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高等代数知识在初等数学中的应用毕业论文
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本科生毕业论文
高等代数知识在初等数学中的应用
2.2思想方法方面的区别与联系2
第三章多项式理论在初等数学中的应用5
3.1去重因式分解多项式5
3.2利用因数定理分解多项式5
3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式6
3.4多项式的一些应用6
第四章行列式在初等数学中的应用8
4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性8
4.2应用行列式分解因式9
4.3应用行列式解决数列问题9
第五章线性方程组在初等数学中的应用12
5.1在平面解析几何上的应用12
5.2在空间解析几何中的应用13
5.3在求解二元方程组上的应用14
第六章柯西不等式在初等数学中的应用15
6.1柯西不等式在解析几何中的应用15
6.2柯西不等式在解其它题方面的应用15
第七章结论18
参考文献19
致谢20
摘要
关键词:
高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用
Abstract
Higheralgebraisanimportantbranchofmodernmathematics,whichisonthebasisoftheelementaryalgebraresearchobjectforfurtherexpansion.Advancedalgebraistheevolutionofelementarymathematics.Advancedalgebraisnotonlythecontinuationofelementarymathematics,alsoisthefoundationofmodernmathematics,onlygoodtomasterthebasicknowledgeofadvancedalgebracanadaptthemathematicaldevelopmentandteachingmaterialsreform.Advancedalgebraintheopenfieldofvisionofknowledge,especiallytheroleofguidingmiddleschoolproblemsolving,etc.Inmanyproblems,ifwecanusetheadvancedalgebraknowledgetosolvesomeproblemsintheelementarymathematics,convertingthepropositiontogeneralproblemsaresolved,canoftengettwicetheresultwithfindeverythingnewandfresh.
Higheralgebraandelementarymathematicswereintroducedontheonetheothertheapplicationofelementarymathematics.Suchaspolynomial,determinant,systemoflinearequations,cauchyinequalityinelementarymathematics,theapplicationofadvancedalgebratoestablishmathematicsisnotasimpleproblemsolution,butamasteryofknowledgeandthedevelopmentofstudents'divergentandassociativethinking.Inviewofthenewcenturyofseetheinnerstructureandtheessenceofthemiddleschoolteachingmaterialfromafromtheperspectiveofcognition,intheknowledgeofeachpartsearchesviewof
第一章绪论
人类的文明进步和社会发展,无时无刻不受到数学的恩惠和影响,数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位,当今时代,数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,它和其他学科的交互作用空前活跃,越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献,也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙.
第二章高等代数知识与初等数学的联系
2.1知识方面的区别与联系
初等数学讲多项式的运算法则而高等代数在拓宽多项式的含义,严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上,接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论.
初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元次方程根的定义,复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数,实系数一次方程根的特点,有理系数一元次方程有理根的性质及求法,一元次方程根的近似解法及公式解简介.
初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子.初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子.初等数学中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.
2.2思想方法方面的区别与联系
第三章多项式理论在初等数学中的应用
3.1去重因式分解多项式
引理3.1【2】若一个多项式有重因式,比如
则可求与的最大公因式.
分析:
我们利用以上的引理,令
,其中是最大公因式,则分解可转化为分解,一方面与有相同的不可约因式,另一方面一般情况下次数低于的次数。
当然就降低了分解的难度.
例3.1.1求多项式
在有理数域上的标准分解式.
解 :
得
.
所以的不可约因式为.
但是由重因式定理,是 的4重因式,
所以.
3.2利用因数定理分解多项式
引理3.2【3】是的因式的充分必要条件是=0亦即是的因式,c是的根,并且c是的几重根,就是的几重因式.
这样只要求出的若干个根,就可得到的若干个因式,用除以这若干个因式的积,得到商式,分解就转化为分解商式,达到“降次”分解的目的.
分析:
引入新变量代替多项式中某些变量,使原多项式变为新变量的多项式,这种方法叫做换元法.通过换元,使关于新变量的多项式次数较原多项式次数小,达到降次分解的目的.
例3.2.1 求
在有理数域上的标准分解式.
解 的首项系数1的因子有,常数项的因子有
故的根有可能是将其代入逐一检验,得出和是的有理根.不妨设
,利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项,得
与进行逐项比较,得.
所以,
.
换元法是一种重要的数学思想方法,通过换元可以使隐蔽的数量关系明朗化,从而达到化难为易、化繁为简.在因式分解中,尤其对倒数多项式更为有效.
3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式
对称多项式都是轮换多项式,所以只讨论轮换多项式的分解即可.分解轮换多项式就是选定一个元为主元,将其它元看成常数,原多项式就被看成是关于主元的多项式.利用因式定理知,求出一个根即可得到一个因式,利用轮换多项式的性质,求出一个元为文字的多项式的根,即可得关于其它元作为主元的根,从而得到几个相应的因式,达到降次分解的目的.
3.4多项式的一些应用
例2.4.1多项式
当时,求此多项式的值.
解将条件等式变形为,由1|f(x),所以|.由多项式的除法,得
在将代入上式,
可得.
例2.4.2已知为整数,且满足与均为整数,
求证.
证明:
设.
于是
由已知条件知是首项系数为1的整系数多项式,是它的三个有理根,于是均为整数,又因为它们的乘积为1,所以,故.
第四章行列式在初等数学中的应用
4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性
实系数二元二次多项式
在复数域内是否可以分解因式,是初等代数学的一个重要问题.它不仅关系到因式分解,而且关系到:
方程
表示曲线的类型及解二元二次方程;能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性;
定理4.1【4】:
对于实系数二元二次多项式
在复数范围内可分解的充要条件是:
.
证明:
可以分解成两个一次因式的充要条件是二的二次三项式
的判别式是一个完全平方式,即
是完全平方式.而
=
=
上式是完全平方式的充要条件是它的判别等于O,即
展开整理,即:
即证毕.
例4.1.1n为何值时,方程
表示两条直线.
解:
要使方程
表示两条直线,只须使多项式
可分解为两个二元一次因式之积,故只须使;
即或
4.2应用行列式分解因式
例4.2.1分解因式:
解:
分析:
通过以上例子应用行列式分解因式,可先作出一个行列式使其值等于所给多项式,然后对行列式进行行变换或列变换,使之某一行或某一列元素完全相同,然后降阶展开从而达到因式分解之目的.
4.3应用行列式解决数列问题
定理4.3【4】设是等差数列中的任意三项,则.
(1)证设的公差为,则由等差数列通项公式知是直线上的点,从而由三点共线知
(1)成立.
定理3.3.2【4】若为等差数列的第项,则也是一个等差数列的第项的从要条件是.
(2)证设、的公差分别为,且及均为第项,则
.
反过来,如果是等差数列的第项,且.
即
故
.
因由定理1知是一个等差数列的第项.
例4.3.1在等差数列中,已知分别为,求证:
.
证由定理1有.
展开得
.
整理及得
.
例4.3.2在等差数列中,,
(1)求;
(2)第几项是62?
解
(1)由解得.
(2)由解得,即26项为64.
例4.3.2依次组成等差数列,求证也依次组成等差数列.
解设的公差为,则
由定理3知,也成等差数列.
从上述几个例子看出,直接用行列式解数列问题不但解法简捷、而且思路清晰、规律性强、易掌握,向学生介绍这种方法,即有助于他们解题能力的提高、又有助于数学知识综合运用.
第五章线性方程组在初等数学中的应用
5.1在平面解析几何上的应用
定理5.1【5】设平面上有两条直线与,则:
(1)相交:
即两条直线有一个公共点,线性方程组有唯一解,从而其系数行列式.
(2)平行:
即两条直线无公共点,上式无解,从而有而至少有一个不为0.
(3)重合:
即两条直线有无数公共点,上式有无穷多个解,从而
.
利用线性方程组理论判断平面上两条直线的位置关系:
相交、平行、重合.
例5.1.1求过两点的直线方程.
解:
方法一:
由公式求解.由两点式方程可知直线的方程为:
方法二:
由线性方程组理论求解.设直线方程为,则方程组
有非零解,即其系数行列式化简求解即有.
5.2在空间解析几何中的应用
定理5.2【5】设空间中有两条直线
其中
,分别是上的点,分别是的方向向量.
(1)异面:
即向量,.
(2)相交:
即方向向量与不共线,且向量.
.
(3)平行:
即向量与共线,且向量与,都不共线,
.
(4)重合:
即向量,,都共线,
.
同样,利用线性方程组理论也可以判断空间两条直线的位置关系:
异面、相交、平行、重合.
例5.2.2:
求过点与平面:
平行且与直线
相交的直线的方程.
解:
设直线的方向向量为,由直线的方程知的方向向
且过点.由与相交,因此,即
.
展开得又与平行,所以:
联立得方程组:
.
求解,令Z为自由未知量,取Z=1,求得X=0,Y=0,故所求直线的方程为:
.
5.3在求解二元方程组上的应用
齐次线性方程组理论的一个重要结论是:
齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.利用这一结论也可以求解二元方程组,求解时只需将其中一个变量作为常数即可.
例5.3.1:
求方程组的全部解.
解:
将看成是常数,则方程组可改写为:
则有.
求解得.
代入方程组求解,得到.
故原方程组的全部解为:
第六章柯西不等式在初等数学中的应用
6.1柯西不等式在解析几何中的应用
定理6.1【6】设(i=1,2……n),则
当且仅当时,不等式等号成立.
例6.1.1设抛物线的焦点为,经过点的直线交抛物线于两点,点在抛物线的准线上,且轴。
证明直线经过原点.
分析:
图5.2.1
如图所示,欲证直线经过原点,只须证三点共线即可。
因为是抛物线的焦点弦,可知两点纵坐标之积为,故可设,.
据题意不难得出,从而
,因此三点共线.
6.2柯西不等式在解其它题方面的应用
柯西不等式在整个不等式证明求解当中都起了很大的作用,它与我们的其它知识相结之后,就变得更加灵活,使解题增加了难度.
例6.2.1设是正实数数列,对所有的满足条件,证明对所有,有.
证明:
先证一个更一般的命题:
设和都是正数,
且 .(2.1)
若对所有, .(2.2)
则有. (2.3)
事实上,设,由(2.1)和(2.2)可得
改变求和次序得
.
由此可得 .
由柯西不等式,有.
所以
即.
令
.
则
.
例6.2.2试问:
当且仅当实数满足什么条件时,存在实数,使得成立,其中,为虚数单位,.证明你的结论.
分析:
将成立转换到实数范围内求解。
根据表达式的特点,结合柯西不等式寻找的范围.
解:
将转化到实数范围内,即
. (2.4)
若存在实数使(2-4)成立,则.
由柯西不等式可得 . (2.5)
如果,由(2.4)可得,从而与(2.5)
矛盾,于是得.(2.6)
反之,若(2.6)成立,有两种情况
①,则取,,显然(2.4)成立
②,则,则不全为0
不妨设,取,,有
.
易知(2.4)成立.
综上,所求的条件为.
第七章结论
参考文献
[2]杨荣友,蒋炜.高等代数理论在多项式分解中的应用[J].唐山师范学院学报.
[4]马德全.行列式在数列中的应用[J].科学数学,1984年05期.
[5]陈亮,张帆.线性方程组理论在初等数学教学中的应用[J].湖州职业技术学院学报,2007年第3期.
[6]王萼方,石生明.高等代数数[M].北京:
高等教育出版社,2003.
[9]王奇,任文龙,李慧.高等代数在初等数学中的一些应用[J].甘肃联合大学学报,2008年5月,第22卷.
[11]王高雄.常微分方程[M].北京:
高等教育出版社,2010.
致谢
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