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随机信号分析习题
0,X<0
随机信号分析习题一
1_e—X^O
1.设函数F(x)=」,,试证明F(X)是某个随机变量C的分布函数。
并求下列
概率:
PC.,1),P(1__2)。
2.设(X,Y)的联合密度函数为
e,X_0,y_0
0,other
求PdX<1,0:
:
Y"。
求:
(1)边沿密度fχ(x),fγ(y)
(2)条件概率密度fγ∣χ(y|x),fχ∣γ(χIy)
4.设离散型随机变量X的可能取值为J1,0,1,2^,取每个值的概率都为1/4,又设随机变量Y=g(X)=X3_X。
(1)求Y的可能取值
(2)确定Y的分布。
(3)求E[Y]。
5.设两个离散随机变量X,Y的联合概率密度为:
111
fχγ(x,y)(x-2)、(y-1)(x-3)、(y-1)(x-A)、(y-A)
333
试求:
(1)X与Y不相关时的所有A值。
(2)X与Y统计独立时所有A值。
6.二维随机变量(X,Y)满足:
X=CQS
Y=Sin:
'为在[0,2二]上均匀分布的随机变量,讨论X,Y的独立性与相关性。
7.已知随机变量X的概率密度为f(x),求Y=bX的概率密度f(y)。
8.两个随机变量Xi,X,已知其联合概率密度为f(X1,X2),求XiX2的概率密度?
9.设X是零均值,单位方差的高斯随机变量,y=g(χ)如图,求y=g(χ)的概率密度
fγ(y)
10.设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数
W=X2Y
i2
Z=X2
设X,Y是相互独立的高斯变量。
求随机变量W和Z的联合概率密度函数。
11.设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数
W=XY
Z=2(XY)
12.设随机变量X为均匀分布,其概率密度
fχ(x)= L0, a乞x乞b 其它 已知fχγ(x,y),求联合概率密度函数fWz(,,z)。 (1)求X的特征函数,XC■)O (2)由XC),求E[X]O 13.用特征函数方法求两个数学期望为0,方差为1,互相独立的高斯随机变量X1和X2之 和的概率密度。 14.证明若Xn依均方收敛,即Li.m_Xn=X,则Xn必依概率收敛于X。 15.设{Xn}和{Yn}(n=1,2,…)为两个二阶矩实随机变量序列,X和Y为两个二阶矩实随 机变量。 若l∙].mXn=X,l.i.mYn=Y,求证NmE{XmXn}=E{XY}。 n-? C 随机信号分析习题二 1.设正弦波随机过程为 X(t)=ACOSWOt 其中Wo为常数;A为均匀分布在[0,1]内的随机变量,即 fA(a)=! 1,°G1 0,others JI3兀兀 (1)试求t=o,,,一时,X(t)的一维概率密度; 4w04w0W0 π (2)试求t时,X(t)的一维概率密度。 2W0 2.若随机过程X(t)为 X(t)=At,—: : : t■■ 式中,A为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量,求E[X(t)]及RX(t1,t2)。 3.设随机振幅信号为 X(t)=Vsinw0t 其中W0为常数;V是标准正态随机变量。 求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 4.设随机相位信号 X(t)=acos(w°t) 式中a、w0皆为常数,••为均匀分布在[0,2二]上的随机变量。 求该随机信号的均值、方差、 相关函数和协方差函数。 5.设X(t)=Asin(wtR,t: : ,Y(t)=BSin(wt二),」: : : t: : 其中 A,B,W,'为实常数,^~U[0,2二],试求Rχγ(s,t)。 2 6.数学期望为mX(t)=5sint、相关函数为Rx(t1,t2)=3「恥斗)的随机信号X(t)输入 微分电路,该电路输出随机信号Y(t)=X(t)。 求Y(t)的均值和相关函数。 7.设随机信号X(t)=Ve3tcos2t,其中V是均值为5、方差为1的随机变量。 现设新的 t 随机信号Y(t)X(∙)d∙。 试求Y(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差。 8.利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程 「COS兀t,出现正面 X(t)二2t,出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1)求X(t)的一维分布函数Fχ(x,1∕2)和Fχ(x,1); (2)求X(t)的二维分布函数FX(Xl,X2;1/2,1)。 9.给定一个随机过程X(t)和任一实数X,定义另一个随机过程 Il,X(t)^x Y(t)=,v7 io,X("x 证明Y(t)的均值函数和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。 10.定义随机过程 1,第n次投掷均匀硬币出现正面X(t)= 卜1,第n次投掷均匀硬币出现反面 n=0,一1,_2,…,(n-1)S-A: : : nS,S为正常数,设’-U[0,S],且•与X(t)相互独立, 令Y(t)=X(t_),试求Rχ(s,t)与RY(s,t)。 n 11.考虑一维随机游动过程Yn,n=0,1,2/,其中Y0=O,YnXi,Xi为一取值-1 和1的随机变量,已知P(Xi=_1)=q,P(Xi=•1)=p,0岂p,q辽1,P7=1,且Xi, i=1,2/相互独立,试求: 1)P(Yn=m); 2)EYn和DYn。 12.考虑随机过程X(t),其样本函数是周期性锯齿波。 两个典型的样本函数如图所示。 每 个样本函数都具有相同的形状, 将t「0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T),假设T0是 一个均匀分布的随机变量 11τ,oET Pτ0(t)=]0 0,OtherS 为一个随机过程 晖exP PA(a)“b、、二 2b2 I 0, 求X(t)的一维概率密度PX(x) 其中To的定义和上题相同。 假设不同脉冲的幅度A之间统计独立,并均与T)统计独立,求 X(t)=ASin("t•0) 其中振幅A、角频率11和相位G'是相互独立的随机变量,并且已知: I2I,OEa兰AO PA(a)=AO O,others 1 250乞w<350 Pi(W)=100 0,OtherS 求X(t)的一维概率密度。 随机信号分析习题三 1 0_二_2: PGG)T2二 10,QtherS 求: Y(t),t-0}的方差函数和协方差函数。 1 ξX(t)dt 的数学期望和方差。 3.设随机过程 Z(t)=VX(t)Y(t) 且mχ=mγ=0,X(t)的相关函 其中平稳过程X(t)和Y(t)及随机变量V三者相互独立, 数为RX(J=2e"cos∙,Y(t)的相关函数为FYC)=9∙e"∙,又EV=2,DV=9。 求Z(t)的数学期望,方差和相关函数。 4.设平稳过程■■■■■t<-门,其相关函数为Rχ(),且RX(T)=RX(0),T0是 常数。 证明: (1)P(X(tTHX(t))=1 (2)RX(T)=Rχ(∙) fA(xj AQ0 0乞x^1 QtherS 讨论、X(t),-: : : : : t: : : V1的严平稳性。 6.设A是任意的随机变量,⑨是与A相互独立的,且在[0,2二]上服从均匀分布的随机变量,令X(t)=ASin(wt∙(j),-: : : : : t: : : •;: W.0是常数,证明[X(t),-t: : : •: : 是 严平稳过程。 7.设1X(t),-: : : : : t: : : •: : [是一个零均值的平稳过程,而且不恒等于一个随机变量,令 Y(t^X(t)X(O),-;: : t<: : 。 判断「丫⑴,-: : : : : t: : : •: J是否为平稳过程。 8.设Z(t)=YCoStXSint,_;: : t—: : ,其中X和Y是相互独立的随机变量,且 21 P(X=_1)=P(Y=_1),P(X=2)=P(Y=2)= 33 (1)求: Z(t),-: : : t: : : •: : /的均值函数和相关函数; ⑵证明之⑴,-: : 讥”: 丘[是宽平稳过程,但不是严平稳过程。 9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程X(t),其样本函数是周期性锯齿波。 两个典型的样 本函数如图所示。 每个样本函数都具有相同的形状,将t=0时刻以后出现的第一个零值时 刻记为T0,假设T)是一个均匀分布的随机变量 U∕T,0≤t≤τ PTO(t)]o,others 判断X(t)平稳性。 10.(上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程 X(t)=Asin「tO 其中振幅A、角频率门和相位4是相互独立的随机变量,并且已知 2a PA(a)=3AO COtherS 讨论过程Z(t)的遍历性。 13.设X(t)=Acoswt;: : 「: ■: : 其中W0是常数,A和G是相互独立的 随机变量,且门=U[0,2二],研究fχ(t),-: : : : : t”「;匚〔;的各态历经性。 14.随机过程X(t)=X,-;: : t■■■,其中X是具有一、二阶矩的随机变量,但不服从单点或两点分布P(X=a)=1,a0,讨论它的各态历经性。 随机信号分析习题四 1.已知平稳过程X(t)的相关函数如下,试求它的功率谱密度 -a (1)RX(^ecosw0,a0 f忖I 1-」计≤Tc ⑵RX(Z)=TQ Q忖ATQ 2.设X(t)为一个随机电报波过程,它的一个样本函数如图所示。 已知在任一时刻波形取 A和-A的概率相同,在时间间隔•内波形变号的次数n服从参数为■的泊松分布 P(n,) (')n ⑴求X(t)的自相关函数; ⑵求X(t)的功率谱密度函数。 X(t) k A 0 t0 t -A 3. SX(W)= w? +4 w410w29 已知平稳过程X(t)和Y(t)的功率谱密度为 4C2C W3w2 求X(t)和Y(t)的自相关函数和均方值。 4.若X(t)是平稳随机过程,如图所示证明过程Y(t)的功率谱密度为 S<(W)=2Sx(w)(1COSWT) X(t) Y(t) ►延时T 5.设S(W)是一个平稳过程的功率谱密度函数,证明d2S(w).fdw2不可能是平稳过程的功 率谱密度函数。 6.设随机过程X(t)=acos("t•0),其中a为常量,「∣和。 为相互独立的随机变量, 且0均匀分布于(0,2二),"的一维概率密度为偶函数,即fa(W)=fa(-w),求证X(t) 的功率谱密度为 2 SX㈣=-afa(W) 7.设X(t)和Y(t)是联合平稳的。 试证明 Re.SXY(WP-ReSX(W)? ImiSXY(W),--Im∖Sγχ(w)f 8.给定一个随机过程 X(t)=ACOS(W0t⑵ 式中,A和Wo为常数,0为均匀分布于(0,2二)的随机变量 (1)求X(t)的平均功率; (2)求X(t)的功率谱密度。 9.若平稳过程X(t)的功率谱密度为SX(W),又有 Y(t)=aX(t)cosw0t 式中,a为常数,求功率谱密度SY(W)。 mX和 试计算 10.设X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳过程,均值函数mχ和mγ都不为零,已知 my,以及X(t)和Y(t)的功率谱密度SX(W)和SY(W),令Z(t)=X(t)Y(I), SXY(W)和SXZ(W)。 ICOSX,X<πg(Xf, X≥π 其中 (1)求边缘分布PX(X)和Pv(y); (2)证明X和Y不相关,但不统计独立。 12.一个零均值高斯过程,其协方差为 C(t,s)=占 求在时刻t1=0,t2=1,t3=2抽样的三维概率密度。 13.设随机过程 X(t)=UcosWtVSinWt 其中W为常数,U和V是两个相互独立的高斯随机变量,已知 E(U)=E(V)=O E(U2)=E(V2)*2 求X(t)的一维概率密度函数。 14. R(.),求随机变量 设X(t)为平稳高斯过程,其均值为零,自相关函数为 1 YrjX(t)dt的概率密度函数pγ(y)。 1 15.设X(t)为一个零均值高斯过程,其功率谱密度Sχ(f)如图所示,若每秒对X(t)取2W 1 样一次,得到样本集合X(O),X(),…,求前N个样本的联合概率密度。 2W Sχ(f)j P 2W -W OWf 随机信号分析习题五 1.非周期平稳过程X(t)的自相关函数为 RX(^a2be* 式中,a和b是正实常数,系统的冲激响应为 h(t)=e'tU(t) 其中11为正实常数,求该系统输出过程的均值。 2.假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下 11 H(W),h(t)e 1+jwRCRC 输入为白噪声,其功率谱密度为GX(W)=N0,: 2,求 (1)滤波器输出功率谱密度; (2)滤波器输出自相关函数; (3)证明 Rγ(t37)=Rγ(t3一JRγ(t2-tj,t3t2∙tι RY(O) 3.设有冲激响应为h(t)的线性系统,系统输入X(t)为零均值、平稳过程,该过程的自相 关函数为 RX(^C) 问: h(t)具备什么条件,可使输入过程X(t)与输出过程Y(t)在时刻t=t1的随机变量 不相关。 4.设Xn是纯随机序列,且在1与-1间均匀分布,试利用下列滤波方程求出Wl,Zn与Yl 的自相关函数与功率谱密度。 Wl=Xn"n」 Zn=Xn2Xn」X2 1 YnYnJXn 2 5.线性系统H(j•)的输入为平稳过程x(t),其功率谱为SXC),设y(t)为输出。 (1)求误差过程e(t)=y(t)-x(t)的功率谱密度函数SeC); (2)考虑RC电路,设输入为一个二元波过程,求SeC)。 1≡≡∣ R C二二 X(t)Y(t) 6.一个平均电路如下图所示 (1)证明系统的冲激响应函数为 ⅛τ,o≤t≤τ h(t)='OOtherS (2)设输入过程X(t)的功率谱密度为SXC),求输出过程Y(t)的功率谱密度。 _JStX(咖丄Y(t)・ T舟寸V, 7.设输入为白噪声过程X(t),其自相关函数为RX(^S^()。 求 (1)系统的冲激响应函数; ⑵输出过程Y(t)的均方值。 4Ω1/3Ω 1≡≡∣~—— 1/8F1/6F X(t)Y(t) 8.证明均值为零、自相关函数为RXe)=: ;': (•)的白噪声X(t)通过一个理想积分器后输 出方程Y(t)=fX(u)du的均方值为∙σ2tO 9.在习题5所示的RC电路中,设输入过程X(t)的自相关函数为 RX(J-.2^,L0 求输出过程Y(t)的功率谱密度函数SYC),自相关函数FYC)和均方值O 10.假设某线性系统如图所示,试用频域分析方法求出: (1)系统的传输函数; (2)当输入是谱密度为So的白噪声时。 输出Z(t)的均方值。 (提示: 利用积分 : =Sin2ax 11.随机过程Y(t)满足微分方程 Y(t)3Y(t)2Y(t)=X(t) 其中对于任意t,X(t)都为白噪声,其自相关函数RX(J=K()。 证明Y(t)的自相 关函数RYe)满足方程 Ry()3Ry()2Ry()=0,0 其中,初始条件为RY(O)=K12,RY(O)=Oo ⑴求输出Y1(t)和丫2(。 的互谱密度Sfγ2C); (2)设X(t)是零均值的具有单位谱高的白噪声,若要使Y(t)和Y,(t)为不相关过程, Y(t) Y2(t) h1()和h2(.)应满足什么条件? 13.如下图所示系统中,若已知 h1(t)=e^tU(t),a0 并已知输入W(t)是均值为零,谱密度为No「2的高斯白噪声,求输出过程Y(t)的一维 概率密度pγ(y)。 随机信号分析习题六 1.分别求下列信号的希尔伯特变换 (1)s∣(t)=sin0t。 (2)s2(t)=COSot。 2.试求下列信号的解析信号及复数包络: (1)指数衰落正弦波 X(t)=AedcosLot-⑴] (2)调幅波 X(t)=(1Acost)cos0t,WM0 (3)线性调制波 b_一F X(t)=ACoS∙0tbt2 I02 3. 设低频信号a(t)的频谱为 (2)在范围t<: : 内, x(t)和X(t)是正交的,即 证明当•,“;: 2时,有 H[a(t)cos'0t]=a(t)si^Ot H[a(t)sin0t]__a(t)cos0t 4.试证: (1)偶函数的希尔伯特变换为奇函数; (2)奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5.试证: (1)H[ej°t]=「jej0t; 1 ⑵Hg)]: JIt 6.设5? (t)为x(t)的希尔伯特变换,证明: (1)x(t)和X∖t)在范围-: 「: : t<: : 内的功率相等,即 Iim1Tχ2(t)dt=∣im1丁X2(t)dt τ一"2Tjγt': 2Tjγ [im一衿.: x(t)X(t)dt=0。 7.证明下式成立,其中X(t)为平稳随机过程,X(t)为X(t)的解析信号: (1)Rx()=2[Rx()jRX(J]; (2)E[X(t)X(t)]=0 8. X(t)的希 X(t)的解析 一个线性系统输入为X(t)时,相应的输出为Y(t)。 证明若该系统的输入为 尔伯特变换刃⑴,则相应的输出丫⑴的希尔伯特变换为Y? (t)。 9.证明若加到系统H(j∙)=2UC')的输入为X(t),则相应的输出为对应于 信号,即 Z(t)=x(t)jX∖t) 10.设谱密度为丛的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器,此滤波器的增益为1, 2 中心频率为fc,带宽为2B。 试求滤波器输出端的窄带过程X(t)及其同相和正交分量 的自相关函数Rx()、Rc(.)∖Rs()。 11.设窄带过程X(t)的功率谱SXC)如图所示,试求: (1)X(t)的同相和正交分量的功率谱密度。 ⑵互谱密度SSCC)。 12.设如图所示系统的输入是谱密度为N2的零均值高斯白噪声X(t),0在(0,2二)上服从 2 均匀分布,且与X(t)统计独立。 其中两个滤波器的通带分别为(-B,B)和 (fo,fo2B),(-f°-2B,-fo)。 (1)求输出过程Y(t)的功率谱密度Sγ(f)。 (2)求Y(t)的方差。 cos(2Hfot+0) 13.零均值平稳窄带噪声Y(t)具有对称功率谱,其相关函数为FYC^AC)COS,求正 22 交和同相分量的相关函数RCC)、Rs()和方差二C、二s,并求互相关函数RSCC)> Rcs()。 14.对于零均值,方差为 2 二的窄带平稳咼斯过程 Z(t)=B(t)cos[pt(t)] =Ac(t)cospt-As(t)sinyt 求证: 包络在任意时刻所给出的随机变量Bt其数学期望值与方差分别为 15.试证: 均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程,其任意时刻的包络平方的数学期望为 2,方差为4。 随机信号分析习题七 1 Y(gw. X(t)一O X(t)O 1.设{X(t),-■}是均值为零的实正态平稳过程,相关函数为RXC), (1)证明Y(t)是平稳过程 (2)求相关系数rγ() 2.设{X(t),-t-: }是均值为零的实正态平稳过程,相关函数为Rχ(), Y(t)=∣X(t),求Y(t)的均值和自相关函数• 3.设{X(t),-t<: }是均值为零的实正态平稳过程,相关函数为RXc),功率谱密 度为SXC),Y(t)=X2(t), (1)求Y(t)的一维概率密度分布. (2)求Y(t)的二维概率密度分布• 2 (3)证明Y(t)=X(t)也是一个平稳过程. (4)求Y(t)的功率谱密度. 4.系统输入X(t)是均值为零的实正态平稳随机信号,通过系统输出Z(t)功率谱密度为 SZCJT•一2222O 1■2(∙2)(1∙2) x(t)片 ()2 Y(t). h(t)=e"tU(t) 试求X(t)、Y(t)各自的自相关函数 2 5.信号和噪声X(t)=S(t)N(t同时作用于平方律检波器y=f(x)=bx,信号 S(t)=acos(∙otτ,)其中a和「°为常数,二为[02二]均匀分布的随机变量,噪声 为零均值的高斯随机过程,相关函数为RN(),信号和噪声是不相关的,求输出信号的 均值、方差、自相关函数和功率谱. 6.设一非线性系统的传输特性为 y=: axa0 其输入X(t)为零均值的平稳高斯噪声,方差为CX,相关函数为Rx(),用多项式变换的矩函数法求输出的自相关函数(多项式展开只取前3项). 7.系统输入X(t)是均值为零,方差为1的高斯白噪声,用特征函数法求非线性系统输出端的自相关函数函数• 8.系统输入X(t)是均值为零,方差为1的高斯白噪声,通过一线性检波器 bxy=f(x)=* 0 用特征函数法求系统输出Y(t)的自相关函数 9.窄带正态随机过程X(t)=ACOSGt,通过平方律检波器 y=f(x)=bx2 求检波器输出端的均值和方差. 随机信号分析习题八 1.设有三个状态{0,1,2}的马氏链,其一步转移概率矩阵为 1 3 P=0 1 _2 求foo (1),foo (2),foo(3),foι (1),foι (2),foι(3)∙ 2.设有三个状态{1,2,3}的马氏链,其一步转移概率矩阵为 pq0 P-OPq0: : p: 1,pq=1
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