高中数学平面解析几何知识点归纳.docx
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高中数学平面解析几何知识点归纳
高中数学平面解析几何知识点归纳
平面解析几何初步:
①直线与方程是解析几何的根底,是高考重点考察的内容,单独考察多以选择题、填空题消失;间接考察则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等学问综合为主,多为中、高难度试题,往往作为把关题消失在高考题目中。
直接考察主要考察直线的倾斜角、直线方程,两直线的位置关系,点到直线的距离,对称问题等,间接考察肯定会消失在高考试卷中,主要考察直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的集合性质的争论,难度中等或偏易,多以选择题、填空题的形式消失,其中(热点)为圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广,在解决空间问题中具有重要的作业,空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具,一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用,也不排解消失考察根底学问的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何学问点
平面解析几何,又称解析几何(英语:
Analyticgeometry)、坐标几何(英语:
Coordinategeometry)或卡氏几何(英语:
Cartesiangeometry),早先被叫作笛卡儿几何,是一种借助于解析式进展图形讨论的几何学分支。
解析几何通常使用二维的平面直角坐标系讨论直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线,使用三维的空间直角坐标系来讨论平面、球等各种一般空间曲面,同时讨论它们的方程,并定义一些图形的概念和参数。
平面解析几何根本理论
坐标
在解析几何当中,平面给出了坐标系,即每个点都有对应的一对实数坐标。
最常见的是笛卡儿坐标系,其中,每个点都有x-坐标对应水平位置,和y-坐标对应垂直位置。
这些常写为有序对(x,y)。
这种系统也可以被用在三维几何当中,空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。
坐标系也以(其它)形式消失。
在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系,其中每个点都以从原点动身的半径r和角度θ表示。
在三维空间中,最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。
曲线方程
在解析几何当中,任何方程都包含确定面的子集,即方程的解集。
例如,方程y=x在平面上对应的是全部x-坐标等于y-坐标的解集。
这些点汇合成为一条直线,y=x被称为这道方程的直线。
总而言之,线性方程中x和y定义线,一元二次方程定义圆锥曲线,更简单的方程则阐述更简单的形象。
通常,一个简洁的方程对应平面上的一条曲线。
但这不肯定如此:
方程x=x对应整个平面,方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。
在三维空间中,一个方程通常对应一个曲面,而曲线经常代表两个曲面的交集,或一条参数方程。
方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的全部圆。
距离和角度
在解析几何当中,距离、角度等几何概念是用公式来表达的。
这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。
例如,使用平面笛卡儿坐标系时,两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为
上述可被认为是一种勾股定理的形式。
类似地,直线与水平线所成的角可以定义为
其中m是线的斜率。
变化
变化可以使母方程变为新方程,但保持原有的特性。
交集
主题问题编辑解析几何中的重要问题:
向量空间
平面的定义
距离问题
点积求两个向量的角度
外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积)
平面解析几何初步综合检测
一、选择题(本大题共12小题,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)
1.直线3ax-y-1=0与直线(a-23)x+y+1=0垂直,则a的值是()
A.-1或13 B.1或13
C.-13或-1D.-13或1
解析:
选D.由3a(a-23)+(-1)1=0,得a=-13或a=1.
2.直线l1:
ax-y+b=0,l2:
bx-y+a=0(a0,b0,ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()
解析:
选C.直线l1:
ax-y+b=0,斜率为a,在y轴上的截距为b,
设k1=a,m1=b.直线l2:
bx-y+a=0,斜率为b,在y轴上的截距为a,
设k2=b,m2=a.
由A知:
由于l1∥l2,k1=k20,m10,即a=b0,b0,冲突.
由B知:
k1k2,m10,即ab,b0,冲突.
由C知:
k10,m20,即a0,可以成立.
由D知:
k10,m2m1,即a0,ab,冲突.
3.已知点A(-1,1)和圆C:
(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()
A.62-2B.8
C.46D.10
解析:
选B.点A关于x轴对称点A(-1,-1),A与圆心(5,7)的距离为5+12+7+12=10.所求最短路程为10-2=8.
4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()
A.相离B.相切
C.相交D.内含
解析:
选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距02-1=1,所以两圆内含.
5.已知圆C:
(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l:
x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时,a的值等于()
A.2B.2-1
C.2-2D.2+1
解析:
选B.圆心(a,2)到直线l:
x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2,依题意|a+1|22+2322=4,解得a=2-1.
6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是()
A.3x-2y-6=0
B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0
D.2x+3y+8=0
解析:
选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0,
设所求直线方程为2x+3y+c=0,
由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32,
c=8,或c=-6(舍去),
所求直线方程为2x+3y+8=0.
7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切,则切线方程为()
A.y-2=34(1-x)
B.y-2=34(x-1)
C.x=1或y-2=34(1-x)
D.x=1或y-2=34(x-1)
解析:
选B.数形结合答案简单错选D,但要留意直线的表达式是点斜式,说明直线的斜率存在,它与直线过点(1,2)要有所区分.
8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有()
A.0个B.1个
C.2个D.随a值变化而变化
解析:
选C.直线y=ax+1过定点(0,1),而该点肯定在圆内部.
9.过P(5,4)作圆C:
x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A、B,四边形PACB的面积是()
A.5B.10
C.15D.20
解析:
选B.∵圆C的圆心为(1,1),半径为5.
|PC|=5-12+4-12=5,
|PA|=|PB|=52-52=25,
S=122552=10.
10.若直线mx+2ny-4=0(m、nR,nm)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是()
A.(0,1)B.(0,-1)
C.(-,1)D.(-,-1)
解析:
选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+11,当m=1时等号成立,此时n=1,与“mn”冲突,所以mn1.
11.已知直线l:
y=x+m与曲线y=1-x2有两个公共点,则实数m的取值范围是()
A.(-2,2)B.(-1,1)
C.[1,2)D.(-2,2)
解析:
选C.曲线y=1-x2表示单位圆的上半局部,画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象,可观看出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时,直线l与曲线有两个交点.
当直线l过点(-1,0)时,m=1;
当直线l为圆的上切线时,m=2(注:
m=-2,直线l为下切线).
12.过点P(-2,4)作圆O:
(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:
ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为()
A.4B.2
C.85D.125
解析:
选A.∵点P在圆上,
切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.
直线l的方程为y-4=43(x+2),
即4x-3y+20=0.
又直线m与l平行,
直线m的方程为4x-3y=0.
故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-32=4.
二、填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上)
13.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.
解析:
易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,依据圆的几何性质,这条直线应当过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1),半径r=|OA|=2.
答案:
(x-1)2+(y-1)2=4
14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点,则|PA||PB|=________.
解析:
过P作圆的切线PC,切点为C,在Rt△POC中,易求|PC|=3,由切割线定理,|PA||PB|=|PC|2=3.
答案:
3
15.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac的值为________.
解析:
已知直线斜率k1=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.∵两直线垂直,(-2)(-a2)=-1,得a=-1.圆心到切线的距离为5,即|c|5=5,c=5,故ac=5.
答案:
5
16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是__________.
解析:
将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程,
得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d=|31+4-2+m|32+42=|m-5|51,
m0或m10.
答案:
(-,0)(10,+)
三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程.
解:
AC边上的高线2x-3y+1=0,
所以kAC=-32.
所以AC的方程为y-2=-32(x-1),
即3x+2y-7=0,
同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.
下面求直线BC的方程,
由3x+2y-7=0,x+y=0,得顶点C(7,-7),
由x-y+1=0,2x-3y+1=0,得顶点B(-2,-1).
所以kBC=-23,直线BC:
y+1=-23(x+2),
即2x+3y+7=0.
18.一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:
x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.
(1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;
(2)求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围.
解:
圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2,-2),过点A,C的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.
(2)A关于x轴的对称点为A(-3,-3),
设过点A的直线为y+3=k(x+3).
当该直线与圆C相切时,有|2k-2+3k-3|1+k2=1,解得k=43或k=34,
所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3),y+3=34(x+3).
令y=0,得x1=-34,x2=1,
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-34,1].
19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若
(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值;
(3)在
(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
解:
(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为
(x-1)2+(y-2)2=5-m,
∵此方程表示圆,
5-m0,即m5.
(2)x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0,
消去x得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0,
化简得5y2-16y+m+8=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1+y2=165, ①y1y2=m+85.②
由OMON得y1y2+x1x2=0
即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,
16-8(y1+y2)+5y1y2=0.
将①②两式代入上式得
16-8165+5m+85=0,
解之得m=85.
(3)由m=85,代入5y2-16y+m+8=0,
化简整理得25y2-80y+48=0,解得y1=125,y2=45.
x1=4-2y1=-45,x2=4-2y2=125.
M-45,125,N125,45,
MN的中点C的坐标为45,85.
又|MN|=125+452+45-1252=855,
所求圆的半径为455.
所求圆的方程为x-452+y-852=165.
20.已知圆O:
x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.
(1)求a、b间关系;
(2)求|PQ|的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
解:
(1)连接OQ、OP,则△OQP为直角三角形,
又|PQ|=|PA|,
所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2
=1+|PA|2,
所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,
故2a+b-3=0.
(2)由
(1)知,P在直线l:
2x+y-3=0上,
所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线l的距离,
所以|PQ|min=|22+1-3|22+12=255.
(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8,得|PQ|min=255.)
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0,所以r=322+12-1=355-1,
又l:
x-2y=0,
联立l:
2x+y-3=0得P0(65,35).
所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.
21.有一圆与直线l:
4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.
解:
法一:
由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0,又由于此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得=-1,所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
法二:
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|,CAl,得
3-a2+6-b2=r2,5-a2+2-b2=r2,b-6a-343=-1,解得a=5,b=92,r2=254.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.
法三:
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CAl,A(3,6),B(5,2)在圆上,得
32+62+3D+6E+F=0,52+22+5D+2E+F=0,-E2-6-D2-343=-1,解得D=-10,E=-9,F=39.
所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
法四:
设圆心为C,则CAl,又设AC与圆的另一交点为P,则CA的方程为y-6=-34(x-3),
即3x+4y-33=0.
又由于kAB=6-23-5=-2,
所以kBP=12,所以直线BP的方程为x-2y-1=0.
解方程组3x+4y-33=0,x-2y-1=0,得x=7,y=3.所以P(7,3).
所以圆心为AP的中点(5,92),半径为|AC|=52.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.
22.如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满意:
存在过点P的无穷多对相互垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求全部满意条件的点P的坐标.
解:
(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,由于圆C1被直线l截得的弦长为23,所以d=22-32=1.
由点到直线的距离公式得d=|1-k-3-4|1+k2,
从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-724,
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.
(2)设点P(a,b)满意条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k0,则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).由于圆C1和C2的半径相等,且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即
|1-k-3-a-b|1+k2=|5+1k4-a-b|1+1k2,
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,由于k的取值有无穷多个,所以
a+b-2=0,b-a+3=0,或a-b+8=0,a+b-5=0,
解得a=52,b=-12,或a=-32,b=132.
这样点P只可能是点P152,-12或点P2-32,132.
经检验点P1和P2满意题目条件.
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