全等三角形竞赛试题含答案.docx
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全等三角形竞赛试题含答案
全等三角形提升练习
1.如下图,△ABC≌△ADE,BC的延伸线过点
E,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=50°,求
∠DEF的度数。
E
D
F
C
AB
2.如图,△AOB中,∠B=30°,将△AOB绕点O顺时针旋转52°,获得△A′OB′,边A′B′与边OB
交于点C(A′不在OB上),则∠A′CO的度数为多少
B
A'
C
B'
A
O
3.如下图,在△ABC中,∠A=90°,D、E分别是AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C
A
的度数是多少
D
B
C
E
4.如下图,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,获得△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,
则∠A=
A'
A
D
B'
BC
5.已知,如下图,AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而
6.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作过点若BD=3,CE=2,则DE=
AB+BD+AD=40cm,则AD是多少
C
AD
B
A的垂线BC、CE,垂足分别为D、E,
B
C
DA
E
7.如图,AD是△ABC的角均分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
E、F,连结EF,交AD于G,AD与
EF垂直吗证明你的结论。
A
E
G
F
B
D
C
8.如下图,在△ABC中,AD为∠BAC的角均分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是
28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长。
A
E
F
BDC
9.已知,如图:
AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD,∠CAF=∠DAF,
求证:
AF⊥CD
A
BE
CFD
10.如图,AD=BD,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE订交于点H,则BH与AC相等吗为何
A
E
H
BC
D
11.如下图,已知,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证:
BE
⊥AC
A
FE
BDC
12.△DAC、△EBC均是等边三角形,AF、BD分别与CD、CE交于点M、N,求证:
(1)AE=BD
(2)CM=CN
(3)△CMN为等边三角形
(4)MN∥BC
E
D
MN
A
C
B
13.如下图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,以下结论:
①
AE=CD;②BF=BG;③BH均分∠AHD;
④∠AHC=60°;⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD,此中正确的有(
)
E
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
H
G
F
A
B
D
14.已知:
BD、CE是△ABC的高,点F在BD上,BF=AC,点G在CE的延伸线上,CG=AB,求证:
AG⊥AF
GA
E
D
F
15.如图:
在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在
CG=AB,连结AD、AG
求证:
(1)AD=AGG
F
(2)AD与AG的地点关系如何
BE上截取BD=AC,在CF的延伸线上截取
BC
A
E
D
H
BC
17.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点
F在BC上,且∠DAE=∠FAE
A
D
求证:
AF=AD-CF
E
B
FC
18.如下图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延伸线上一点,∠
ADB=60°,E是AD上一点,且DE=DB,
求证:
AC=BE+BC
A
E
D
B
C
19.如下图,已知在△AEC中,∠E=90°,AD均分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC,求证:
BE=CF
E
B
D
A
F
C
20.已知如图:
AB=DE,直线AE、BD订交于C,∠B+∠D=180°,AF∥DE,交BD于F,求证:
CF=CD
A
B
D
F
C
E
21.如图,OC是∠AOB的均分线,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F是OC上一点,连结
DF和EF,求证:
DF=EF
A
D
C
F
P
O
E
B
22.已知:
如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,且BD=CD,求证:
(1)△BDE≌△CDF
B
(2)点D在∠A的均分线上
E
D
A
F
C
23.如图,已知AB∥CD,O是∠ACD与∠BAC的均分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则AB与CD之间
A
的距离是多少
B
E
O
C
D
24.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按以下要求绘图并回答:
画∠MAB、∠NBA的均分线交于E
(1)∠AEB是什么角
(2)过点E作向来线交AM于D,交BN于C,察看线段DE、CE,你有何发现
(3)不论DC的两头点在AM、BN如何挪动,只需DC经过点E,①AD+BC=AB;②AD+BC=CD谁建立并说
ADM
E
BCN
明原因。
25.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角均分线将△ABC分为三个三角形,
B
则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO等于
O
CA
26.正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF=90°,已知AE=3,CF=4,则S△BEF为多少
A
D
E
O
BFC
27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,AF⊥CD于H,交BC于F,BE∥AC交AF的延伸线于E,求证:
BC垂直且均分DE
A
D
E
B
P
C
F
E
28.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的地点时,求证:
DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的地点时,求证:
DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的地点时,试问
DE、AD、BE拥有如何的等量关系请直接写出这个等
量关系。
M
M
M
C
D
C
C
E
E
N
D
A
B
D
A
E
A
B
图2
图1
图3
NN
1解:
∵△ABC≌△AED
∴∠D=∠B=50°∵∠ACB=105°∴∠ACE=75°
∵∠CAD=10°∠ACE=75°
∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°
2依据旋转变换的性质可得∠B′=∠B,由于△AOB绕点O顺时针旋转52°,因此∠BOB′=52,°而∠A'CO是△B′OC的外角,因此∠A′CO=∠B′+∠BOB′,而后辈入数据进行计算即可得解.
解答:
解:
∵△A′OB是′由△AOB绕点O顺时针旋转获得,∠B=30°,
∴∠B′=∠B=30°,
∵△AOB绕点O顺时针旋转52°,
∴∠BOB′=52°,
∵∠A′CO是△B′OC的外角,
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82.°
应选D.
3全等三角形的性质;对顶角、邻补角;三角形内角和定理.
剖析:
依据全等三角形的性质得出∠A=∠DEB=∠DEC,∠ADB=∠BDE=∠EDC,依据邻补角定义求出∠DEC、
∠EDC的度数,依据三角形的内角和定理求出即可.解答:
解:
∵△ADB≌△EDB≌△EDC,
∴∠A=∠DEB=∠DEC,∠ADB=∠BDE=∠EDC,
∵∠DEB+∠DEC=180°,∠ADB+∠BDE+EDC=180°,
∴∠DEC=90°,∠EDC=60°,
∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC,
=180°-90°-60°=30°.
4剖析:
依据旋转的性质,可得悉∠ACA′=35,°从而求得∠A′的度数,又由于∠A的对应角是∠A′,即可求出∠A的度数.
解答:
解:
∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°,获得△AB′C′
∴∠ACA′=35,°∠A'DC=90°
∴∠A′=55,°
∵∠A的对应角是∠A′,即∠A=∠A′,
∴∠A=55°;
故答案为:
55°.
议论:
本题考察了旋转地性质;图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的地点挪动.此中对应点到旋转中心的距离相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的重点是正确确立对应角.
5由于AB=AC三角形ABC是等腰三角形
因此AB+AC+BC=2AB+BC=50
BC=50-2AB=2(25-AB)
又由于AD垂直于BC于D,因此BC=2BD
BD=25-AB
AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40
AD=40-25=15cm
6解:
∵BD⊥DE,CE⊥DE
∴∠D=∠E
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°
又∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵在Rt△ABD中,∠ABD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
∵在△ABD与△CAE中
{∠ABD=∠CAE
∠D=∠E
AB=AC
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD=AE,AD=CE
∵DE=AD+AE
∴DE=BD+CE
∵BD=3,CE=2
∴DE=5
7证明:
∵
AD是∠BAC的均分线
∴∠EAD=∠FAD
又∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
边AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD(AAS)
∴AE=AF
即△AEF为等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF顶角的均分线
∴AD⊥底边EF
(等腰三角形的顶角的均分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成
8AD均分∠BAC,则∠EAD=∠FAD,∠EDA=∠DFA=90度,AD=AD
因此△AED≌△AFD
“三线合一”)
DE=DF
S△ABC=S△AED+S△AFD
28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE)
DE=2
9AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD
则△ABC≌△AED
AC=AD
△ACD是等腰三角形∠CAF=∠DAF
AF均分∠CAD
则AF⊥CD
10解:
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90
∴∠CAD+∠C=90
∵BE⊥AC
∴∠BEC=∠ADB=90
∴∠CBE+∠C=90
∴∠CAD=∠CBE
∵AD=BD
∴△BDH≌△ADC(ASA)
∴BH=AC
11解:
(1)证明:
∵AD⊥BC(已知),∴∠BDA=∠ADC=90°(垂直定义),
∴∠1+∠2=90°(直角三角形两锐角互余).
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC().
∴∠2=∠C(全等三角形的对应角相等).
∵∠1+∠2=90°(已证),因此∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC(垂直定义);
12证明:
(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形,∴AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中,
AC=DC∠ACE=∠DCBEC=BC
∴△ACE≌△DCB(SAS).
∴AE=BD
(2)由
(1)可知:
△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB,即∠CAM=∠CDN.
∵△DAC、△EBC均是等边三角形,
∴AC=DC,∠ACM=∠BCE=60°.又点A、C、B在同一条直线上,
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°,即∠DCN=60°.
∴∠ACM=∠DCN.
在△ACM和△DCN中,∠CAM=∠CDNAC=DC∠ACM=∠DCN∴△ACM≌△DCN(ASA).
∴CM=CN.
(3)由
(2)可知CM=CN,∠DCN=60°
∴△CMN为等边三角形
(4)由(3)知∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°
∴∠CMN+∠MCB=180°
∴MN//BC
13剖析:
(1)由等边三角形可得其对应线段相等,对应角相等,从而可由SAS获得△CAN≌△MCB,结论得证;
(2)由
(1)中的全等可得∠CAN=∠CMB,从而得出∠MCF=∠ACE,由ASA得出△CAE≌△CMF,即CE=CF,
又ECF=60°,因此△CEF为等边三角形.
解答:
证明:
(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形,∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°,
在△CAN和△MCB中,
AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=BC,
∴△CAN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM.
(2)∵△CAN≌△CMB,
∴∠CAN=∠CMB,
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°,
∴∠MCF=∠ACE,
在△CAE和△CMF中,
∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF,∴△CAE≌△CMF(ASA),
∴CE=CF,
∴△CEF为等腰三角形,
又∵∠ECF=60°,
∴△CEF为等边三角形.
议论:
本题主要考察了全等三角形的判断及性质以及等边三角形的判断问题,能够掌握并娴熟运用.
14考点:
等边三角形的性质;全等三角形的判断与性质;旋转的性质.
剖析:
由题中条件可得△ABE≌△CBD,得出对应边、对应角相等,从而得出△BGD≌△BFE,△ABF≌△CGB,再由边角关系即可求解题中结论能否正确,从而可得出结论.
解答:
解:
∵△ABC与△BDE为等边三角形,∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠CBD,
即AB=BC,BD=BE,∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD,
∴AE=CD,∠BDC=∠AEB,
又∵∠DBG=∠FBE=60°,
∴△BGD≌△BFE,
∴BG=BF,∠BFG=∠BGF=60°,∴△BFG是等边三角形,
∴FG∥AD,
∵BF=BG,AB=BC,∠ABF=∠CBG=60°,∴△ABF≌△CGB,
∴∠BAF=∠BCG,
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°,∴∠AHC=60°,
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°,∴B、G、H、F四点共圆,
∵FB=GB,
∴∠FHB=∠GHB,
∴BH均分∠GHF,
∴题中①②③④⑤⑥都正确.应选D.
议论:
本题主要考察了等边三角形的性质及全等三角形的判断及性责问题,能够娴熟掌握.
15考点:
全等三角形的判断与性质.剖析:
认真剖析题意,若能证明△ABF≌△GCA,则可得AG=AF.在
△ABF和△GCA中,有BF=AC、CG=AB这两组边相等,这两组边的夹角是∠ABD和∠ACG,从已知条件中
可推出∠ABD=∠ACG.在Rt△AGE中,
∠G+∠GAE=90°,而∠G=∠BAF,则可得出∠GAF=90°,即AG⊥AF.
解答:
解:
AG=AF,AG⊥AF.
∵BD、CE分别是△ABC的边AC,AB上的高.
∴∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ABD=90°-∠BAD,∠ACG=90°-∠DAB,
∴∠ABD=∠ACG
在△ABF和△GCA中BF=AC∠ABD=∠ACGAB=CG.
∴△ABF≌△GCA(SAS)
∴AG=AF
∠G=∠BAF
又∠G+∠GAE=90度.
∴∠BAF+∠GAE=90度.
∴∠GAF=90°
∴AG⊥AF.
议论:
本题考察了全等三角形的判断和性质;要修业生利用全等三角形的判断条件及等量关系灵巧解题,考察学生对几何知识的理解和掌握,运用所学知识,培育学生逻辑推理能力,范围较广.
161、证明:
∵BE⊥AC
∴∠AEB=90
∴∠ABE+∠BAC=90
∵CF⊥AB
∴∠AFC=∠AFG=90
∴∠ACF+∠BAC=90,∠G+∠BAG=90
∴∠ABE=∠ACF
∵BD=AC,CG=AB
∴△ABD≌△GCA(SAS)
∴AG=AD
2、AG⊥AD
证明
∵△ABD≌△GCA
∴∠BAD=∠G
∴∠GAD=∠BAD+∠BAG=∠G+∠BAG=90
∴AG⊥AD
17过E做EG⊥AF于G,连结EF
∵ABCD是正方形∴∠D=∠C=90°
AD=DC
∵∠DAE=∠FAE,ED⊥AD,EG⊥AF
∴DE=EG
AD=AG
∵E是DC的中点∴DE=EC=EG
∵EF=EF
∴Rt△EFG≌Rt△ECF
∴GF=CF
∴AF=AG+GF=AD+CF
18由于:
角EDB=60°DE=DB
因此:
△EDB是等边三角形,DE=DB=EB
过A作BC的垂线交BC于F由于:
△ABC是等腰三角形因此:
BF=CF,2BF=BC
又:
角DAF=30°因此:
AD=2DF
又:
DF=DB+BF
因此:
AD=2(DB+BF)=2DB+2BF=【2DB+BC】
(AE+ED)=2DB+BC,此中ED=DB
因此:
AE=DB+BC,AE=BE+BC
19增补:
B是FD延伸线上一点;ED=DF(角均分线到两边上的距离相等);
BD=CD;
角EDB=FDC(对顶角);
则三角形EDB全等CDF;则BE=CF;
或许增补:
B在AE边上;
ED=DF(角均分线到两边上的距离相等);
DB=DC
则两直角三角形EDB全等CDF(HL)
即BE=CF
20解:
∵AF//DE
∴∠D=∠AFC
∵∠B+∠D=180°,,∠AFC+∠AFB=180°
∴∠B=∠AFB
∴AB=AF=DE
△AFC和△EDC中:
∠B=∠AFB,∠ACF=∠ECD(对顶角),AF=DE∴△AFC≌△EDC
∴CF=CD
21证明:
∵点P在∠AOB的角均分线OC上,PE⊥OB,PD⊥AO,
∴PD=PE,∠DOP=∠EOP,∠PDO=∠PEO=90°,
∴∠DPF=∠EPF,
在△DPF和△EPF中
PD=PE
∠DPF=∠EPF
PF=PF(SAS),
∴△DPF≌△EPF
∴DF=EF.
22考点:
全等三角形的判断与性质.专题:
证明题.
剖析:
(1)依据全等三角形的判断定理ASA证得△BE
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