等腰三角形直角三角形竞赛题.docx
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等腰三角形直角三角形竞赛题
等腰三角形直角三角形
【内容综述】
等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊三角形,本讲中通过一系列关于等腰三角形或直角三角形问题解决,既是复习关于三角形全等知识,同步也是培养同窗们分析、解决问题能力。
同窗们通过学习下面问题分析、解答过程,特别要注意体会如何依照题目已知信息和图形特性作出恰当辅助线。
这是学习本节难点所在。
【要点解说】
★★例1如图2-8-1,
中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于G。
求证:
DG=EG。
思路由于△GDB和△GEC不全等,因此考虑在△GDB内作出一种与△GEC全等三角形。
证明:
过D作DH∥AE,交BC于H
∴
∵AB=AC
∴
∴
∴DB=DH
又∵DB=CE
∴DH=CE
又∵
∴
∴DG=EG.
阐明本题易明显得出DG和EG所在△DBG和△ECG不全等,故要构造三角形全等,本题另一种证法是过E作EF∥BD,交BC延长线于F,证明△DBG≌△EFG,读者不妨试一试。
★★例2如图2-8-2,D为等边△ABC内部一点,DB=DA,BE=AB,∠DBE=∠DBC,求∠BED度数。
思路从已知中知等边△ABC每个内角为60°。
因此要想办法把∠BED和60°这一信息产生联系。
解:
连结DC
由△ABC是等边三角形且BE=AB可得BE=BC
又∵∠DBE=∠DBC,BD=BD
∴△DBE≌△DBC,
∴∠BED=∠BCD
∵DB=DA,DC=DC,CB=CA,
∴△CBD≌△CAD
∴∠BCD=∠ACD=
∠BCA=
×60°=30°
∴∠BED=30°
阐明证明两角相等重要思路之一就是证明这两角所在两个三角形能全等。
★★★例3如图2-8-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,作∠B平分线与AC边交于E,求证:
BC=AE+BE。
思路要想办法把AE+BE替代成一条线段a,然后只需证明BC=a。
证明延长BE到F,使EF=AE,连结FC,作∠BEC平分线交BC于G,由AB=AC,
∠BAC=100°,可知∠ABE=∠CBE=20°
因而∠AEB=∠GEB=60°
于是△AEB≌△GEB
则有EG=EA=EF
又由∠GEC=∠FEC=60°
因此△GEC≌△FEC
因此∠EFC=∠EGC=180°-100°=80°
从而∠BCF=80°
故BC=BF=AE+BE
★★★例4如图2-8-4,P为等边△ABC内任一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F。
求证:
PD+PE+PF是定值。
思路考虑把PD+PE+PF
用等边△ABC边长、周长、高、
面积等不变量表达出来。
证明连结PA、PB、PC,过A作AH⊥BC于H。
∵
,
∴
又∵AB=BC=CA,
∴PD+PE+PF=AH
由于等边三角形大小已给定,则它高也随之拟定。
∴PD+PE+PF是定值。
阐明题中PD、PE、PF这三段都是点到线段距离,故联想到了三角形面积,运用各个某些面积之和等于整体面积建立了等式关系。
★★★例5如图2-8-5,在△ABC中,BF⊥AC,CG⊥AB,垂足分别是F、G,D是BC中点,DE⊥FG,垂足是E。
求证:
GE=EF。
思路运用等腰三角形三线合一性质,只需证明DG=DF。
证明连结DG、DF。
∵DG是Rt△BCG斜边BC上中线。
∴
,同理可证
∴DG=DF
又∵DE⊥FG,
∴GE=EF
阐明若题目中作了三角形高,就应注意所形成直角三角形这一图形,如本题图中Rt△BGC和Rt△CFB。
★★★★例6已知一种直角三角形边长都是自然数,且周长和面积量数相等,求这个三角形三边长。
思路列出三边长满足关系式,然后通过度析、讨论得出三边长度。
解设三边长分别为a,b,c,其中c为斜边,则
由②得
代入①得
,
即
∵ab≠0,
∴ab―4a―4b+8=0
∴
(a、b为自然数)
∴a-4=1,2,4,8
∴a=5,6,8,12;b=12,8,6,5;
c=13,10,10,13
∴三边长分别为6、8、10或5、12、13。
阐明本题是用代数办法解几何题,这种办法此后还大有用处,请读者注意它。
★★★★例7如图2-8-6,在△ABC中,AB=AC=CB,AE=CD,AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q。
求证:
BP=2PQ。
思路在Rt△BPQ中,本题结论等价于证明∠PBQ=30°
证明∵AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°,AE=CD,
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ
阐明本题把证明线段之间关系转化为证明角度数,这种转换问题办法值得读者细心体会。
强化练习
A级
★★1.在△ABC中,∠ACB=90°,D、E为AB上二点,且AE=AC,BD=BC,如图2-8-7,则∠DCE度数是_________。
★★2.△ABC中,AB=AC,D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取AE=AD,则∠EDC度数是_____。
★★★3.已知直角三角形周长为
,斜边上中线长为1,则这个直角三角形面积是______。
★★★4.如图2-8-8P是等边△ABC外一点,∠APB=∠APC=60°,求证:
PA=PB+PC。
★★5.等腰三角形各边均为正整数,周长为15,则满足条件三角形有______。
★★6.三角形三边长满足
,则这个三角形形状是_____。
★★★7.在等腰直角△ABC中,P为斜边上一点,四边形EPFC是矩形,D为AB中点,如图2-8-9,则DE和DF大小关系是________。
★★★★8.如图2-8-10,AC=BC,∠C=20°,又M在AC边上,N在BC边上且满足∠BAN=50°,∠ABM=60°,求∠NMB度数。
参照答案
1.45°
提示:
由AE=AC得∠AEC=90°-
,同理由BD=BC得∠BDC=90°-
,又由于∠A+∠B=90°,因此得∠AEC+∠BDC=135°,因此∠DCE=45°。
2.15°
提示:
由题设条件设∠AED=∠ADE=X°,因此∠EDC=X-∠C。
又由于2∠C+30°+(180°-2X)=180°,由此可得X-∠C=15°,因此∠EDC=15°。
3.
提示:
设它三边长为a,b,c,由题设条件得c=2,因此
由
-②得ab=1,则
4.提示:
在PA上截取PD=PB,连结BD,可证出
BP=BD,AB=BC,因此得
,则AD=PC,因此BP+PC=PD+DA=PA。
5.答案:
4个
提示:
由题意设三边为x,x,y,则有
解得
,∴x=4,5,6,7。
当x=4时,y=7;当x=5,y=5;当x=6,y=3,当x=7,y=1;故符合条件三角形共有4个。
6.等腰三角形。
提示:
a=b或b=c
7.DE=DF
提示:
连结CD,则由题设条件得
,∠FCD=∠EAD=45°,CF=EP=EA,因此△FCD≌△EAD,故DE=DF。
8.30°
简解:
易证AB=BN,∠AMB=40°,
如图2-8-11,作等腰△BAD,使BD=BA=BN,
又∠ABD=180°-2∠CAB=20°,∴∠DBN=80°-20°=60°,
∴△BDN是等边三角形,BD=DN,又在△BDM中,
∠DBM=∠DMB=40°,故△DMB为等腰三角形,由
∠MDN=180°-∠ADB-∠BDN=40°知,DN=DM=DB
∴∠NMB=∠NMA-∠BMA=70°-40°=30°。
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