梯形的辅助线做法精华版本.docx
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梯形的辅助线做法精华版本
第十三讲梯形
教学目标
1.掌握梯形的概念以及等腰梯形的性质.
2.会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些特殊的图形问题.
3.培养学生观察、类比、实验、分析、概括的能力.
4.培养学生化归的思想和添加辅助线的能力.
教学重点
等腰梯形的性质,梯形辅助线的添加.
教学难点
掌握梯形常见的辅助线作法与应用.
教学方法建议
1、讲练结合,本次课以计算为主,提高学生的计算速度及精准度非常关键
2、在学会一般的方法基础上进行提高训练.
第一部分知识梳理
1、梯形的有关概念
梯形:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底,梯形中不平行的两边叫做梯形的腰,梯形的两底的距离叫做梯形的高.
等腰梯形:
两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
直角梯形:
一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.
梯形的中位线:
连结梯形两腰的中点的线段.
补充:
等腰梯形的概念
1.两腰相等的梯形是等腰梯形
2.同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3.两条对角线相等的梯形为等腰梯形
4.对角互补的梯形是等腰梯形
2.梯形与其他图形的转换
(1)过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线,可将梯形转化为一个平行四边形和三角形
(2)过梯形的一个顶点作对角线的平行线,将对角线的有关条件转化到一个三角形中
(3)延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形
(4)从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线,就可将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形
(5)旋转由梯形一底和一腰中点构成的三角形,可使梯形转化为三角形
(6)已知梯形一腰中点,作梯形的中位线.既可轻松解决计算问题,也可以在证明中将梯形转化为三角形
3.梯形与四边形的从属关系及梯形的分类.
特殊梯形分类:
4.梯形常见辅助线作法:
解决梯形的证明或计算问题,常用以下方法添置辅助线:
5.梯形性质:
①梯形的上下两底平行;
②梯形的中位线(两腰中点相连的线叫做中位线)平行于两底并且等于上下底和的一半.
③等腰梯形对角线相等.
6.梯形判定:
1.一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形.
2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形.
补充:
等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等.
(2)等腰梯形的对角线相等.
(3)等腰梯形是轴对称图形.
等腰梯形的判定:
(1)定义:
两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
7.梯形的中位线定理:
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.用梯形中位线的两倍乘以高再除以二就等于梯形的面积,用符号表示是L.
L=(a+b)÷2
已知中位线长度和高,就能求出梯形的面积.
S梯=2Lh÷2
第二部分例题精讲
例题1下列命题中,正确的是()
A.同位角相等B.平行四边形的对角线互相垂直平分
C.等腰梯形的对角线互相垂直D.矩形的对角线互相平分且相等
出题意图:
理解和掌握梯形的基本概念与一般性质.
答案:
D
例题2如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,且AC⊥BD,AF是梯形的高,梯形的面积是49cm
,求梯形的高.
出题意图:
如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,且AC⊥BD,AF是梯形的高,梯形的面积是49cm
,求梯形的高.解题思路由于题目条件中涉及到对角线位置关系,不妨从平移对角线入手.
解答:
过D点作AC的平行线交BC的延长线于E点,则四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE,AC=DE,∠BDE=90°,
∴△BDE是等腰直角△,
∵AD∥BE,∴△ADB的面积=△ADC的面积=△ECD的面积,
∴梯形ABCD的面积=△BDE的面积,过D点作BE的垂线,垂足为H点,
∴AF=DH,∴DH=½BE,设DH=x,则:
BE=2x,
∴½BE·DH=49,即½×2x×x=49,
∴x=7,∴梯形高AF=7㎝
梯形的常用辅助线作法
一、平移
1、平移一腰:
从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形.
例3如图1,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围.
出题意图:
要求学生联系三角形的边的关系,进而判断梯形中的边的大小关系.
解析:
过点B作BM//AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD.在△BCM中,BM=AD=4,CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,
解BC的取值范围是:
5-4 2、平移两腰: 利用梯形中的某个特殊点,过此点作两腰的平行线,把两腰转化到同一个三角形中. 例4如图2,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长. 出题意图: 利用梯形的某些特殊点,做辅助线进行转换. 解析: 过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H,可得 ∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90° 则△EGH是直角三角形 因为E、F分别是AD、BC的中点,容易证得F是GH的中点 所以 3、平移对角线: 过梯形的一个顶点作对角线的平行线,将已知条件转化到一个三角形中. 例5如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD= ,求证: AC⊥BD. 出题意图: 要求学生掌握和利用等腰梯形的性质应用. 解析: 过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形,则DE=BC,CE=BD= ,所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10.在等腰梯形ABCD中,AC=BD= ,所以在△ACE中, ,从而AC⊥CE,于是AC⊥BD. 针对练习1(平移对角线)已知梯形ABCD的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直,则另一条对角线长为_____________ 例6如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求梯形ABCD的面积. 解析: 过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形,即 . 所以 由勾股定理得 (cm) (cm) 所以 ,即梯形ABCD的面积是150cm2. 二、延长 即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形. 例7如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD的长. 解析: 延长BA、CD交于点E.在△BCE中,∠B=50°,∠C=80°. 所以∠E=50°,从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC-ED=5-2=3 针对练习2如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论. 针对练习3(延长两腰)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠C+∠D=90°,E、F为AB、CD的中点. 三、作对角线 即通过作对角线,使梯形转化为三角形. 例8如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD于点E,求证: AD=DE. 出题意图: 利用对角线使梯形转化为三角形进行证明. 解析: 连结BD,由AD//BC,得∠ADB=∠DBE; 由BC=CD,得∠DBC=∠BDC.所以∠ADB=∠BDE. 又∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BED,得AD=DE. 四、作梯形的高 1、作一条高,从底边的一个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为直角三角形或矩形. 例9如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证: 四边形ABFE是等腰梯形. 出题意图: 学会把梯形转化为直角三角形或者矩形,并利用其性质进行解决. 解析: 过点D作DG⊥AB于点G,则易知四边形DGBC是矩形,所以DC=BG. 因为AB=2DC,所以AG=GB. 从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA. 又EF//AB,所以四边形ABFE是等腰梯形. 2、作两条高: 从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形. 例10如图8,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证: BD>AC. 出题意图: 利用三角形的勾股定理判断梯形中不同边的数量关系. 解析: 作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF.在Rt△ABE和Rt△DCF中,因为AB>CD,AE=DF. 所以由勾股定理得BE>CF. 即BF>CE.在Rt△BDF和Rt△CAE中 由勾股定理得BD>AC 五、作中位线 1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线. 例11如图,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中点,∠AOD=90°,求证: AB+CD=AD. 出题意图: 要求学生通过辅助线,将两条线段转化为一条线段进行求证的方法. 解析: 取AD的中点E,连接OE,则易知OE是梯形ABCD的中位线,从而OE= (AB+CD)①在△AOD中,∠AOD=90°,AE=DE 所以 ② 由①、②得AB+CD=AD. 2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线. 例12如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证: (1)EF//AD; (2) . 出题意图: 利用三角形中位线的性质进行线段间的数量运算关系. 解析: 连接DF,并延长交BC于点G,易证△AFD≌△CFG 则AD=CG,DF=GF 由于DE=BE,所以EF是△BDG的中位线 从而EF//BG,且 因为AD//BG, 所以EF//AD,EF 三、在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的. 例13、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=900,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE. 出题意图: 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”. 解析: 分别延长AE与BC,并交于F点,从而等到△ADE与△FCE是全等的,进而求出答案. 解: 分别延长AE与BC,并交于F点 ∵∠BAD=900且AD∥BC ∴∠FBA=1800-∠BAD=900 又∵AD∥BC ∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC(对顶角相等) DE=EC(E点是CD的中点) ∴△ADE≌△FCE(AAS) ∴AE=FE 在△ABF中∠FBA=900且AE=FE ∴BE=FE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ∴在△FEB中∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE 第三部分优化作业 基础训练题(A) 1.等腰梯形中,上底: 腰: 下底=1: 2: 3,则下底角的度数是____________. 2.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,BD⊥DC,且BD平分∠ABC,若梯形的周长为20cm,则梯形的高为___________. 3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,∠A=60°,∠1=∠2,且梯形的周长为30cm,则这个等腰梯形的腰长为___________. 4.如图,梯形ABCD中,AD//BC,EF是中位线,G是BC边上任意一点,如果S =2 cm ,那么梯形ABCD的面积为____________. 5.等腰梯形的两条对角线互相垂直,则梯形的高h和中位线的长m之间的关系是() A.m>hB.m=hC.m<hD.无法确定 6.梯形ABCD中,AB//DC,AB=5,BC=3 ,∠BCD=45°,∠CDA=60°,则DC的长度是() A.7+ B.8C.9 D.8+ E.8+3 7.如图,在等腰梯形ABCD中,AC=BC+AD,则∠DBC的度数是() A.30°B.45°C.60°D.90° 8.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,BC=DC,∠C=30°,AD=a,则BC的长为() A.(4+2 )aB.(2+ )aC.(4-2 )aD.(2- )a 9.如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,点P为BC边上一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G,求证: PE+PF=BG. 10.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别为AB、AC中点,BD与EF相交于G,求证: GF= (BC-AD). 11.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC与BD垂直相交于O,MN是梯形ABCD的中位线,∠DBC=30°,求证: AC=MN. 12.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点,CE⊥BF于点O. 求证: (1)四边形EBCF是等腰梯形; (2)EF +BC =2BE . 13.在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,若AD=2,BC=8,BD=6, 求: (1)对角线AC的长; (2)梯形ABCD的面积. 提高训练题(B) 1、已知: 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F. 求证: CE=BF. 2、在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连接AE。 求证: AE=CA。 3、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,CD=BC+AD, 问: 在AB上是否存在一点P,使∠CPD=90°? 若存在,请把这点找出来,并给予证明;若不存在,请说明理由. 综合迁移题(C) 1、如图梯形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,AB=8cm,CD=10cm,BC=16cm。 点P从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动,点Q从点D同时开始沿DA边向终点A以1cm/s的速度移动,设运动时间为t秒,联结PQ。 (1)求AD的长。 (2)在P、Q的运动过程中,当t取何值时,线段PQ=CD? . (3)当P、Q的运动过程中,是否存在线段PQ与对角线AC垂直,如果在在,请求出t的值;若不存在,请说明理由。 2、如图,直角梯形 中, ∥ , , , , ,点 在线段 上,点 与 、 不重合,设 , 的面积为 (1)求梯形 的面积 (2)写出 与 的函数关系式,并指出 的取值范围 (3) 为何值时, 参考答案:
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