江苏省盐城市南京市届高三第一次模拟考试数学试题Word版含答案.docx
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江苏省盐城市南京市届高三第一次模拟考试数学试题Word版含答案.docx
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江苏省盐城市南京市届高三第一次模拟考试数学试题Word版含答案
江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试
数学试题参考答案
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓划、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡
•••
上对应题目的答案空格内.考试结朿后,交回答题卡.
参考公式:
柱体体积公式:
V=Sh,锥体体积公式:
片#弘,其中S为底面积,方为高.
样本数据;^m…,屁的方差』=2£(却一)3其中=
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上.
1.已知集合A=(0,+8),全集贝lj[:
d=.
2.设复数z=2+i,其中i为虚数单位,则z・2=.匚_0:
3.学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调査,:
WhileSW10:
则甲被选中的概率为.!
S*~S+I:
!
/T+1>
4.命题F"GR,cos〃+sin0>广的否泄是命题.(填“真”或:
…皿.:
.EndWhile:
5.运行如图所示的伪代码,则输出的7的值为・丨Mm/:
I1
6.已知样本7,8,9,弘y的平均数是9,且-vy=110,则此样本的方差(第5题图)
是•
7.在平而直角坐标系xOy中,若抛物线/=4,y上的点尸到其焦点的距离为3,则点尸到点0的距离
为.
8.若数列{/}是公差不为0的等差数列,Ina,、Ina:
、In禺成等差数列,则兰的值为
a:
9.在三棱柱ABC-A^Q中,点尸是棱CG上一点,记三棱柱ABC—入&C:
与四棱锥P-ABBA的体积分别为
«与%,则¥=.
10.设函数f3=sin(5+e)3>0,ovev*)的图象与y轴交点的纵坐标为平,y轴右侧第一个最
低点的横坐标为则G的值为・
6
11・已知F是△磁的垂心(三角形三条髙所在直线的交点),茄=丄石+穆花,则cosABAC的值
42
为.
12.若无穷数列{cos(^)}(6>GR)是等差数列,则貝前10项的和为.
13.已知集合F={Cv,y)Ia^I-y!
+y\y\=16},集合Q={{x.y)[滋+hW応上v+k},若圧0,则&
的最小值为・
二•解答题:
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在
答题卡的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
已知△磁满足sin(万+?
)=2cos5.
6
(1)若cosC=¥,AC=3,求個
兀4
(2)若川丘(0,—)♦且cos(B~A)=-♦求sinJ.
3□
16.
(本小题满分14分)
如图,长方体ABCD—AbC・D中,已知底而馭P是正方形,点尸是侧棱CG上的一点.
(1)若M//平面加求罟的值;
(2)求证:
BDLA.P.
17.(本小题满分14分)
如图,是一块半径为4米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中裁剪出两块全等的圆形铁皮O尸与OQ做圆柱的底而,裁剪出一个矩形個⑦做圆柱的侧而(接缝忽略不计),M为圆柱的一条母线,点A、万在©0上,点只。
在0。
的一条直径上,AB//PQ,0A0。
分别与直线应'、出?
相切,都与00内切.
(1)求圆形铁皮。
尸半径的取值范围:
(2)请确定圆形铁皮G)尸与0Q半径的值,使得油桶的体枳最大.(不取近似值)
18.(本小题满分16分)
设椭圆C:
三+£=l(a>b>0)的左右焦点分别为凡弘离心率是“动点P(m%)在椭圆Q上运动.当般ab
丄*轴时,及=1,g=e・
(1)求椭圆C的方程:
(2)延长朋,啟分别交椭圆C于点川B(A,万不重合)•设忑=人乔,巫="序,求久+“的最小值.
(第18題图)
19・(本小题满分16分)
宦义:
若无穷数列&}满足{a+—捕是公比为q的等比数列,则称数列UJ为“於(q)数列二设数列仏}中厶=1,厶=7・
(1)若厶=4,且数列{必是“Mq)数列”,求数列{«}的通项公式;
(2)设数列⑹的前n项和为弘且乩=2,—討+久,请判断数列⑹是否为“"(g)数列”,并说明理由;
(3)若数列⑹是“"
(2)数列S是否存在正整数皿力使得搭豊般?
若存在,请求出所有满足
20iybnZ019
条件的正整数皿n:
若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
若函数fix)=e~X~mx(eWR)为奇函数,且x=x°时f(x)有极小值fg)・
(1)求实数a的值:
(2)求实数也的取值范I羽:
9
(3)若Kyo)^—恒成立,求实数助的取值范[卞]・
e
注意事项:
1.附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校.班级.学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题
••
卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸卡・
■
21.【选做题】在A"、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:
矩阵与变换
已知圆C经矩阵变换后得到圆L:
»+尹=13,求实数a的值.
B.选修4-4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,直线pcos〃+2"sin〃=也被曲线p=4sin0截得的弦为的当曲是最长弦时,求实数山的值.
C.选修4—5:
不等式选讲
已知正实数①b,C满足丄+舟+3=1,求a+2b+3c的最小值.abc
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,aa„脛是圆柱的两条母线,小、m分别经过上下底面圆的圆心a、ae是下底而与曲垂直的直径,0=2.
(1)若M=3,求异面直线儿C与30所成角的余弦值;
(2)若二面角A-CD-B,的大小为斗,求母线恣的长.
<3
(第22题图)
23.(本小题满分10分)
2n
设£(1—2.y)1=^04-a^x-[-azx+•••+az^x31N*)♦idS>=&)+a:
+ai+・・・+a"・
j—i
(1)求5,:
(2)记7;=—(—1)乞以,求证:
L^6n恒成立.
盐城市•南京市2020届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.(一8,0]2.53.|4.真5.66.27.2^3
8.39.£10.711.电12.1013.414.
332
二、解答题:
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
解:
(1)由sin(5+-^-)=2cos5,可知•^■sin5+^cos5=2cos5»即sin5=-\/3cos5.
因为cos5#0>所以tan5=^/3・
又5G(0,兀),故B=*・
由cosC=^^,CG(0»n),
可知sinC=\ll-coszC=^-
□
在△遊中,由正弦左理;sin
二i•扫月。
可得—=~
・nsmcsm—
3
所以AB=2.
由⑴矢所以胆(0,斗)时,斗一胆(0,斗),
5OOU
4n.4
由cos(B—A)=二,即cos(―—J)=->
000
所以sinJ=sin[—-一(—J)]=sin—cos(—A)—cos寸sin(A)
14分
=^x---x-=-^—3
2
52510
又近平面初仞,所以QC丄勿.
12分
又AcnCG=G月GZ而ACC.A^而ACC.A^
所以助丄而ACQA,.
又因为儿疋而ACC.A..所以BDLA.P.
14分
17.(本小题满分14分)
解:
(1)设。
尸半径为“则AB=4(2-r),
所以OP的周长2nr=BC^2^/16-4(2-r):
16
十+4’
故俳半径的取值范围为(0,齐].
(2)在
(1)的条件下,汕桶的体积K=nr:
•J5=4nr:
(2-r).
设函数f&)=£(2-£,丄唱(0,卓一;],
”+4
所以f'3=4.y—3左,由丁—V:
n4-43
所以f'Cv)>0在泄义域上恒成立,故f&)在泄义域上单调递增,
即当$=仝7时,体积取到最大值・13分
n+4
答:
OF半径的取值范围为(0,当〒|・当上=芈7米时.体积取到最大值.14分
兀+4兀+4
18・(本小题满分16分)
解:
(1)由当啟丄x轴时,及=1,可知。
=1・2分
将及=1,%=e代入椭圆方程得4+^=1.
ab
由e=-=-,孑=孑一£=£一1,所以2+x=「=1‘
aa4a(a—1丿
解得a:
=2,故歹=1,
所以椭圆C的方程为|+/=1.4分
—、亠7Ml/、.-A―AhJ—1—及=ACvb+1),llr.-Y1=—/I-Vo—久-
(2)方法一:
设川"yj,由血=人兀P,得-I即-|
l~yi-久口,71--人%,
代入椭圆方程,得匕士F△二"+(—久%尸=1.8分
乂由|+^=b得丄护+3^)—/,两式相减得'人+D◎;"+"+D=1_
12分
14分
因为人+1H0,所以2人及+久+1=2(1—人),
3+2Ao
同理可得“=二一,
3~2-¥o
16/
3+2及3—2為9—4肚3
方法二:
由点儿万不重合可知直线用与*轴不重合,
故可设直线PA的方程为<=砂一1,
■?
+/=b消去x,得缶+2)#—2才1=0.
—1—1
设川力乃),则八乃=子戸,所以乃=(肯+7)J
将点尸(及,旳)代入椭圆的方程得*+诒=1,
代入直线用的方程得及=砂。
一1,所以加=汇
%
由旋“矗,得-“5故“-沪昇2)元馆+1):
+2允
1=]
(ao+1)=+2(1-|^)3+2"
乙
同理可得“=出厂・
3~2afo
故人+〃=111
亠2
3+2及3—2及9-4-%3
9当且仅当必=0时取等号,故人+“的最小值为彳・
注:
(1)也可设P(J2cos0,sin")得久=,其余同理.
3+2羽cos0
•12分
14分
•••16分
⑵也可由寺+>6,运用基本不等式求解久+“的最小值.
19・(本小题满分16分)
解:
(1)因为&=4,且数列仏}是“駅q)数列”,
所以尸茎所以左汕s
即b小—b“=&—比i,42、
所以数列{切是等差数列,其公差为a
所以数列{血通项公式为^=1+(/2-1)X3,即b=3n—2.•
(2)由bn\\=2Se:
—£力+久*得乙=弓+/I>厶=4+3久=7,故人=1.
方法一":
由乩i=2S,—*n+l,得^12=25,11—^(/34-1)+1,两式作差得乩2-b,r=2b,"—*,即乩==3人nGN*.
乂=所以bz=3b、—
所以人“=3厶一扌对nGN*恒成立,6分
b熬'1~7
111314
则Z^u—t=3(^—7^・因为乙一丁=7工0,所以厶一;H0,所以=3,
44444r1
乙一彳
即{^-|}是等比数列,
4
所以人一±=(1—》X3"'=4><3S即乙==X3”+1
44444
所以{乩一厶}是公比为3的等比数列,故数列仏}是“駅。
)数列二10分
方法二:
同方法一得b.,+i=3b,—*对nGN*恒成立,6分
则b.^2=3b.^两式作差得bz—bn\\=3〈bzL掠・8分
乙
因为厶一厶=碁0,所以b小一b#o,所以~~=3,
厶bz—bn
所以仏“一血是公比为3的等比数列,故数列{血是“駅q)数列二10分(3)由数列仏}是"M2)数列”,得工“一乙=(乙一5)X2….
又二^=2,即匸辛=2,所以&=3,所以&-2h=2,所以bz-b尸口bz—b.bz—l
所以当力22时♦bn={bn—bn1)+(Air-1—bn-2)+-・+(厶一th)+£h
=2…+2宀+・・・+2+1=2”一1・
当刀=1时上式也成立,所以人=2”一1.
12分
假设存在正整数皿”,使得黑v半<弊,则晋
2019bn2019
2“一14039
由討+>辟>1,可知2^-l>2fl-b所以五>力・
又皿力为正整数,所以巾一卫21・
2fl-1_2T°(2fl-1)+2'a-1_or_,2…一1J040乂歹二I=_一
2'-1
2”一1“2019’
所以2…V黑<3,所以m-n=\,
2019
14分
亦°丄1口"039一°丄1一4040店山2021
所以亍T2+b‘BP—<2+—<—,mu—<2<2020,
所以73=10,也=11,
故存在满足条件的正整数皿”,其中m=ll,n=10.16分
20.(本小题满分16分)
解:
(1)由函数f(x)为奇函数,得f(x)+f(—切=0在泄义域上恒成立,
所以e“一aeJ—/n.v+e"―处"+血丫=0,
化简可得(1一a)・(e”+e”)=0,所以a=l.3分
(2)方法一:
由
(1)可得f&)=—邮所以f心)=e+j=e"曲+l.
e
①当曲2时,由于e汰一於、+1鼻0恒成立,
即f'(£20恒成立,故不存在极小值.5分
②当也>2时,令ex=t,则方程t:
-^+l=0有两个不等的正根灯tz(t:
故可知函数fa)=e’一ep—血在(一8,InG,(In纭+®)上单调递增, 在(In切lnl上单调递减,即在In住处取到极小值, 所以,也的取值范围是(2,+s).9分 方法二: 由 (1)可得f3=e"—e*—mx、令g(x)=f'(x)=e=+ex—m, 则列U)=eA-e^=^—・ e 故当x20时,g'(£20: 当*0时,扌Cy)<0,5分 故g(x)在(一8,0)上递减,在(0,+8)上递增,所以g(x): nn=g(0)=2—皿 1若2_»0,则20恒成立,所以f3单涮递增,此时f3无极值点.……6分 2若2—XO,即加>2时,g(0)=2—*0.取r=hw,则&(£)=丄>0・ m 又函数g(£的图象在区间[0,r]上不间断,所以存在(0.t),使得g&°)=0. 又g(x)在(0,+8)上递增, 所以-yE(0>-Yb)时,g(x)<0,即f'Cv)VO: (及,+8)时,gCr)>0,即f'(x)>0. 所以f&°)为fCv)极小值,符合题意・ 所以,皿的取值范围是(2,+8).9分 (3)由X。 满足e”+e口=血代入f(x)=et~ex—mx, 消去加可得Z(Ao)=(1—Ao)eA—(14-Ao)e・11分构造函数念)=(—(1+W,所以加3=W-e》 当时,e_A 所以当时,刖3W0恒成立, e 2 故力(x)在[0,+8)上为单调减函数,其中A(l)=-|,13分 9 则A-Yo)-可转化为A(Ab)M力 (1)»故AbWl・15分 e 由en+e"'=^设y=ev4-e'\ 可得当・丫20时,=e”一e”20,所以y=e”+e”在(0,1]上递增,故mWe+丄.e 综上,加的取值范围是(2,e+七・16分 说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考査内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决左给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半: 如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-2: 矩阵与变换 解: 设圆C上任一点G,y),经矩阵"变换后得到圆L上一点卩'), 所以 又因为(*): 4-(y,)s=13.所以圆Q的方程为(^+3y)2+(3x-2y)2=13, 化简得(a~+9)才+(6a—12)*y+13? =13, 10分 所以,实数4的值为2・ B.选修4一4: 坐标系与参数方程 解: 以极点为原点,极轴为X轴的正半轴(单位长度相同)建立平而直角坐标系, 由直线Pcos"+2Qsin〃=m可得直角坐标方程为x+2—也=0. 又曲线P=4sin0.所以P3=4Psin0,其直角坐标方程为£+(y-2)'=4,5分 所以曲线P=4sin是以(0,2)为圆心,2为半径的圆. 为使直线被曲线(圆)截得的弦曲最长,所以直线过圆心(0,2), 于是0+2X2—也=0,解得22? =4. 所以,实数山的值为4・10分 C.选修4一5: 不等式选讲 解: 因为-+^+-=b所以丄+£+丄=1・ abcaLb5c 由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(丄+丄+刍)三(1+2+3)", a2b3c 即a+2b+3c$36,5分 1£_9. 当且仅当? =牛=学,即a=b=c时取等号,解得a=b=e=6, a2b3c 所以当且仅当a=b=c=6时,a+2b+3c取最小值36.10分 22.(本小题满分10分) 解: (1)以CD,AB,0Q所在直线建立如图所示空间直角坐标系O—xyz. 由CD=2、M=3t所以川0,-b0),5(0,1,0),C(-b0,0),D(l,0,0), A.(0,-1,3),3(0,1,3), 从而Xc=(-1,1,一3),乔=(1,-b一3), 所以平而凡Q的一个法向量屁=(0,皿1)・ 同理可得平而的一个法向量处=(0,—皿1)・ 因为二而角A-CD-B.的大小为寸, O 山X(―加)+1X1 所以n=>=m」諾, 7亦+1公7(—巾尸+1・2 解得a=y/3或血=誓, 由图形可知当二而角A-CD-B,的大小为扌时,m=y[30 10分 (2)设M=/z? >0,则耳(0,-b也),5(0,bzz7)> 所以Zc=(-b1,-ZZ7),竝=(1,一1,一加),75=(2,0,0), 注: 用传统方法也可,请参照评分. 23.(本小题满分10分) 解: (1)令-¥=! •得ao+a,+a: +…+a廿=0. 令x=—1,得&3一&,+比一比+・・・一吐\+&訪=3: +3'+・・・+3"=¥(911—1)・ 乙 3 两式相加得2(ao+a: : +ai+・・・+aJ=-(9a—1)♦ 3 所以S尸冷⑼一1)・3分 4 (2)監=一£(+£空一&空+…+(—1)工以 3 =牛{[一9£+9宅一9宅卜(_1)丫即一[一&+*_&+…+(_1)乜]} =扌{[9€—9£+9宅一9‘空(一1)"9"即一[煤一C+磴一空(一1)”邙} =学[9£一9£+9: 磴一9’空(一1)”9可 3 =氾(_9)°+即_9)*(_9)+・・+以(_9)1 =4[1+(—9)]・三><(一8);7分 44 要证7L—6/A即证6兄只需证明8弋兄即证2a"^n. 4 当n=l,2时,2”7豪力显然成立. 当n>3时,2十'=空一1+4—1+…+仑二;豪空一1+厶-1=1+3一1)=小即2小玄小所以2厂2”对用N*恒成立. 综上,加工6/恒成立.10分 注: 用数学归纳法或数列的单调性也可证明2…鼻刀恒成立,请参照评分.
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