人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形单元练习试题.docx
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人教版八年级数学上册第12章全等三角形单元练习试题
第12章全等三角形
一.选择题(共15小题)
1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是( )
A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC
2.如图,BD平分∠ABC,BC⊥DE于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD=( )
A.28B.21C.14D.7
3.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.HL
4.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,∠CAD=25°,则∠ABE的度数为( )
A.30°B.15°C.25°D.20°
5.在△ABC中,AB=4,AC=6,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是( )
A.0<AD<10B.1<AD<5C.2<AD<10D.0<AD<5
6.如图,AB=DB,∠ABD=∠CBE,①BE=BC,②∠D=∠A,③∠C=∠E,④AC=DE,能使△ABC≌△DBE的条件有( )个.
A.1B.2C.3D.4
7.如图,N,C,A三点在同一直线上,在△ABC中,∠A:
∠ABC:
∠ACB=3:
5:
10,又△MNC≌△ABC,则∠BCM的度数等于( )
A.10°B.20°C.30°D.40°
8.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )
A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BD
C.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确
9.已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确
C.①,②都错误D.①,②都正确
10.如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图,△ABC≌△BAD,则下列结论正确的是( )
A.AD=DCB.AC=BDC.∠A=∠BD.∠D=∠C
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,则下列结论:
①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④若AC=4BE,则S△ABC=8S△BDE.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
13.如图,AD是△ABC的角平分线,过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列结论:
①DE=DF;②BD=CD;③AE=AF;④∠ADE=∠ADF,其中正确结论的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
15.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.5B.7C.10D.3
二.填空题(共4小题)
16.如图,在△PAB中,PA=PB,M、N、K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则∠P的度数为 .
17.如图,△ABC≌△DBE,A、D、C在一条直线上,且∠A=60°,∠C=35°,则∠DBC= °.
18.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1与∠2的和为 .
19.如图,已知∠AOB=90°,OC是∠AOB的角平分线把三角尺的直角顶点P落在OC上,三角尺的两条直角边分别交OA,OB于点E,F,若OP=4,则四边形OEPF的面积等于 .
三.解答题(共4小题)
20.如图,△ADE的顶点D在△ABC的BC边上,且∠ABD=∠ADB,∠BAD=∠CAE,AC=AE.
求证:
BC=DE.
21.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2.求证:
∠EDC=∠C.
22.如图,D、C、F、B四点在一条直线上,AB=DE,AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为点C、点F,CD=BF.
求证:
(1)△ABC≌△EDF;
(2)AB∥DE.
23.如图,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠ABD=90°,点E为AD边上的一点,且AC=AE,连接CE交AB于点G,过点A作AF⊥AD交CE于点F.
(1)求证:
△AGE≌△AFC;
(2)若AB=AC,求证:
AD=AF+BD.
参考答案
一.选择题(共15小题)
1.解:
条件是AB=CD,
理由是:
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°,
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
故选:
D.
2.解:
作DH⊥BA于H.
∵BD平分∠ABC,BC⊥DE,DH⊥AB,
∴DH=DE=4,
∴S△ABD=
×7×4=14,
故选:
C.
3.解:
因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:
CD=BC,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.
故选:
C.
4.解:
证明:
∵AD⊥BC,
∴∠BDF=∠ADC,
又∵∠BFD=∠AFE,
∴∠CAD=∠FBD,
在△BDF和△ACD中
,
∴△BDF≌△ACD(AAS)
∴∠DBF=∠CAD=25°,
∵DB=DA,∠ADB=90°,
∴∠ABD=45°,
∴∠ABE=∠ABD﹣∠DBF=20°
故选:
D.
5.解:
延长AD至点E,使得DE=AD,
∵在△ABD和△CDE中,
∵
,
∴△ABD≌△CDE(SAS),
∴AB=CE,AD=DE
∵△ACE中,AC﹣AB<AE<AC+AB,
∴2<AE<10,
∴1<AD<5.
故选:
B.
6.解:
∵AB=DB,∠ABD=∠CBE,
∴∠ABC=∠DBE,
∵BE=BC,利用SAS可得△ABC≌△DBE;
∵∠D=∠A,利用ASA可得△ABC≌△DBE;
∵∠C=∠E,利用AAS可得△ABC≌△DBE;
故选:
C.
7.解:
∵在△ABC中,∠A:
∠ABC:
∠ACB=3:
5:
10,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A=30°,∠BCA=100°,∠ABC=50°,
∵△MNC≌△ABC,
∴∠NCM=∠ACB=100°,∠N=∠ABC=50°,BC=NC,
∴∠NBC=∠N=50°,
∴∠BCN=180°﹣∠N﹣∠NBC=80°,
∴∠BCM=∠ACB﹣∠BCN=100°﹣80°=20°,
故选:
B.
8.解:
从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边.
很据“HL”定理,证明Rt△ABC≌Rt△ABD,
还需补充一对直角边相等,
即AC=AD或BC=BD,
故选:
B.
9.解:
∵△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,
∴B1C1=B2C2,
∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS),∴①正确;
∵∠A1=∠A2、∠B1=∠B2,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2,
设相似比为k,即
=
=
=k,
∴
=k,
∵△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,
∴k=1,
即A1B1=A2B2,B1C1=B2C2,A1C1=A2C2,
∴△A1B1C1≌△A2B2C2,∴②正确;
故选:
D.
10.解:
A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等,
故本选项不符合题意;
B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等,
故本选项不符合题意;
C、如图1,∵∠DEC=∠B+∠BDE,
∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,
∴∠FEC=∠BDE,
所以其对应边应该是BE和CF,而已知给的是BD=FC=3,
所以不能判定两个小三角形全等,故本选项符合题意;
D、如图2,∵∠DEC=∠B+∠BDE,
∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,
∴∠FEC=∠BDE,
∵BD=EC=2,∠B=∠C,
∴△BDE≌△CEF,
所以能判定两个小三角形全等,故本选项不符合题意;
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形,
故选:
C.
11.解:
∵△ABC≌△BAD,
∴AD=BC,AC=BD,∠BAC=∠ABD,∠ADB=∠BCA,
故选:
B.
12.解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠DAE,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠C=∠E=90°,
∵AD=AD,
∴△DAC≌△DAE(AAS),
∴∠CDA=∠EDA,
∴①AD平分∠CDE正确;
无法证明∠BDE=60°,
∴③DE平分∠ADB错误;
∵BE+AE=AB,AE=AC,
∵AC=4BE,
∴AB=5BE,AE=4BE,
∴S△ADB=5S△BDE,S△ADC=4S△BDE,
∴S△ABC=9S△BDE,
∴④错误;
∵∠BDE=90°﹣∠B,∠BAC=90°﹣∠B,
∴∠BDE=∠BAC,
∴②∠BAC=∠BDE正确.
故选:
B.
13.解:
∵AD是△ABC的角平分线,过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
∴DE=DF
∵DE=DF,AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
∴AE=AF,∠ADE=∠ADF
故①③④正确
∵只有等腰三角形顶角的角平分线才是底边的中线
∴②错误
故选:
C.
14.解:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DE=CD,
又∵AC=BC,AC=AE,
∴AC=BC=AE,
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB,
∵AB=6cm,
∴△DBE的周长=6cm.
故选:
A.
15.解:
作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,EF⊥BC,ED⊥AB,
∴EF=DE=2,
∴△BCE的面积=
×BC×EF=5.
故选:
A.
二.填空题(共4小题)
16.解:
∵PA=PB,
∴∠A=∠B,
在△AMK和△BKN中,
,
∴△AMK≌△BKN(SAS),
∴∠AMK=∠BKN,
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN,
∴∠A=∠MKN=40°,
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣40°=100°,
故答案为100°.
17.解:
∵△ABC≌△DBE,
∴AB=BD,
∴∠A=∠BDA=60°,
∵∠BDA=∠C+∠DBC,∠C=35°,
∴∠DBC=60°﹣35°=25°,
故答案为25.
18.解:
∵在△ABC和△AED中
,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴∠1=∠AED,
∵∠AED+∠2=90°,
∴∠1+∠2=90°,
故答案为:
90°.
19.解:
如图,过点P作PG⊥AO,PH⊥OB
∵OC平分∠AOB,PG⊥AO,PH⊥OB,
∴PG=PH,
∵∠AOB=∠EPF=90°
∴∠PEO+∠PFO=180°,且∠PEO+∠PEG=180°
∴∠PEG=∠PFO,且PH=PG,∠PGE=∠PHF=90°
∴△PEG≌△PFH(AAS)
∴S△PGE=S△PHF,
∴四边形OEPF的面积等于四边形OGPH的面积
∵PG⊥AO,PH⊥OB,∠AOB=90°
∴四边形OGPH是矩形,且PG=PH
∴四边形OGPH是正方形
∵OP=4
∴正方形OGPH的面积=
=8=四边形OEPF的面积
故答案为:
8
三.解答题(共4小题)
20.证明:
∵∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
∵在△ABC和△ADE中,
.
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴BC=DE.
21.证明:
∵∠ADE=∠1+∠DCE=∠2+∠BDE,且∠1=∠2,
∴∠DCE=∠BDE,且∠A=∠B,AE=BE,
∴△BDE≌△ACE(AAS)
∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
22.证明:
(1)∵AC⊥BD,EF⊥BD,
∴△ABC和△EDF为直角三角形,
∵CD=BF,
∴CF+BF=CF+CD,即BC=DF,
在Rt△ABC和Rt△EDF中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(HL);
(2)由
(1)可知△ABC≌△EDF,
∴∠B=∠D,
∴AB∥DE.
23.证明:
(1)∵∠CAB=∠FAE=90°,
∴∠CAB﹣∠FAG=∠FAE﹣∠FAG,即∠CAF=∠EAG,
∵AC=AE,
∴∠ACF=∠AEG,
在△AGE和△AFC中,
,
∴△AGE≌△AFC(ASA);
(2)延长AF至点H,使AH=AD,
在△CAH和△BAD中,
,
∴△CAH≌△BAD(SAS)
∴CH=BD,∠ACH=∠ABD=90°,
∴CH∥AB,
∴∠CHA=∠HAG,
∵△AGE≌△AFC,
∴∠AGE=∠AFC,
∴∠AGF=∠AFG,
∴∠HCF=∠HFC,
∴HC=HF,
∴AH=AF+HF=AF+CH,
∴AD=AF+BD.
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