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数学史简答
30.简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。
答:
莱布尼茨于1646年出生在德国的莱比锡,其主要数学成就有:
从数列的阶差入手发明了微积分;论述了积分与微分的互逆关系;引入积分符号;首次引进“函数”一词;发明了二进位制,开始构造符号语言,在历史上最早提出了数理逻辑的思想。
31.写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。
答:
一,逻辑主义学派,代表人物是罗素和怀特黑德,主要观点是:
数学仅仅是逻辑的一部分,全部数学可以由逻辑推导出来。
二,形式主义学派,代表人物是希尔伯特,主要观点是:
将数学看成是形式系统的科学,它处理的对象不必赋予具体意义的符号。
三,直觉主义学派,代表人物是布劳维尔,主要观点是:
数学不同于数学语言,数学是一种思维中的非语言的活动,在这种活动中更重要的是内省式构造,而不是公理和命题。
32.简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。
答:
刘徽生活在三国时代;代表著作有《九章算术注》;主要成就:
算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法,代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法;在几何上有割圆术及徽率。
33.花拉子米(什么时代、什么地方的数学家、代表著作和重要贡献)。
答:
花拉子米是九世纪阿拉伯数学家,代表著作有:
《代数学》和《印度的计算术》;主要贡献有:
提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则;给出了一次和二次方程的一般解法,用几何方法给出证明;给出了四则运算的定义和法则。
34.《周髀算经》(作者,成书年代,主要成就)
答:
该书出版于东汉末年和三国时代,但从史上考证应成书于公元前240年至公元前156年之间,可能是北汉平侯张苍修订和补写而成;书中记载的数学知识主要有:
分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。
35.罗巴切夫斯基的非欧几何。
答:
罗巴切夫斯基于1825年完成专著《平行线理论和几何原理概论及证明》标志着非欧几何的诞生,该理论是对几何原理中第五公设的研究提出命题“过直线外一点与已知直线平行的直线至少有两条”,并进行严格逻辑推理,得出的几何理论。
36.简述控制论的建立和发展过程。
答:
控制论是解决通信中的“滤波问题”和战争中“预报问题”而发展起来的应用数学。
二战中美国数学家维纳受命设计高射炮控制系统,他发现滤波和预报这两类问题可以用统计的观点给出统一处理,并与生理学家、电工学家、逻辑学家探讨,逐步形成了系统的控制理论。
1948年,他发表了《控制论》宣告了经典控制论的诞生。
20世纪60年代以后,逐渐形成了研究系统调节与控制的现代控制论。
28.简述阿基米德的生活时代、代表著作以及在数学上的主要成就。
p答:
阿基米德生活在古希腊亚历山大前期,代表著作有:
《论球与圆柱》,《圆的度量》,《劈锥曲面与回转椭圆体》,《论螺线》,《平面图形》,《数沙器》,《抛物线图形求积法》等,阿基米德的主要成就有:
用力学方法求出球体积,抛物或弓形的面积,托球体、抛物或旋转体截体和球缺体积;用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积;得到的近似值为22/7。
29.朱世杰(什么朝代、什么地方的人、代表著作和数学创造)。
答:
朱世杰是13世纪至14世纪元代数学家,燕山人。
代表著作是《四元玉鉴》,其主要数学成就是求解方程的四元术、高阶等差数列研究及其在内插法上的应用。
30.简述《九章算术》的主要内容及在中国数学史上的意义。
答:
《九章算术》是我国古代的一本传世数学名著,一直作为我国传统数学的代表作。
《九章算术》是以应用问题集的形式表述的,一共收入246个问题,分为九章,分别为方田,粟米,衰分,少广,商功,均输,盈不足,方程,勾股。
标志着中国传统数学的知识体系已初步形成,对中国数学的发展的历史作用如同《几何原本》对西方数学影响一样。
31.简述笛卡尔的生活年代、所在国家、代表著作以及在数学上的主要成就。
答:
笛卡尔(1596-1650)出生于法国的拉哈耶。
主要著作有《方法论》其中包括:
《折光学》、《大气现象》和《几何学》。
主要成就有:
开创性地用代数方法研究几何问题,把代数方程和曲线、曲面联系起来;引出了变量和函数的概念。
32.简述运筹学的建立和发展过程。
答:
运筹学是运用数学方法解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关问题的音乐数学的分支。
最早产生于二战中的英国,用以解决空防雷达信息系统与战斗机系统的协同配合问题。
不久美军也开始了类似的研究,并在战争中建有奇功。
目前运筹学已包括有数学规划论、博弈论、排队论、决策分析、图论等。
33.花拉子米(什么时代、什么地方的数学家、代表著作和重要贡献)。
答:
花拉子米是九世纪阿拉伯数学家,代表著作有:
《代数学》和《印度的计算术》;主要贡献有:
提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则;给出了一次和二次方程的一般解法,用几何方法给出证明;给出了四则运算的定义和法则。
)(
34.简述费马大定理的内容、发现过程以及证明的状况。
答:
费马的大定理:
对每个正整数n>=3xn+yn=zn,没有正整数解。
该定理是费马于1637年在读古希腊数学家丢番图的《算术》一书时,给出的猜想。
1995年5月,英国数学家怀尔斯综合运用了数论、代数与几何方面近年来德重要成果和方法,在《数学年刊》发表论文“模曲线和费马最后定理”标志着该定理证明的最后完成。
13.第一次数学危机─—无理数的发现(第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示。
反之,数却可以由几何量表示出来。
整数的尊祟地位受到挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。
于是,几何学开始在希腊数学中占有非凡地位。
同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证实才是可靠的。
从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系。
)
第二次数学危机——无穷小是零吗(直到19世纪,柯西具体而有系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决,第二次数学危机的解决使微积分更完善。
)
第三次数学危机——罗素悖论的产生(引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题,导致无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统)的产生。
在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟。
)
14.费马大定理:
不存在正整数x、y、z,使得;n为大于2的正整数。
1:
1676年,数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证实n=4。
2:
1770年,欧拉证实了n=3的情形3:
1825年,狄利克雷和勒让德证实了n=5的情形,用的是欧拉所用方法的延伸。
4:
1839年,法国数学家拉梅证实了n=7的情形,他的证实使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具,只是难以推广到n=11的情形;于是,他又在1847年提出了“分圆整数”法来证实,但没有成功。
5:
库默尔在1844年提出了“理想数”概念,他证实了:
对于所有小于100的素指数n,费马大定理成立,此一研究告一阶段。
6:
1983年,德国数学家法尔廷斯证实了一条重要的猜想——莫德尔猜想这样的方程至多有有限个正整数解,他由于这一贡献,获得了菲尔兹奖。
7:
1955年,日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系;谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”,这个猜想说明了:
有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。
这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白,但它又使“费马大定理”的证实向前迈进了一步。
8:
1985年,德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系9:
1986年,美国数学家里贝特证实了弗雷命题,于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。
10:
1993年6月,英国数学家维尔斯证实了:
对有理数域上的一大类椭圆曲线,“谷山——志村猜想”成立。
由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线,也就表明了他最终证实了“费马大定理”;但专家对他的证实审察发现有漏洞,于是,维尔斯又经过了一年多的拼搏,于1994年9月彻底圆满证实了“费马大定理”
15.1、数学史揭示出数学知识的现实来源和应用,从而可以从中感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响,熟悉到数学是一种生动的、基本的人类文化活动,以及数学在当代社会发展中的作用,并且关注数学与其他学科之间的关系。
2、数学史不仅可以给出一种确定的数学知识,还可以给出相应知识的创造过程。
对这种创造过程的了解,可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程。
这既可以激发对数学的爱好,培养探索精神。
3、通过阅读许多数学家在成长过程中遭遇过挫折,了解一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的,不仅可以使我们在数学方法上从反面获得全新的体会,而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折,对正确看待学习过程中碰到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。
B
欧几里德(EuclidofAlexandria),希腊数学家。
约生于公元前330年,约殁于公元前260年。
以其所著的《几何原本》(简称《原本》)闻名于世。
欧几里德是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一,他是亚历山大里亚学派的成员。
欧几里德写过一本书,书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。
这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展,对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。
《几何原本》的主要对象是几何学,但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。
欧几里德使用了公理化的方法。
公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题,一切定理都由此演绎而出。
在这种演绎推理中,每个证明必须以公理为前提,或者以被证明了的定理为前提。
这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多2000年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。
《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。
简述阿波罗尼奥斯的生活年代、代表著作以及在数学上的主要成就?
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古希腊数学家。
与欧几里得、阿基米德齐名。
生于小亚细亚南岸的佩尔加。
他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地。
《圆锥曲线论》是一部经典著作,他可以说是代表了古希腊几何的最高水平,自此以后,希腊几何更没有实质性的进步。
直到17世纪帕斯卡和笛卡尔才有新的突破。
1.请列举《九章算术》各章的名称和主要研究内容.
l“方田”,主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。
l“粟米”章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面、饭等之间的兑换比率及四项比例算法。
l第三章“衰分”主要论述配分比例算法,其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。
l第四章“少广”主要成就包括开平方、开立方的算法。
l第五章“商功”主要论述各种立体图形的体积算法,其中包括柱、锥、台、球体等,内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题。
l第六章“均输”章主要讨论较为复杂的配分比例问题。
l第七章“盈不足”主要论述盈亏问题的解法。
l第八章“方程”主要研究线性方程组的解法,其基本思想是消元。
l第九章“勾股”主要讨论有关勾股问题的解法,并论及简单的勾股测量。
2.请列出“算经十书”所包括的古算书书名.
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《辑古算经》
3.请简述《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点,并比较两者的异同.
《九章算术》思想方法的特点1.开放的归纳体系2.算法化的内容3.模型化的方法
《几何原本》思想方法的特点1.封闭的演绎体系2.抽象化的内容3.公理化的方法
相同之处:
集数学成就之大成者,成书历史久远,影响巨大,成为后世的教科书。
不同之处:
《几何原本》是西方数学最早形成的演绎体系,采用“定义——公理、公设——定理”的公理化方法,注重逻辑的严密性,开创了推理证明的先河。
《九章算术》:
是中国由个别到一般的归纳体系,采用“问题——答案——算法”的体例,追求实用、讲究算法,但不注重逻辑结构。
4.请简述微积分诞生的酝酿时期微分学的基本问题和积分学的基本问题.
微分学的基本问题瞬时变化率问题任意曲线的切线问题函数极大值、极小值问题
积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算
5.请简述开普勒利用“无限小元素和”推导球体积公式的方法.
他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球面的一部分;他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。
1.论述数学史对数学教育的意义和作用.
数学史进入课程是数学新课程改革的重要理念之一。
在课程变革由结构——功能视角向文化——个人视数学史是数学文化生成的文库性资源,是最具权威的课程资源,具有明理、哲思与求真三重教育价值。
明理:
数学知识从何而来?
数学史展示数学知识的起源、形成与发展过程,诠释数学知识的源与流;
哲思:
数学是一门什么样的科学?
数学史明晰数学科学的思想脉络和发展趋势,让学生领悟数学科学的本质,引发学生对数学观问题自觉地进行哲学沉思,有利于学生追求真理和尊崇科学品德的形成;
求真:
数学科学有什么用?
数学史引证数学科学伟大的理性力量,让学生感悟概念思维创生的数学模式对于解析客观物质世界的真理性,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值。
简言之:
学习数学史可以帮助人们——
理解数学的本步子
因此,要重视数学史在数学教学中的意义和作用,通过数学教学展现数学知识的发现历程,让学生了解数学知识的来龙去脉,是数学教学的有效策略。
展现数学知识的发现过程,不是简单叙述数学史实,重复数学家的“原发现过程”。
而是需要教师开展教育取向的数学史研究,从中获得对数学教学的启示,引导学生重走数学发现之路。
2.论述东方古代数学和西方古代数学各自的主要特征、对现代数学的影响,及其对数学教育的启示.
与希腊数学相比,中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神,特别是中国与印度数学,着重算法的概括,不讲究命题的数学推导。
质掌握数学的思想与方法重走数学家数学发现的(思维的)关键性
1、简述古希腊数学的特点。
答:
(1)追求理性和唯理的论证数学特点;(2分)
(2)欧氏几何开创了公理化理论体系;(2分)
(3)欧氏几何形成了演绎思维的特征;(2分)
总之,希腊数学是追求理性,主要以演绎几何为特征的数学。
(1分)
说明:
上述只是回答的要点,只要意思一致就可相应给分。
2、简述欧几里得公理化思想。
答:
公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。
(1分)这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论,(3分)而所有这样的推理链的共同出发点,就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。
这就是所谓的公理化思想。
(3分)
说明:
上述只是回答的要点,只要意思一致就可相应给分。
3、简述射影几何在17世纪发展所引发的新思想和观点。
答:
(1)一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状;(2分)
(2)变化与变换不变性;(2分)
(3)几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系,不涉及度量。
(3分)
4、简述爱尔朗根纲领。
答:
德国数学家克莱因所阐述的几何学统一的思想:
所谓几何学,就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问(3分),或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。
(4分)
说明:
上述只是回答的要点,只要意思一致就可相应给分。
五、论述题:
(每小题11分,共22分)
1、论述非欧几何诞生的意义。
答:
要点:
(1)非欧几何的创立解决了长期关于欧氏几何中平行公设的争议。
(1分)
(2)非欧几何对人们的空间观念产生了及其深远的影响。
(5)
(3)非欧几何的出现引起了新的几何学的诞生与繁荣。
(5)
说明:
上述三个方面是基本要点,根据阐述的情况适当给分。
填空
1.解析几何的主要发明者是_笛卡尔_______和__费马______。
2.在微积分方法正式发明之前,许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽,如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的_微分三角学___________以及沃利斯的_无穷算术___________等。
3.在微积分方法正式发明之前,许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽,如笛卡儿的求切线的圆法、_开普勒_______的求旋转体体积的方法、_卡瓦列里_______的不可分量原理等。
4.微积分创立于___17______世纪,由___牛顿______所作的《流数简论》标志着微积分的诞生。
5.历史上第一篇公开发表的微积分论文《新方法》,作者是__莱布尼茨___,他是___德____国数学家。
6.历史上第一篇系统的微积分文献是牛顿的____《流数简论》_____________,写于___17__世纪。
7.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是__牛顿_________,第一个公开发表微积分论文的数学家是____莱布尼茨_______。
8.历史上第一篇系统的微积分文献是《____流数简论_________》,其作者是____牛顿__________。
9.牛顿的“流数术”中,“正流数术”是指___微分法_________,“反流数术”是指___积分法_________。
10.“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。
”这个函数定义在__18____世纪后期占据了统治地位,给出这个函数定义的数学家是__欧拉______。
11.最先明确定义无穷级数收敛性的数学家是__柯西____,创造并最先使用语言的数学家是。
12.最先明确定义无穷级数收敛性的数学家是__柯西______,他是___法_____国人。
13.拉格朗日在《解析函数论》一书中,主张用__泰勒级数_______来定义导数,以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“___微分学______”。
14.被称为“现代分析之父”的数学家是_魏尔斯特拉斯_,被称为“数学之王”的数学家是_高斯。
15.19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家____柯西___。
而德国数学家___魏尔斯特拉斯___关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。
16.1857年,__魏尔斯特拉斯_________给出了第一个严格的实数定义。
17.1857年,魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义,1872年___戴德金___、____康托尔_、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论。
18.建立无理数理论基础方面最有贡献的两位数学家是___戴德金和康托尔______。
19.戴德金和康托尔的实数构造方法是我们现在通常所采用的。
戴德金的方法也称__戴德金分割_________,康托尔的基本思想则是把实数a定义为___有理数序列________。
20.对韦达所用的代数符号进行改进的工作是由笛卡尔完成的,他用拉丁字母的前几个表示___已知_____量,后几个表示___未知___量。
21.数学符号系统化首先归功于法国数学家__韦达____,他在《___分析引论__》中第一次有意识地使用系统的代数字母和符号。
22.首先引进如下一批符号:
f(x)-函数符号;∑—求和号;e—自然对数底;i—虚数单位的数学家是___欧拉______。
24.历史上第一个给出严格的实数定义的数学家是__魏尔斯特拉斯_________,而用有理数基本序列来定义实数的数学家则是__康托尔_________。
25.用“分割法”建立实数理论的数学家是____戴德金__________,该理论建立于____19_________世纪。
26.代数基本定理最早是由荷兰数学家吉拉尔于___17___世纪提出的,但其第一个实质性的证明却是数学家_____高斯_给出的。
27.法国数学家__范德蒙德___的研究使行列式与线性方程组求解相分离而成为独立的数学对象。
29.十九世纪解决了代数方程可解性问题的两位年轻数学家分别是挪威人__阿贝尔____和法国人__伽罗瓦__。
31.除了__瑞士__籍数学家欧拉外,在18世纪推进微积分及其应用的欧陆数学家中,首先应该提到___法__国学派,其代表人物有克莱洛、达郎贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯等。
32.在微积分的应用中,于十八世纪形成并成长起来的新数学分支主要包括____常微分方程__________、偏微分方程、____变分法________________和微分几何等。
33.十八世纪对微分几何理论的建立和发展作出了重要贡献的数学家是克莱洛、欧拉以及蒙日。
34.微分几何诞生于___18_____世纪,对微分几何理论的建立和发展作出了重要贡献的数学家是克莱洛、欧拉以及___蒙日_____。
35.法国几何学家庞斯列对射影几何的发展作出了杰出的贡献,在他的研究中,有两个基本原理扮演了重要角色。
首先是_连续性定理________,另一个是__对偶定理____。
36.德沙格和帕斯卡等是___摄影几何_________的开创者。
37.最先建立“非欧几何”理论的数学家是罗巴契夫斯基,给出“非欧几何”这一名称的数学家是_高斯。
38.”非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中___欧几里得平行公设_______的证明,最先建立“非欧几何”理论的数学家是__罗巴契夫斯基____。
39.罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点,_至少有两条_____直线与已知直线平行,而且在该几何体系中,三角形内角和_小于_____两直角。
40.欧氏几何、罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例,其中__欧式几何_________对应的情形是曲率恒等于零,_罗巴切夫斯基几何____________对应的情形是曲率为负常数。
41.希尔伯特在《__几何基础_________》中使用公理化方法对《原本》中的几何公理体系进行完善。
42.《几何基础》的作者是____希尔伯特,该书所提出的公理系统包括___20_________条公理。
43.希尔伯特所提出的选择和组织公理系统的原则是、相容性原则、独立性原则和完备性原则。
44.希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则,即:
相容性、独立性、完备性。
45.德国著名数学家_希尔伯特_所提出的组织公理系统的原则是相容性原则、独立性原则和完备性原则。
46.1900年数学家希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上作了题为《____数学问题__________》的著名演讲,提出了新世纪数学面临的_____23_________个问题,这些问题有力地推动了20世纪数学发展的进程。
47.1900年,德国数学家_希尔伯特_____在巴黎国际数学家大会上提出了__23____个尚未解决的数学问题,在整个二十世纪,这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
48.二十世纪初,对数学基础的深入探讨导致了著名的三大学派,包括以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的__直觉主义_________和以希尔伯特为代表的__形式主义_________。
49.阿波罗尼奥斯最重要的数学成就就是创立了相当完美的_____圆锥曲线理论_______。
《_圆锥曲线论_》就是这方
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