华师版八年级数学下册知识点复习练习.docx
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华师版八年级数学下册知识点复习练习
第17章分式
1.分式
形如
〔A、B是整式,且B中含有字母,
〕的式子,叫做分式。
其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
【注】分式中。
分母不能为零,否那么分式无意义。
2.有理式
整式和分式统称为有理式。
例题:
〔1〕以下各有理式中,哪些是分式?
那些值整式?
〔2〕当x取何值时,以下分式有意义?
①
②③④
练习:
〔1〕一件工作,甲独做a小时完成,乙独做b小时完成,那么甲、乙两人合作完成需要()小时。
A.B.
C.D.
〔2〕当a时,分式有意义。
作业:
把以下有理式中是分式的代号填在横线上
①-3x;②
;③;④-
;⑤;⑥;⑦-;⑧.
3.分式的根本性质
分式的分子及分母都乘以〔或除以〕同一个不等于零的整式,分式的值不变。
4.最简分式
分子及分母没有公因式的分式称为最简分式。
5.最简公分母
各分母所有因式的最高次幂的积
例题:
〔1〕约分
①②③④
〔2〕通分
①②
练习:
〔1〕不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是()
A.B.C.D.
〔2〕分式:
①,②,③,④中,最简分式有()
6.分式的运算
〔1〕分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,如果得到的不是最简分式,应该通过约分进展化简。
〔2〕分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,及被除式相除。
〔3〕分式的乘方等于分子分母分别乘方。
〔4〕分式的符号法那么:
〔1〕;〔2〕;〔3〕
例题:
〔1〕计算
①②
③④
〔2〕水果店有两种苹果,甲种苹果每箱净重m千克。
售a元,乙种苹果每箱净重n千克,售b元,请问,甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍?
练习:
〔1〕假设分式的值为零,那么x的值是()
A.2或-2B.2C
〔2〕计算
〔4〕同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减。
例题:
〔1〕计算
①②③
〔2〕琳琳家距离学校a千米,骑自行车需要b分钟。
假设有一天她从家出发迟到了c分钟,那么她每分钟应多骑多少千米,才能使到达时间和往常一样?
练习:
〔1〕化简等于()
A.B.C.D.
〔2〕计算
〔3〕某农场原方案用m天完成a公顷的播种任务,如果要提前b天完毕,那么平均每天比原方案要多播种_________公顷.
作业:
计算
①
②(x+y)·
7.分式方程
〔1〕分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
〔2〕解分式方程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解。
所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。
〔3〕增根是指不适合原分式方程的解〔或根〕,因此,解分式方程必须进展检验。
〔4〕解分式方程进展检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。
有时为了方便起见,可将它代入最简公分母中,看它的值是否为零,假设为零,那么为增根。
例题:
〔1〕解方程
①②
〔2〕列方程解应用题
2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入,甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2个小时输完。
问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩?
练习:
〔1〕当m=______时,方程会产生增根。
〔2〕假设关于x的方程ax=3x-5有负数解,那么a的取值范围是()
A.a<3B.a>3C.a≥≤3
〔3〕解分式方程,分以下四步,其中,错误的一步是()
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
作业:
〔1〕当x时,分式
的值为负数。
〔2〕甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天,再由两队合作2天就完成全部工程,甲队及乙队的工作效率之比是3:
2,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?
8.零指数幂及负整指数幂
〔1〕任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【注】0的零次幂没有意义。
〔2〕任何不等于零的数的-n〔n为正整数〕次幂,等于这个数的n次幂的倒数。
是正整数〕
例题:
〔1〕计算
①
②
〔2〕计算以下各式,并把结果化成只含有正整指数幂的形式
①
②
〔3〕用小数表示以下各数
①
②
练习:
〔1〕计算
的结果是_________。
〔2〕假设x=
-1,那么x+x-1=__________.
作业:
计算
①
②③
9.利用10的负整指数幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成
的形式,其中n是正整数,
。
例题:
〔1〕用科学记数法表示
①0.00003②-0.0000064③202100000
〔2〕一个纳米粒子的直径是35纳米,它等于多少米?
练习:
〔1〕用10的负整指数幂填空
①1毫克=千克②1平方厘米=平方米
③1纳米=微米=毫米=厘米=分米=米
〔2〕把以下各数用科学记数法表示
①1000000②0.0000001③-11200000④
作业:
自然界隐含着许多规律,一定质量的理想气体,当温度保持不变时,它的压强p及体积V的乘积也保持不变。
现在它的压强
帕时,体积
=2立方米,假设这些气体加压到
帕时,求这些气体的体积
。
〔
满足〕
第18章函数及其图像
1.变量及函数
〔1〕变量:
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量。
〔2〕一般的,如果在一变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值及之对应,我们就说x是自变量,y是因变量。
此时也称y是x函数。
2、对函数概念的理解,主要抓住三点:
〔1〕有两个变量;〔2〕一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化;〔3〕自变量每确定一个值,因变量就有一个并且只有一个值及其对应。
3表示函数关系的方法
1〕解析法〔关系式法〕:
两个变量之间的关系,有时可以用一个含有这两个变量的等式表示,这种方法叫解析式法。
2〕列表法
3〕图像法
〔4〕在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量。
例题:
写出以下各问题中的函数关系式,并指出常量及变量。
①圆的周长C及半径r的函数关系式。
②火车以60㎞/时的速度行驶,它驶过的路程s及所用时间的函数关系式。
③n边形的内角和的度数S及边数n的函数关系式。
〔5〕求函数自变量的取值范围
1.实际问题中的自变量取值范围
按照实际问题是否有意义的要求来求。
2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围
(1)解析式为整式的,x取全体实数;
(2)解析式为分式的,分母必须不等于0式子才有意义;(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义;(4)解析式是三次方根的,自变量的取值范围是全体实数。
3.函数值:
指自变量取一个数值代入解析式求出的数值,称为函数值;实际上就是以前学的求代数式的值。
例题:
〔1〕求以下函数自变量x的取值范围
①y=3x+1②
③④
〔2〕等腰三角形的面积是20㎡,设它的底边长是x〔米〕,求底边上的高y〔米〕关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围。
练习:
〔1〕求以下函数自变量x的取值范围
①
②③
〔2〕分别写出以下问题中的函数关系式,指出自变量和因变量,以及自变量的取值范围。
①寄一封重量为20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资y〔元〕及n间的函数关系式。
②如果一个直角三角形中一个锐角是α,那么求另一个锐角的度数β及α之间的函数关系式。
2.函数的图像
〔1〕直角坐标系
1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有一样单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系。
通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点。
2)在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示。
例如点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N。
这时,点M在x轴上对应的数字是m,称为点P的横坐标;点N在y轴上的坐标为n,称为点P的纵坐标,得到一对有序实数〔m,n〕,称为点P的坐标,可记为P〔m,n〕。
3)在平面直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第
一、二、三、四象限,坐标轴上的点不属于任何一个象限。
4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。
ⅡⅠ
ⅢⅣ
⑴坐标平面内的点及______________一一对应.
⑵根据点所在位置填图
⑶
轴上的点______坐标为0,
轴上的点______坐标为0.
⑷P(x,y)关于
轴对称的点坐标为__________,关于
轴对称的点坐标为________,
关于原点对称的点坐标为___________.
例题:
在直角坐标系中描出点A〔2,3〕,分别找出它及x轴、y轴及原点的对称点,并写出这些点的坐标,说出这些点分别在第几象限?
练习:
在如下图的国际象棋棋盘中,双方四只马的位置分别是A〔b,3〕、B〔d,5〕、C〔f,7〕、D〔h,2〕,请在图中描出它们的位置。
〔2〕函数的图像
1〕一般来说,函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。
图像上的每一点的坐标
〔x,y〕代表函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示及它对应的函数值。
2〕画函数图像的方法:
描点法。
即列表、描点、连线三步。
例题:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
〔2〕爷爷和小强去爬山,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷,两人都爬上了上顶,图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离〔米〕及爬山所用的时间〔分〕的关系看图答复以下问题:
①小强让爷爷先上了多少米?
②山顶离山脚的距离有多少米?
谁先爬上山顶?
练习:
〔1〕画出以下函数图像,并判断大括号里的点是否在该图像上。
①y=3x-1,{〔0,-1〕,〔-2,-7〕〔1,-2〕,〔2.5,6.5〕}
②
〔2〕周末小李8时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16时回到家里,他离家的距离s〔千米〕及时间t〔时〕的关系可以用图中的曲线表示,根据这个图像答复以下问题。
①小李到达离家最远的地方是什么时候?
②小李何时第一次休息?
③10时到13时,小李骑了多少千米?
④返回时,小李的平均车速是多少?
3.一次函数
〔1〕函数的解析式都是用自变量的一次整式表示,我们称它们为一次函数。
一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k
0。
特别的,当b=0时,一次函数y=kx〔常数k
0〕,也叫做正比例函数。
〔2〕一次函数的图像
一次函数y=kx+b〔k、b是常数,k
0〕的图像是一条直线,通常也称为直线y=kx+b。
特别的,正比例函数y=kx〔k
0〕的图像是经过原点〔0,0〕。
对于直线y=kx+b〔k、b是常数,k
0〕,k表示直线的倾斜程度。
b是直线及y轴交点的纵坐标。
(3)一次函数的图象:
函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是一条直线.过点(0,b)且及直线y=kx平行
例题:
〔1〕在同一个坐标系内画出以下函数图像,并说出它们有什么关系?
①y=-2x②y=-2x-4
〔2〕①将直线y=-2x+3向下平移5个单位,得到直线.
②直线y=-5x+7可以看作是由直线y=-5x-1向平移个单位得到的。
〔3〕求函数及x轴、y轴的交点坐标,并求这条直线及两坐标轴围成的三角形的面积。
〔4〕写出一条及直线y=2x-3平行的直线
练习:
〔1〕①直线y=-x+2及x轴的交点坐标是,及y轴的交点坐标是
②直线y=及x轴的交点坐标是,及y轴的交点坐标是
〔2〕直线y=2x-3可以由直线y=2x经过单位而得到;直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过而得到.
〔3〕写出一条及直线y=2x-3平行,且经过点〔2,7〕的直线
作业:
〔1〕直线y=4x-3过点〔_____,0〕、〔0,〕;直线过点〔,0〕、〔0,〕.
〔2〕一次函数y=3x+b的图象及两坐标轴围成的三角形面积是24,求b。
〔3)一次函数的性质
设y=kx+b(k≠0),那么
当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0,y随x的增大而减小.
当b>0时,直线交y轴于正半轴;当b<0时,直线交y轴于负半轴;当b=0时,直线过原点
正比例函数的图象:
函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是过原点及点(1,k)的一条直线.
当k>0时,图象过原点及第一、第三象限;当k<0时,图象过原点及第二、第四象限.
正比例函数的性质:
设y=kx(k≠0),那么当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
〔2〕、求一次函数
及x轴、y轴的交点坐标
①及x轴的交点坐标:
令y=0,求x;②及
轴的交点坐标:
令x=0,求y
当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图像从左到右上升。
当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图像从左到右下降。
当k>0,b>0时,函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限。
当k>0,b<0时,函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限。
当k<0,b>0时,函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。
当k<0,b<0时,函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。
例题:
〔1〕画出函数y=-2x+2的图象,结合图象答复以下问题。
①随着x的增大,y将〔填“增大〞或“减小〞〕
②它的图象从左到右〔填“上升〞或“下降〞〕
③图象及x轴的交点坐标是,及y轴的交点坐标是
④这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小?
它的图象从左到右怎样变化?
⑤当x取何值时,y=0?
当x取何值时,y>0?
〔2〕某个一次函数的图象位置大致如以下图所示,试分别确定k、b的符号,并说出函数的性质。
①②
〔3〕一次函数y=(2m-1)x+m+5,
当m取何值时,y随x的增大而增大?
当m取何值时,y随x的增大而减小?
练习:
〔1〕一次函数y=(1-2m)x+m-1,假设函数y随x的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围。
〔2〕假设a是非零实数,那么直线y=ax-a一定〔〕
A.第一、二象限B.第二、三象限
C.第三、四象限D.第一、四象限
〔3〕如图,表示一次函数y=mx+n及正比例函数y=mnx〔m,n为常数,且mn
≠0〕图象的是〔 〕
作业:
(1)在以下四个函数中,y的值随x值的增大而减小的是〔 〕
A.y=2xB.y=3x-6C.y=-2x+5D.y=3x+7
(2)一次函数
的图象不经过第三象限,也不经过原点,那么
的取值范围是〔 〕
A.
且
B.
且
C.
且
D.
且
〔3〕直线
如下图,化简:
.
〔4〕如下图,正比例函数
的函数值
随
的增大而增大,那么一次函数
的图象大致是〔 〕
〔4〕求一次函数的关系式
待定系数法:
先设待求函数关系式〔其中含有未知数的系数〕,再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得出所求结果的方法,叫做待定系数法。
一设
二代〔将点的坐标代入解析式,构造待定系数的方程或方程组,〕
〔用等量关系或几何条件,构造待定系数的方程或方程组〕
三解〔解方程或方程组〕四复原〔将解出来的系数代入所设的函数解析式〕
例题:
函数y=kx+b的图像经过点〔-1,1〕和点〔1,-5〕求这个一次函数的关系式,并求当x=5时,函数y的值。
练习:
〔1〕根据以下条件写出相应的函数关系式。
直线y=kx+5经过点〔-2,1〕。
℃,小李在山脚看了一下随身带着的温度计,气温为34℃℃,求山高。
作业:
酒精的体积随温度的升高而增大,在一定范围内近似于一次函数关系。
现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250升,在40℃时的体积是5.481升,求这些酒精在10℃,30℃时的体积各是多少?
一次函数的图象
正比例函数和一次函数的图象都是一条直线,所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b,直线y=kx〞。
因为一次函数的图象是一条直线,所以在画一次函数的图象时,只要描出两个点,在通过两点作直线即可。
1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象时,只需要这两个特殊点:
〔0,0〕和〔1,k〕两点;
2、画一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象时,只需要找出它及坐标轴的两个交点即可。
一次函数及x轴的交点坐标是:
〔0,b〕,及y轴的交点坐标是:
〔
,0〕
4.反比例函数
〔1〕一般的,形如是常数〕的函数叫做反比例函数。
例题:
〔1〕矩形的面积为15平方厘米,设它的长为x厘米,宽为y厘米,那么y及x之间的函数关系式是.。
〔1〕
-6=0,那么y是x的〔〕。
〔A〕正比例函数〔B〕反比例函数
〔C〕一次函数〔D〕不成函数关系
〔3〕假设函数y=是y关于x的反比例函数,那么m=
练习:
〔1〕一台抽水机每小时灌田10公顷,用假设干台抽水机灌田300公顷,用解析法表示抽水机的台数n和完成任务所需的时间t〔时〕之间的函数关系为。
〔2〕在以下各式中,不是反比例函数关系的是〔〕
〔Α〕4xy=1〔B〕
=2
〔C〕y=mx-1(m≠0)〔D〕y=
作业:
〔1〕假设y及z成正比例,z及x成正比例,那么y及x成;假设y及z成反比例,z及x成正比例,那么y及x成;假设y及z成反比例,z及x也成反比例,那么y及x成.
〔2〕反比例函数的图像是双曲线。
〔3〕反比例函数的性质
1〕当k>0时,函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增大而减小。
2〕当k<0时,函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增大而增大。
5.反比例函数
(1)反比例函数的图象:
函数(k≠0)是双曲线.
当k>0时,图象在第一、第三象限;当k<0时,图象在第二、第四象限.
⑵反比例函数的性质:
设(k≠0),那么
当k>0时,在每个象限中,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每个象限中,y随x的增大而增大.
⑶反比例函数y=
中k的意义:
如图,过反比例函数图象上任一点
作
轴、
轴的垂线
、
,那么所得的矩形
的面积
=
.
例题:
〔1〕如图:
反比例函数y=
的图象经过点Α,那么k的值是〔〕
〔Α〕2〔B〕1.5〔C〕-3〔D〕-
〔2〕假设反比例函数的图象位于第二、四象限,那么k的取值范围是.
〔3〕在同一直角坐标系中,函数y=3x及y=
的图象大致是〔〕
〔4〕在函数的图象上有三点〔-1,y1〕、〔-
,y2〕、〔
y3〕,那么函数值y1、y2、y3的大小关系是〔〕.
〔Α〕y2 〔C〕y1 练习: 〔1〕反比例函数的图象经过点〔1,2〕,那么它的图象也一定经过〔〕 〔Α〕〔-1,-2〕〔B〕〔-1,2〕〔C〕〔1,-2〕〔D〕〔-2,1〕 〔2〕在函数y=- 的图象上有三点Α、B、C,过这三点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段及x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S1、S2、S3,那么〔〕 〔Α〕S1>S2>S3〔B〕S1 〔C〕S1 作业: y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8.①求y是x的函数关系式。 ②求当x= 时,y的值。 ③当x取何值时,y=1.5。 5.二元一次方程组的图像解法 画出方程组对应的两个一次函数的图像,找出它们的交点,这个交点的坐标就是二元一次方程组的解,这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。 例题: 利用图像解以下方程组 ①② 6.一次函数及一元一次不等式 使一次函数y=kx+b〔k 0〕的函数值y>0的自变量的所有的值,就是一元一次不等式kx+b>0的解集。 例题: 〔1〕画出函数y=1.5x+3的图像,指出 ①x取何值时,y>0? ②x取何值时,y<0? 〔2〕学校准备去春游,甲乙两家旅行社原价为每人60元,且都表示对学生优惠,甲旅行社表示: 全部8折收费;乙旅行社表示: 假设人数不超过30人那么全部9折收费,超过30人全部按7折收费。 ①试分别写出甲乙两家旅行社实际收取的总费用y关于春游学生人数x的函数关系式。 ②讨论选择哪家旅行社较优惠; ③在同一坐标系中画出题①的函数的图像,并根据图像解释题②讨论的结果。 第19章全等三角形 1.命题 判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。 正确的命题叫做真命题,错误的命题叫假命题。 命题可以写成“如果……,那么……〞的形式。 例题: 〔1〕把以下命题写成“如果……,那么……〞的形式,并指出它的题设和结论。 ①全等三角形的对应边相等。 ②平行四边形的对应边相等。 〔2〕指出以下命题中的真命题和假命题。 ①同位角相等,两直线平行。 ②多边形的内角和等于180°。 2.公理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。 3.定理 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定公理。 例题: 〔1〕把以下命题写成“如果……,那么……〞的形式,并指出它的题设和结论。 并用逻辑推理的方法证明题① ①同旁内角互补,两直线平行。 ②三角形的外角和等于360°。 〔2〕判断以下命题是真命题还是假命题,假设是假命题,举一个反例加以证明。 ①两个锐角的和是直角。 ②两条直线被第三条直线所截,同位角相等。 练习: 试证明“如果两条直线呢垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。 〞即,: 如图,AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别是E,F求证: AB∥CD。 4.全等三角形的判定 一般三角形SSSSASASAAAS 直角三角形SSSSASASAAASHL 例题1: 如图: 点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕点O旋转180°,可以及△重合,这说明△AOB≌△,这两个三角形的对应边是AO及,OB及,BA及,对应角是∠AOB及,∠OBA及,∠BAO及。 练习1: 如图: AE是平行四边形ABCD的高,将△ABE沿AD方向平移,使点A及点D重合,点E和点F重合,那么△ABE≌,∠F=。 作业1: 如图: 点D是等腰直角三角形ABC内的一点,AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转90°,点D及点E重合,那么△ABD≌,AD=,BD=。 〔2〕如果两个三角形有两边及其夹角分别
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