍,设抽调x人到新生产线上工作.
-
(1)填空:
若分工前员工每月的人均产值为a元,则分工后,留在原生产线上工作的员工每月人均产值是元,每月的总产值是元;到新生产线上工作的员工每月人均产值是元,每月的总产值是;
-
(2)分工后,若留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值;而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半.问:
抽调的人数应该在什么范围?
-解析:
(1)因为留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%;到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍,设抽调x人到新生产线上工作,所以留在原生产线上工作的员工每月人均产值是(1+40%)a,每月的总产值是(50-x)(1+40%)元;到新生产线上工作的员工每月人均产值是3a元,每月的总产值是3ax元;
-
(2)因为留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值;而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半,所以有由题可得不等式组
(其中a>0),解之即可.
-答案:
-
(1)(1+40%)a;(50-x)(1+40%)a;3a;3ax。
-
(2)抽调的人数应在9-14人之间(包括9人和14人).
例题10(价格问题)
题目:
一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位.生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元?
-难度分级:
C类
-试题来源:
中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
一元一次不等式的应用.
-解题思路:
-本题在劳力和原料两个限制条件下,设出生产小熊小猫的个数分别为x和y,可列出关于x和y的两个不等式,由总售价为2200元还可以列出关于x和y的一个等式,三个式子结合就可以求出x和y看符合不符合条件,求出答案.
-解法与答案:
-解:
设小熊和小猫的个数分别为x和y,总售价为z,则z=80x+45y=5(16x+9y)①
-根据劳力和原材料的限制,x和y应满足15x+10y≤450,20x+5y≤400
-化简3x+2y≤90
(1)
-及4x+y≤180
(2)
-当总售价z=2200时,由①得16x+9y=440(3)
-
(2)•9得36x+9y≤720(4)
-(4)-(3)得20x≤720-440=280,
-即x≤14(A)
-
得
(5)
-(3)-(5)得
,
-即x≥14(B)
-综合(A)、(B)可得x=14,代入(3)求得y=24
-当x=14,y=24时,有3x+2y=90,4x+y=80满足工时和原料的约束条件,此时恰有总售价z=80×14+45×24=2200(元)
-答:
只需安排生产小熊14个、小猫24个,就可达到总售价为2200元.
搭配课堂训练题
题目:
某饮料厂生产一种饮料,经测算,用1吨水生产的饮料所获利润y(元)是1吨水的价格x(元)的一次函数.
(l)根据表中提供的数据,求y与x的函数关系式;当水价为每吨10元时,l吨水生产出的饮料所获的利润是多少?
-为节约用水,这个市规定:
该厂日用水量不超过20吨时,水价为每吨4元;日用水量超过20吨时,超过部分按每吨40元收费.已知该厂日用水量不少于20吨,设该厂日用水量为t吨,当日所获利润为W元.求W与t的函数关系式;该厂加强管理,积极节水,使日用水量不超过25吨,但仍不少于20吨,求该厂的日利润的取值范围.
-解析:
-
(1)用1吨水生产的饮料所获利润y(元)是1吨水的价格x(元)的一次函数.可以设出一次函数关系式,然后根据表中所给的条件(4,200)(6,198)可求出解析式;
-
(2)根据函数式可求出一吨水价是40的利润,然后根据题意可得w=200×20+164(t-20),代入t=20或t=25可求出日利润的取值范围.
-答案:
-
(1)当x=10时,y=-10+204=194(元);
-
(2)4000≤w≤4820。
例题11(方案的选择与设计)
题目:
为实现区域教育均衡发展,我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造.根据预算,共需资金1575万元.改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元;改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?
(2)若该县的A类学校不超过5所,则B类学校至少有多少所?
(3)我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造,改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元;地方财政投入的改造资金不少于70万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案?
-难度分级:
C类
-试题来源:
2010年中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用;一次不等式(组)的应用。
-解题思路:
-
(1)可根据“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元;改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”,列出方程组求出答案;
-
(2)根据“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”,进行判断即可;
-(3)要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元;地方财政投入的改造资金不少于70万元”来列出不等式组,判断出不同的改造方案.
-解法与答案:
-解:
(1)设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元.
-依题意得:
-解得:
-答:
改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元;
-
(2)设该县有A、B两类学校分别为m所和n所.
-则60m+85n=1575
-
-∵A类学校不超过5所
-
-∴n≥15
-即:
B类学校至少有15所;
-(3)设今年改造A类学校x所,则改造B类学校为(6-x)所,
-依题意得:
{50x+70(6-x)≤40010x+15(6-x)≥70
-解得:
1≤x≤4
-∵x取整数
-∴x=1,2,3,4
-答:
共有4种方案.
搭配课堂训练题
-题目:
由于受金融危机的影响,某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元.如果卖出相同数量的手机,那么去年销售额为8万元,今年销售额只有6万元.
-
(1)今年甲型号手机每台售价为多少元?
-
(2)为了提高利润,该店计划购进乙型号手机销售,已知甲型号手机每台进价为1000元,乙型号手机每台进价为800元,预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台,请问有几种进货方案?
-(3)若乙型号手机的售价为1400元,为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金a元,而甲型号手机仍按今年的售价销售,要使
(2)中所有方案获利相同,a应取何值?
-解析:
(1)设今年甲型号手机每台售价为x元,根据:
去年的销售量=今年的销售量,列方程求解;
-
(2)设购进甲型号手机m台,则购进乙型号手机(20-m)台,根据:
用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台,列不等式组,求正整数m的可能取值;
-(3)根据总利润W=甲型号利润+乙型号利润,列出一次函数关系式,再求利润相同时,a的取值.
-答案:
-
(1)今年甲型号手机每台售价为1500元
-
(2)m取8、9、10、11、12,共有5种进货方案
-(3)a=100.所以当a=100时,
(2)中所有方案获利相同
例题12
题目:
(其它问题)
如图,用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时,每次钉入木块的钉子长度是前一次的1/2.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm,则a的取值范围是。
-难度分级:
B类
-试题来源:
中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
一元一次不等式组的应用.
-解题思路:
由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm,以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm,得出最小长度,即可得出答案.
-解法与答案:
-解:
∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的1/2.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,
-根据题意得:
敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm
-而此时还要敲击1次故长度要大于3cm,
-第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一,也就是第二次的一半=0.5cm
-所以a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm,
-∴a的取值范围是:
3<a≤3.5.
搭配课堂训练题(和例题相一致,起到巩固的作用,数量可根据课程容量设计)
-题目:
设“〇,△,□”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示,那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是( )
-
-A、□>〇>△B、□>△>〇C、△>〇>□D、△>□>〇
-解析:
根据题目中的图形就可以得到一个不等关系,和一个相等关系,就可以得到三个物体的质量的大小.
-答案:
B
例题13
题目:
有一个两位数,其中十位上的数字比个位上的数字小2,如果这个两位数大于20而小于40,求这个两位数.
-难度分级:
B类
-试题来源:
尖子生培优
-选题意图(对应知识点):
不等式的应用
-解题思路:
这个两位数大于20而小于40,设未知数,表示出这个两位数,根据关键描述语列出不等式即可.
-解法与答案:
-解:
设十位上的数字为x,则个位上的数字为x+2,根据题意得
-20<10x+x+2<40,
-以上不等式可化成下列不等式组
-
②
-由①得x>18/11
-由②得x<38/11
-所以不等式组的解集是18/11<x<38/11.
-因为x表示的是十位上的数字,
-所以x只能是2或3,
-则个位上数字是4或5,
-所以这个两位数是24或35.
-答:
这个两位数是24或35.
例题14
题目:
某高速公路收费站,有m(m>0)辆汽车排队等候收费通过.假设通过收费站的车流量(每分钟通过的汽车数量)保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的.若开放一个收费窗口,则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过;若同时开放两个收费窗口,则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过.若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过,并使后来到站的汽车也随到随时收费通过,请问至少要同时开放几个收费窗口?
-难度分级:
C类
-试题来源:
中考试题汇编
-选题意图(对应知识点):
一次不等式的应用
-解题思路:
有多个未知量
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 初二小班第六讲 不等式组的应用 初二 小班 第六 不等式 应用