专题三 第1讲 三角函数的图象与性质 课件共57张PPT.docx
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专题三第1讲三角函数的图象与性质课件(共57张PPT)
幻灯片1专题三三角函数与解三角形幻灯片2第1讲三角函数的图象与性质幻灯片3幻灯片41.(2019广东,文4)已知sin5A.-2521C.155,那么cos=()D.25B.-15C解析:
∵sin52=sin2=sin22=cos=15,cos=15.幻灯片52.(2019四川,文6)函数f(x)=2sin(x+)0,-22的部分图象如图所示,则,的值分别是()A.2,-3B.2,-6C.4,-6D.4,3A幻灯片6解析:
由图象知函数周期T=21112-512=,=2=2,把512,2代入解析式,得2=2sin2512,即sin56=1.56+=2+2k(kZ),=-3+2k(kZ).又-22,=-3.故选A.幻灯片73.(2019湖北,文6)将函数y=3cosx+sinx(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.12B.6C.3D.56B幻灯片8解析:
y=3cosx+sinx=2sin3的图象向左平移m个单位长度后得y=2sin3的图象.又平移后的图象关于y轴对称,即3为偶函数,根据诱导公式,知m的最小正值为y=2sin6,故选B.幻灯片94.(2019课标全国Ⅱ,文16)函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移2个单位后,与函数y=sin2=.3的图象重合,则56幻灯片10解析:
y=cos(2x+)向右平移2个单位得,y=cos2-2=cos(2x-+)=sin2-2=sin2-2,而它与函数y=sin23的图象重合,令2x+-2=2x+3+2k,kZ,得=56+2k,kZ.又-,=56.幻灯片115.(2019安徽,文16)设函数f(x)=sinx+sin3.
(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;
(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到.幻灯片12解:
(1)因为f(x)=sinx+12sinx+32cosx=32sinx+32cosx=3sin6.所以当x+6=2k-2,即x=2k-23(kZ)时,f(x)取最小值-3.此时x的取值集合为2-2
(2)先将y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得y=3sinx的图象;再将y=3sinx的图象上所有的点向左平移6个单位,得y=f(x)的图象.3,kZ.幻灯片13三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容,主要从以下三个方面进行考查:
1.三角函数的概念与诱导公式,主要以选择题、填空题为主.2.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查,有时也会出现大题.3.三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(x+)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.幻灯片14幻灯片15热点一三角函数的概念【例1】已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2=()A.-45B.-35C.35D.45B幻灯片16解析:
(方法1)在角终边上任取一点P(a,2a)(a0),则r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2,cos2=25215,cos2=2cos2-1=25-1=-35.(方法2)由方法1知tan=2=2,cos2=cos2-sin2cos2sin21-tan21tan2=-35.幻灯片17规律方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时,通常先根据任意角的三角函数的定义求这个角的三角函数.特别提醒:
(1)当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时,根据定义求三角函数值时,要把这条直线看做两条射线,分别求解.
(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时,一定要特别注意符号.一定要理解奇变偶不变,符号看象限的意思;同角三角函数的平方关系中,开方后的符号要根据角所在的象限确定.幻灯片18拓展训练1已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标是-35,若(0,),则tan=.-43幻灯片19解析:
由三角函数定义可知cos=-35,又(0,),sin=1-cos245,所以tan=sincos=-43.幻灯片20热点二三角函数的图象及解析式【例2】如图,根据函数的图象,求函数y=Asin(x+)(A0,0,||)的解析式.幻灯片21解:
由图象可知A=23,T=2[6-(-2)]=16,即2==16,8.y=23sin又∵点(2,-23)在曲线上,代入得23sin4+=2k-又∵||,k=0时,=-38x.82=-23,sin2,kZ.=2k-34=-1.4,kZ.4.8x-3函数解析式为y=23sin幻灯片224.规律方法解决由部分图象确定函数解析式问题的关键在于确定参数A,,,其基本方法是在观察图象的基础上,利用待定系数法求解.若设所求解析式为y=Asin(x+),则在观察图象的基础上,可按以下规律来确定A,,.
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程.
(2)因为T=2||,所以往往通过求周期T来确定.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)代入点的坐标,通过解三角方程,再结合图象确定.幻灯片23特别提醒:
求y=Asin(x+)的解析式,最难的是求,第一零点常常用来求,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出.若对A,的符号或对的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.幻灯片24拓展训练2下图所示的是函数y=Asin(x+)(A0,0)图象的一部分,则其函数解析式是()A.y=sinC.y=sin23B.y=sin-D.y=sin2-366A幻灯片25解析:
由图象可知A=1,46-32,T=2.=2=1.又6,1可看做五点法作图的第二个点,6+=2.=3.y=sin3.幻灯片26热点三三角函数图象变换【例3】已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,||个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可2,xR在一由函数y=cosx的图象(纵坐标不变)()A.先把各点的横坐标缩短到原来的12,再向左平移2,再向右平移6个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的112个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移6个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移12个单位B幻灯片27解析:
由题中图象可知A=1,T=.=2=2.又3.y=sin2412-64,12,1可看做五点法作图的第二个点,6+=2.=3.由函数y=cosx的图象(纵坐标不变)上各点的横坐标缩短到原来的12,可得y=cos2x的图象,再向右平移12个单位可得y=cos2-2-幻灯片2812=cos2-6=cos6-2x=sin6-2x=sin23的图象规律方法图象变换理论:
(1)平移变换①沿x轴平移,按左加右减法则;②沿y轴平移,按上加下减法则;
(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(01)或缩短
(1)为原来的1(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变).特别提醒:
对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少,尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断.幻灯片29拓展训练3(2019福建,文9)将函数f(x)=sin(2x+)-22的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P0,32,则的值可以是()A.53B.56C.2D.6B幻灯片30解析:
∵f(x)的图象经过点0,3又∵-f(x)=sin2由题知g(x)=f(x-)=sin2(-)又图象经过点0,3g(0)=sin-2当=52,sin=32.2,2,=3.3.3,2,32.36时满足g(0)=32,故选B.幻灯片31热点四三角函数图象与性质的综合应用【例4】(2019山东东营二模,17)函数f(x)=Asin(x+)0,0,||2的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间0,2上的最小值及取最小值时x的值.幻灯片32解:
(1)由题意可得,A=1,22362,T=.T=2,=2.当x=6时,f(x)=1,sin26=1.3+==2+2k,kZ,6+2k,kZ.∵||2,=6.f(x)=sin26.故f(x)的最小正周期为,解析式为f(x)=sin2幻灯片336.
(2)g(x)=f(x)-cos2x=sin2=sin2xcos6-cos2x6+cos2xsin6-cos2x=32sin2x-1=sin2-∵0x2cos2x6.62x-6,即x=0时,g(x)有最小值-12,-6=-656,当2x-2.幻灯片34规律方法求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时,通常要运用各种三角函数公式,通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y=Asin(x+),y=Acos(x+)(A,,是常数,且A0,0)的形式,再研究其各种性质.有关常用结论与技巧:
(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性,求y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(A,,是常数,且A0,0)的单调区间时一定要注意的取值情况,若0,则最好用诱导公式转化为-0后再去求解,否则极易出错.幻灯片35
(2)①函数y=Asin(x+),xR是奇函数=k(kZ);函数y=Asin(x+),xR是偶函数=k+2(kZ);②函数y=Acos(x+),xR是奇函数=k+2(kZ);函数y=Acos(x+),xR是偶函数=k(kZ);③函数y=Atan(x+),xR是奇函数=k(kZ).幻灯片36(3)对y=Asin(x+),y=Acos(x+)(A,,是常数,且A0,0)结合函数图象可观察出如下几点:
①函数图象的对称轴都经过函数的最值点,对称中心的横坐标都是函数的零点;②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期;③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期.幻灯片37拓展训练4已知函数f(x)=4sinxsin224+cos2x,其中0.
(1)当=1时,求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数f(x)在区间-2,23上是增函数,求的取值范围.幻灯片38解:
(1)由题可知:
f(x)=4sinx121-cos2+cos2x=2sinx+1.当=1时,f(x)=2sinx+1,则函数f(x)的最小正周期为2.
(2)由
(1)知:
f(x)=2sinx+1,欲使f(x)在-2,23上单调递增,结合y=2sinx+1的图象,则有-2,23-24,24,于是0,34.幻灯片39易错点:
弄错方向及变化量而致误要得到y=sin(-3x)的图象,需将y=22(cos3x-sin3x)的图象向平移个单位(写出其中的一种特例即可).幻灯片40错解:
右4或右2(cos3x-sin3x)=sin=sin-3-要由y=sin-3-对y=212正解:
y=24-3x12,12到y=sin(-3x)只需对x加上2(cos3x-sin3x)向左平移答案:
左1212即可,因而是12个单位.幻灯片41反思提高平移方向出错,由f(x)f(xa)(a0)是左加右减,即x+a是f(x)向左平移a个单位,x-a是f(x)向右平移a个单位.平移量出错,平移对象是x,而不是3x.我们所说的平移多少是对x说的,即对x说话.解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩.在平移时,如x有系数,则先写成(x+)的形式.幻灯片42幻灯片431.(2019广东广州模拟,8)已知函数f(x)=2sin2x,为了得到函数g(x)=sin2x+cos2x的图象,只要将y=f(x)的图象()A.向右平移4个单位长度C.向右平移8个单位长度B.向左平移4个单位长度D.向左平移8个单位长度D解析:
由题意知g(x)=sin2x+cos2x=2sin242sin28,将f(x)的图象向左平移8个单位长度即可得到g(x)的图象.幻灯片442.若函数y=Asin(x+)A0,0,||所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且A=()2在一个周期内的图象如图=0,则A.76B.712C.6D.73A幻灯片45解析:
由图象可知43124,T=.=2=2.又M12,A,N712,-A,=0,12712-A2=0.A=712.A=76.幻灯片463.设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)xR,0,||2的最小正周期为,且f(x)-f(-x)=0,则()A.f(x)在0,C.f(x)在-2上是增函数4,B.f(x)在0,D.f(x)在-2上是减函数4,4上是增函数4上是减函数B幻灯片47解析:
由f(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sin又最小正周期为,=24,=2.4.2,kZ,=k+f(x)=2sin2∵f(-x)=f(x),+由题意=4=k+4,kZ.4.f(x)=2sin2当02x,即0x当-2x0,即-22cos2x.2时,f(x)单调递减.2x0时,f(x)单调递增.幻灯片484.先将函数f(x)=2sin2-图象向右平移6的周期变为原来的2倍,再将所得函数的6个单位,则所得函数图象的解析式为()B.f(x)=2sin-D.f(x)=2sin4-5A.f(x)=2sinx3C.f(x)=2sin4x6B解析:
将y=2sin2-y=2sin-解析式为y=2sin-6的周期变为原来的2倍,则函数变为6,再将所得函数图象向右平移6-6个单位,所得函数图象的6=2sin-3.幻灯片495.函数f(x)=sinx+3cosx(xR),又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值等于2,则正数的值为.1解析:
f(x)=sinx+3cosx=2sin由f()=-2,f()=0,且|-|的最小值等于3,2可知,42,T=2,所以=1.幻灯片506.(原创题)已知函数f(x)=12(sinx+cosx)-12|sinx-cosx|,则f(x)的值域是.-1,22解析:
当sinxcosx时,f(x)=cosx,当sinxcosx时,f(x)=sinx.同时画出y=sinx与y=cosx在一个周期内的图象,函数f(x)的图象始终取y=sinx与y=cosx两者下方的图象,结合图象可得f(x)-1,22.幻灯片517.(2019广东,文16)已知函数f(x)=2cos-12,xR.
(1)求f3的值;
(2)若cos=35,32,2,求f-6.幻灯片52解:
(1)f32cos3-122cos4=1.
(2)∵cos=35,32,2,sin=-1-cos2=-45,f-62cos-4=2coscos4sinsin4=-15.幻灯片538.已知函数f(x)=3cos2x+sinxcosx-32,xR.
(1)设角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边过点P12,-32,求f()的值;
(2)试讨论函数f(x)的基本性质(直接写出结论).幻灯片54解:
(1)因为点P1所以sin=-32,-32在角的终边上,2,cos=1f()=3cos2+sincos-3=31=-32.幻灯片552.23222-3212
(2)f(x)=3cos2x+sinxcosx-31cos22=12=32sin2x+312sin2x-322cos2x=sin23.幻灯片56函数f(x)的基本性质如下:
①奇偶性:
函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;②单调性:
函数f(x)的单调递增区间为-512,k12(kZ),单调递减区间为12,k712(kZ);③最值:
函数f(x)的最大值为1,最小值为-1;④周期性:
函数f(x)的最小正周期为.幻灯片57本课结束谢谢观看
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