初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习.docx
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初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
初二分式所有知识点总结和常考题
知识点:
1.分式:
形如-,A、B是整式,B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.
B
其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件:
分母不等于0.
3.分式的基本性质:
分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变•
4.约分:
把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分.
5.通分:
异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分
6.最简分式:
一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算:
⑴同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用
字母表示为:
⑵异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分
式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为:
acadcb
bdbd
⑶分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分
母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:
a-
bdbd
⑷分式的除法法则:
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:
————ad
bdbcbc
⑸分式的乘方法则:
分子、分母分别乘方.用字母表示为:
8.整数指数幕:
⑴amanamn(m、n是正整数)
⑵amnamn(m、n是正整数)
⑶ab"anbn(n是正整数)
⑷amanamn(a0,m、n是正整数,mn)
nn
⑸aa-(n是正整数)
bbn
0,n是正整数)
9.的意义:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
10.分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知
数的取值范围,可能产生增根)•常考题:
一•选择题(共14小题)
1•在式子、器、迸甘=、专斥、册乎中,分式的个数有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
2
2.化简’「的结果是()
xT1-x
A.x+1B.x—1C.-xD.x
3.如果把分式中的x和y都扩大2倍,则分式的值()
xty
A.扩大4倍B•扩大2倍C.不变D.缩小2倍
4.把分式方程-^-4^=1的两边同时乘以(x—2),约去分母,得()
I-ZZ-K
A.1—(1—x)=1B.1+(1—x)=1C.1—(1—x)=x—2D.1+(1—x)
10.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车
多行驶20千米,求两车的速度各为多少?
设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是()
12.A,B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程()
A.B.
C.丄+4=9D.+^—=1
kx+4x-4
13.计算([十斗厲(1+—^)的结果为()
h-1x2-l
A.1B.x+1C.—D.肖
二.填空题(共13小题)
15.计算:
|一=.
16.若分式吉有意义,则实数x的取值范围是
17.分式方程^令二1的解x=
x+1
18.若代数式丄^-1的值为零,则x=.
x-1
19.化简(nrf!
)的结果是.
9
x+4k+4X
宀s_2
20.化简:
或“=”
25.如果实数x满足x2+2x—3=0,那么代数式(•
26.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需
时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.
27.杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/时,提速后平均速度增加了70千米/时,由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时,则可列方程为三.解答题(共13小题)
28.先化简,再求值:
,其中只吨.
时1宀1
1—“
3-1a2-2a+l
代入求值.
整数解.
X
9
CLAK42Z+1
35.已知A=-
x^-1
£
36.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙
队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队继续施工,为了不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天?
37.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?
38.从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,
普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.39.学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品.已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍;用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元?
(2)若学校计划购买这两种图书共40本,且投入的经费不超过1050元,要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量,则共有几种购买方案?
40.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降•今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量
的A款汽车,去年销售额为100万元,今年销售额只有90万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元?
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆进价为7.5万元,B款汽车每辆进价为6万元,公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆,有几种进货方案?
(3)如果B款汽车每辆售价为8万元,为打开B款汽车的销路,公司决定每售出一辆B款汽车,返还顾客现金a万元,要使
(2)中所有的方案获利相同,a值应是多少?
此时,哪种方案对公司更有利?
初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
(含答案解析)
参考答案与试题解析
一.选择题(共14小题)
1.(2012春?
潜江期末)在式子丄、加丫
O2,3I
5、¥、
9严中,
a兀
4
6+x78
y
分式的个数有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【解答】解:
丄、丄、9x+L这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.
a6+ky
其它式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.
故选:
B.
【点评】本题考查的是分式的定义,在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含有未知数的式子即为分式.
2
2.(2014?
南通)化简7,|'的结果是()
x-11-x
A.x+1B.x-1C.-xD.x
【分析】将分母化为同分母,通分,再将分子因式分解,约分.
22
【解答】解:
-二^—--^-
x-l1-J1-1旷1
2
=•
K-1
=-■---<-L:
x-1
=x,
故选:
D.
【点评】本题考查了分式的加减运算.分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.
3.(2012?
岳麓区校级自主招生)如果把分式中的x和y都扩大2倍,则分
x+y
式的值()
A.扩大4倍B•扩大2倍C.不变D.缩小2倍
【分析】把分式工中的x和y都扩大2倍,分别用2x和2y去代换原分式中的x+y
x和y,利用分式的基本性质化简即可.
【解答】解:
把分式中的x和y都扩大2倍后得:
x+y
;.工唔「=:
"_2?
$「
2tic+y)2&+严)x+y'
即分式的值扩大2倍.
故选:
B.
【点评】根据分式的基本性质,无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数,都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项.
4.(2005?
扬州)把分式方程二•的两边同时乘以(X-2),约去分母,
k-22■辽
得()
A.1-(1-x)=1B.1+(1-x)=1C.1-(1-x)=x-2D.1+(1-x)=x-2
【分析】分母中x-2与2-x互为相反数,那么最简公分母为(x-2),乘以最简公分母,可以把分式方程转化成整式方程.
【解答】解:
方程两边都乘(x-2),得:
1+(1-x)=x-2.故选:
D.
【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步;注意单独的一个数也要乘最简公分母;互为相反数的两个数为分母,最简公分母为其中的一个,另一个乘以最简公分母后,结果为-1.
=1
故选A.
【点评】本题主要考查分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.
6.(2008?
黄冈)计算的结果为()
baa
A.桔B.些
b
【分析】先算小括号里的,再把除法统一成乘法,约分化为最简.
【解答】解:
「=—,故选A.
baaaba+bb
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展,在计算时,首先要弄清
楚运算顺序,先去括号,再进行分式的乘除.
7.(2014?
黑龙江)已知关于x的分式方程二+3=1
的解是非负数,则m的
1-11-x
取值范围是()
A.m>2B.m>2C.m>2且m^3D.m>2且m^3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解表示出x,根据方
程的解为非负数求出m的范围即可.
【解答】解:
分式方程去分母得:
m-3=x-1,
解得:
x=m-2,
由方程的解为非负数,得到m-2>0,且m-2工1,
解得:
m》2且m工3.
故选:
C
【点评】此题考查了分式方程的解,时刻注意分母不为0这个条件.
8.(2009?
维坊)下列运算正确的是()
A、a2?
a3=a6B.(丄)-1=-2C.一:
=±4D.|-6|=6
【分析】幕运算的性质:
1同底数的幕相乘,底数不变,指数相加;
2一个数的负指数次幕等于这个数的正指数次幕的倒数,
算术平方根的概念:
一个正数的正的平方根叫它的算术平方根,0的算术平方根
是0.
绝对值的性质:
正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的
绝对值是0.
【解答】解:
A、a2?
a3=a5,故A错误;
B、
(二)-1=2,故B错误;
C、=4,故C错误;
D、根据负数的绝对值等于它的相反数,故D正确.
故选D.
【点评】本题涉及知识:
负指数为正指数的倒数;任何非0数的0次幕等于1;绝对值的化简;二次根式的化简.
9.(2013?
本溪)某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设
原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为(
【分析】关键描述语为:
共用了18天完成任务”等量关系为:
采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18.
间可表示为:
方程可表示为:
160,400-160.J
x(1+20%)k~13'
故选:
B.
【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变
化.
10.
(2014?
黔南州)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?
设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是()
【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积,然后计算比值
即可.
=宀']
Ca-b)a+b
a(a-b)
a(a-b)
a
则
【解答】解:
甲图中阴影部分面积为a2-b2,乙图中阴影部分面积为a(a-b),
1+^
a
•••a>b>0,
•••1v_+1V2,
•••1vkv2
故选B.
【点评】本题考查了分式的乘除法,会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键.
【分析】本题的等量关系为:
顺流时间+逆流时间=9小时.
【解答】解:
顺流时间为:
;逆流时间为:
4S.
卜;
=9
x+4
x-4
所列方程为:
故选A.
【点评】未知量是速度,有速度,一定是根据时间来列等量关系的.找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.
广1_|_一1\1丄-1>
lx-1+l.7^-1+1
a+1
11/J
xT1x?
-l
【解答】解:
故选C.
【点评】注意:
当整式与分式相加减时,一般可以把整式看作分母为1的分式,
与其它分式进行通分运算.
值为()
Q4
B--9
【分析】对等式右边通分加减运算和,再根据对应项系数相等列方程组求解即可.
【解答】解:
A.
B.
A=T
B=1
C.
A=1
g
D.
A=-35
B=13
^Ck-1)-B(3x+25CA-3B)x-(A+2B)
C3x+2)(x-1)_=C3x+2)(x-l)=(3x+2)(x-l)
所以,
1.M2B二9解得严I
(B=l
故选B.
【点评】此题考查了分式的减法,比较灵活,需要熟练掌握分式的加减运算.
二.填空题(共13小题)
15.(2014?
陕西)计算:
(丄)%9.
【分析】根据负整数指数幕的运算法则进行计算即可.
【解答】解:
原式=I=一=9.
(斗1
■d丿9
故答案为:
9.
【点评】本题考查的是负整数指数幕,即负整数指数幕等于该数对应的正整数指数幕的倒数.
16.(2014?
衢州)若分式一有意义,则实数x的取值范围是xm5.
【分析】由于分式的分母不能为0,x-5为分母,因此x-5工0,解得x.
【解答】解:
•••分式丄有意义,
二x-5工0,即xm5.
故答案为:
xm5.
【点评】本题主要考查分式有意义的条件:
分式有意义,分母不能为0.
17.(2013?
梅州)分式方程的解x=1.
x+1
【分析】本题的最简公分母是X+1,方程两边都乘最简公分母,可把分式方程转换为整式方程求解.结果要检验.
【解答】解:
方程两边都乘X+1,得
2x=x+1,
解得X=1.
检验:
当x=1时,x+1m0.
•••x=1是原方程的解.
【点评】
(1)解分式方程的基本思想是转化思想”,方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根.
18.(2013?
临夏州)若代数式二-1的值为零,贝Ux=3.
K-1
【分析】由题意得=0,解分式方程即可得出答案.
x-1
【解答】解:
由题意得,-1=0,
x_l
解得:
x=3,经检验的x=3是原方程的根.故答案为:
3.
【点评】此题考查了分式值为0的条件,属于基础题,注意分式方程需要检验.
19.(2013?
凉山州)化简时1)的结果是m.
itr+1
【分析】本题需先把(m+1)与括号里的每一项分别进行相乘,再把所得结果相加即可求出答案.
【解答】解:
」十亠
=(m+1)—1
=m
故答案为:
m.
【点评】本题主要考查了分式的混合运算,在解题时要把(m+1)分别进行相乘是解题的关键.
【分析】先将X2—4分解为(x+2)(X-2),然后通分,再进行计算.
【解答】解:
:
'工=;+•:
:
「+•:
■■-1=.一=二
【点评】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题关键是把握好通分与约分.分式加减的本质是通分,乘除的本质是约分.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法
法则变形,约分即可得到结果.
故答案为:
丄
【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.(2013?
绥化)若关于x的方程牟7」?
+1无解,则a的值是2或1.
x-zx-2
【分析】把方程去分母得到一个整式方程,把方程的增根x=2代入即可求得a的
值.
【解答】解:
x—2=0,解得:
x=2.
方程去分母,得:
ax=4^x—2,即(a—1)x=2
当a-1工0时,把x=2代入方程得:
2a=4+2-2,解得:
a=2.
当a-仁0,即a=1时,原方程无解.
故答案是:
2或1.
【点评】首先根据题意写出a的新方程,然后解出a的值.
23.(2013?
德阳)已知关于x的方程的解是正数,则m的取值范围是m
丈一2n—
>-6且m—4.
【分析】首先求出关于X的方程二:
;的解,然后根据解是正数,再解不等式求出m的取值范围.
【解答】解:
解关于x的方程'1'-:
得x=m+6,
•••方程的解是正数,
二m+6>0且m+6工2,
解这个不等式得m>-6且mH-4.
故答案为:
m>-6且mh-4.
【点评】本题考查了分式方程的解,是一个方程与不等式的综合题目,解关于x
的方程是关键,解关于x的不等式是本题的一个难点.
24.(2009?
枣庄)a、b为实数,且ab=1,设P=',Q=,贝UP
a+1b41a+1b+1
—Q(填>”、N”或“
【分析】将两式分别化简,然后将ab=1代入其中,再进行比较,
【解答】解:
:
P
即可得出结论.
十「1£'
-1.1
(a+1)(b+1)
ab+a+b+1
,把ab=1代入得:
:
I=1;
=1;
■■■.-Ji.=;
=b+l+a41
=a.+b+2
=(a+l)tbfn
ab+a+frl-L|
,把ab=1代入得:
•P=Q.
【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可.
2[
25.(2013?
达州)如果实数x满足x2+2x-3=0,那么代数式斗一斗的值
:
Hlx+1
为5.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再根据实数x满足x2+2x
-3=0求出x2+2x的值,代入原式进行计算即可.
2
【解答】解:
原式=;-:
-x(x+1)
=x2+2x+2,
•••实数x满足x2+2x-3=0,
«+2x=3,
原式=3+2=5.
故答案为:
5.
【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
26.(2013?
呼和浩特)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产200台机器.
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同.所以可得等量关系为:
现在生产600台机器时间二原计划生产450台时间.
【解答】解:
设:
现在平均每天生产x台机器,则原计划可生产(x-50)台.依题意得:
丄=^^.
解得:
x=200.
检验:
当x=200时,x(x-50)工0.
•••x=200是原分式方程的解.
•••现在平均每天生产200台机器.
故答案为:
200.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用,重点在于准确地找出相等关系,这是列方程的依据.而难点则在于对题目已知条件的分析,也就是审题,一般来说应用题中的条件有两种,一种是显性的,直接在题目中明确给出,而另一种是隐性的,是以题目的隐含条件给出.本题中现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件,注意挖掘.
27.(2013?
舟山)杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/时,提速后平均速度增加了70千米/时,由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时,则可列方程为迴■-旦工=3.
—x—x+70
【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间,再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时,即可列出方程.
【解答】解:
根据题意得:
1487
1^87
x+70
故答案为:
丄二-=3.
xk+70
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是读懂题意,找出题目中
的等量关系并列出方程.
三.解答题(共13小题)
28.(2013?
眉山)先化简,再求值:
(1^^)中~(x-2),其中工MS.
K+1Ft
【分析】这道求代数式值的题目,不应考虑把x的值直接代入,通常做法是先把代数式去括号,把除法转换为乘法化简,然后再代入求值.
【解答】解:
原式=•■+(x-2)(3分)
^+11
=x(x-1)+(x-2)=x2-2;(2分)
当X二闻时,贝U原式的值为(加?
-2=4.(2分)
【点评】分式混合运算要注意先去括号;分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算.
29.(2005?
徐州)先化简代数式'--|-:
然后选取一个使原式
曰T亠2肘13-1
有意义的a值代入求值.
【分析】本题考查的化简与计算的综合运算,关键是正确进行分式的通分、约分,
并准确代值计算.此题要注意的是a^1.
【解答】解:
原式=---•…
=a2a-1
(a-O£~
a•/a-1工0,
--aM1,
当a=2时,原式=2.
【点评】此题考查了分式的化简求值,取合适的值代入原式求值时,要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义.
【分析】首先将分式的分母分解因式,然后再约分、化简,最后将X
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