全等三角形培优竞赛讲义全集学生版.docx
- 文档编号:9927574
- 上传时间:2023-05-22
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:440.41KB
全等三角形培优竞赛讲义全集学生版.docx
《全等三角形培优竞赛讲义全集学生版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形培优竞赛讲义全集学生版.docx(31页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
全等三角形培优竞赛讲义全集学生版
例题精讲
板块一、截长补短
【例1】 ( 06 年北京中考题)已知 ∆ABC 中,∠A = 60o,BD 、CE 分别平分 ∠ABC 和 .∠ACB ,
BD 、 CE 交于点 O ,试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系,并加以证明.
A
E
O D
BC
【例2】 如图,点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 (点 B 除外 ) ,作
∠DMN = 60︒ ,射线 MN 与 ∠DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与 MN 有怎样的
数量关系?
D
N
AMBE
【变式拓展训练】如图,点 M 为正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点,MN ⊥ DM 且与∠ABC
外角的平分线交于点 N , MD 与 MN 有怎样的数量关系?
DC
N
AMBE
【例3】 已知:
如图,ABCD 是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:
BE+DF=AE.
AD
F
BC
【例4】 以 ∆ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边 ∆ABD 、 ∆ACE ,连结CD 、 BE 相交
于点 O .求证:
OA 平分 ∠DOE .
DA
E D
F
O
BCB
【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示, ∆ABC 是边长为1 的正三角形, ∆BDC
是顶角为 120︒ 的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60︒ 的 ∠MDN ,点 M 、 N 分别
在 AB 、 AC 上,求 ∆AMN 的周长.
A
N
M
B
C
D
【例6】 五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,
求证:
AD 平分∠CDE
A
BE
CD
板块二、全等与角度
【例 7】如图,在 ∆ABC 中, ∠BAC = 60︒ , AD 是 ∠BAC 的平分线,且 AC = AB + BD ,
求 ∠ABC 的度数.
A
.
B
D
C
【例 8】在等腰 ∆ABC 中, AB = AC ,顶角 ∠A = 20︒ ,在边 AB 上取点 D ,使 AD = BC ,
求 ∠BDC .
A
D
B
C
【例 9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示,在 ∆ABC 中, AC = BC , ∠C = 20︒ ,
又 M 在 AC 上, N 在 BC 上,且满足 ∠BAN = 50︒ , ∠ABM = 60︒ ,求 ∠NMB .
C
M
N
AB
【例 10】在四边形 ABCD 中,已知 AB = AC , ∠ABD = 60︒ , ∠ADB = 76︒ , ∠BDC = 28︒ ,
求 ∠DBC 的度数.
D
C
A
B
【例10】( 日 本 算 术 奥 林 匹 克 试 题 ) 如 图 所 示 , 在 四 边 形 ABCD 中 , ∠DAC = 12︒ ,
∠CAB = 36︒ , ∠ABD = 48︒ , ∠DBC = 24︒ ,求 ∠ACD 的度数.
D
C
A
B
(河南省数学竞赛试题) 在正 ∆ABC 内取一点 D ,使 DA = DB ,
A
在 ∆ABC 外取一点 E ,使 ∠DBE = ∠DBC ,且 BE = BA ,求 ∠BED .
E
D
BC
【例11】(北京市数学竞赛试题) 如图所示,在 ∆ABC 中,∠BAC = ∠BCA = 44︒ ,M 为 ∆ABC
内一点,使得 ∠MCA = 30︒ , ∠MAC = 16︒ ,求 ∠BMC 的度数.
B
M
AC
(1) 证明线段(或角)相等
例 1:
如图,已知 AD=AE,AB=AC.求证:
BF=FC
分析:
由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而 BF 和 FC 分别位于ΔDBF 和ΔEFC 中,
因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到 BF=FC.
(2)证明线段平行
例 2:
已知:
如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E、F,DE=BF,AF=CE.求证:
AB∥CD
D
C
E
F
A
B
(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例
:
如图,在ABC 中,AB=AC,延长 AB 到 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E,
连接 CD 和 CE. 求证:
CD=2CE
(4)证明线段相互垂直
例 4:
已知:
如图,A、D、B 三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO 为等腰三角形,
AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何?
证明你的结论。
C
OE
ADB
5、中考点拨:
例
.如图,在ABC 中,AB=AC,E 是 AB 的中点,以点 E 为圆心,EB 为半径画弧,交
BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使 DF=DE,连结 FC.
求证:
∠F=∠A.
例 2 如图,已知△ ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD,
连接 CE、DE.求证:
EC=ED
E
F
A
BCD
题型展示:
例 1 如图,△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2。
求证:
AB=AC+CD.
【实战模拟】
1. 下列判断正确的是()
(A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
(B)有两边对应相等,且有一角为 30°的两个等腰三角形全等
(C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2. 已知:
如图,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CD 交于点 O,且 AO 平分∠BAC.求
证:
OB=OC.
3. 如图,已知 C 为线段 AB 上的一点,
相交于 F 点,BM 和 CN 交于 E 点。
求证:
ACM 和 CBN 都是等边三角形,AN 和 CM
CEF 是等边三角形。
N
M
1
F
E
2
AB
1
2
5. 如图,在等腰
ABC 中,∠C=90°,D 是斜边上 AB 上任一点,AE⊥CD 于 E,
BF⊥CD 交 CD 的延长线于 F,CH⊥AB 于 H 点,交 AE 于 G.
求证:
BD=CG.
例 1. 已知:
如图 1 所示, ∆ABC 中, ∠C = 90︒ ,AC = BC,AD = DB,AE = CF 。
求证:
DE=DF
A
E
D
CF
图1
B
例 2. 已知:
如图 2 所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。
求证:
∠E=∠F
B
E
A D
C
F
图2
例 3. 如图 3 所示,设 BP、CQ 是 ∆ABC 的内角平分线,AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的
垂线。
求证:
KH∥BC
A
Q
K
BM
P
H
N C
图3
例 4. 已知:
如图 4 所示,AB=AC, ∠A = 90︒ ,AE = BF,BD = DC 。
求证:
FD⊥ED
A
F
E
1 2 3
BD
图4
C
例 5. 已知:
如图 6 所示在 ∆ABC 中, ∠B = 60︒ ,∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE
相交于 O。
求证:
AC=AE+CD
B
E
O D
A
5
1
4
2 3
F
6
C
图6
例 6. 已知:
如图 7 所示,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上,E 在 BC 上, ∠EAF =︒45 。
求证:
EF=BE+DF
A
3
1
2
GB E
图7
D
F
C
4、中考题:
如图 8 所示,已知 ∆ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且
使 AE=BD,连结 CE、DE。
求证:
EC=ED
E
F
A
BC
图8
D
例题:
已知:
如图 9 所示, ∠1 = ∠2,AB > AC 。
求证:
BDD C
A
1 2
BD
图9
C
E
1. 已知:
如图 11 所示,∆ABC 中,∠C = 90︒ ,D 是 AB 上一点,DE⊥CD 于 D,交 BC
于 E,且有 AC = AD = CE 。
求证:
DE =
1
2
CD
C
E
AD
图11
B
2. 已知:
如图 12 所示,在 ∆ABC 中, ∠A =∠ B ,CD 是∠C 的平分线。
求证:
BC=AC+AD
A
D
B
C
图12
3. 已知:
如图 13 所示,过 ∆ABC 的顶点 A,在∠A 内任引一射线,过 B、C 作此射线的
垂线 BP 和 CQ。
设 M 为 BC 的中点。
求证:
MP=MQ
A
Q
B
M
P
图13
C
4. ∆ABC 中, ∠BAC = 90︒ ,AD⊥BC 于 D,求证:
AD <
1
4
( AB + AC + BC)
A
BDEC
例 1. 如图,已知在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 为 BC 延长线上一点,且 CE
=CD,DM⊥BC,垂足为 M。
求证:
M 是 BE 的中点。
A
D
B
1
M C E
例 2. 如图,已知:
∆ABC 中,AB = AC ,D 是 BC 上一点,且 AD = DB,DC = CA ,
求 ∠BAC 的度数。
A
B
D C
例 3. 已知:
如图,∆ABC 中,AB = AC,CD ⊥ AB 于 D。
求证:
∠BAC = 2∠DCB 。
A
1 2
D
B
3
1.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的
角平分线,且相交于点 F,则图中的等腰三角形有()
A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个
A
36°
E
D
F
B
C
)已知:
如图,在 ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、
F 分别是垂足。
求证:
AE=AF。
A
E
F
B
D
C
例 1. 如图, ∆ABC 中, AB = AC,∠A = 100 ο ,BD 平分 ∠ABC 。
求证:
AD + BD = BC 。
A
1
B2
D
E F
C
1. 选择题:
等腰三角形底边长为 5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm,
则腰长为()
A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cm
D. 以上都不对
2. 如图, ∆ABC 是等边三角形, ∠CBD = 90 ο,BD = BC ,则 ∠1 的度数是________。
C
A
21
B
3
D
.
3. 求证:
等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上
4. ∆ABC 中, AB = AC,∠A = 120 ο,AB 的中垂线交 AB 于 D,交 CA 延长线于 E,
求证:
DE =
1
2
BC 。
B
A
E D
O
1 2
C
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全等 三角形 竞赛 讲义 全集 学生