高中数学选修2-1.2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时)2013.12.18.ppt
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2.4抛物线,2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时),高二数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程,1.抛物线的定义,F,M,l,N,知识回顾:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.,2.抛物线的标准方程,y2=2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),抛物线的标准方程,y2=-2px(p0),由抛物线y2=2px(p0),所以抛物线的范围为,如何研究抛物线y2=2px(p0)的几何性质?
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
即yR,探索新知:
1、范围:
即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.,则(-y)2=2px,若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px,,2、对称性:
定义:
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
y2=2px(p0)中,令y=0,则x=0.,即:
抛物线y2=2px(p0)的顶点(0,0).,注:
这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
3、顶点:
定义:
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率。
由定义知,抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.,4、离心率:
F,A,B,y2=2px,2p,定义:
过焦点而垂直于对称轴的弦AB,称为抛物线的通径.,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,5、通径:
2P越大,抛物线开口越大,定义:
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+p/2,焦半径公式:
F,6、焦半径:
归纳:
抛物线的几何性质,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),x0yR,x0yR,y0xR,y0xR,(0,0),x轴,y轴,1,因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(,),,解:
所以设方程为:
因此所求抛物线标准方程为:
例:
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(,),求它的标准方程.,当焦点在x(或y)轴上,开口方向不定时,设抛物线方程为y2=2mx(m0)(或x2=2my(m0),可避免讨论。
典例精析:
关于坐标轴对称,例2:
探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处。
已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
(40,30),解:
设抛物线的标准方程为:
y2=2px(p0),由条件可得A(40,30),代入方程得:
302=2p40,解之:
p=,故所求抛物线的标准方程为:
y2=x,焦点为(,0),例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长。
(即课本P69例4),例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长。
(即课本P69例4),例5:
图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水下降1米后,水面宽多少?
(课本P74第8题),o,A,思考题,2,B,A(2,2),x2=2y,B(1,y),y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,例6.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:
x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.,解:
由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.p/2=4,p=8.又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为y2=16x.,今日作业:
训练与测评P13:
1-9(第10题不做),
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- 高中数学 选修 1.2 4.2 抛物线 简单 几何 性质 课时 2013.12 18