八年级上册数学期末复习几何常用模型.docx
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八年级上册数学期末复习几何常用模型
八年级几何模型整理
一.几种常见的三角形角度模型
1.“8”字模型
结论:
∠A+∠D=∠B+∠C。
模型分析:
8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到
【例1】如图①,线段AB\CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图①的图形称之为“8字形”。
如图②,在图①的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,试解答下列问题:
(1)在图①中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系______;
(2)应用
(1)的结果,猜想∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系并予以证明。
2.飞镖模型如图所示
角度结论:
∠D=∠A+∠B+∠C。
长度结论:
AB+AC>BD+CD
模型分析
飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到
1.如图,BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE、CF交于G,若∠BDC=140∘,∠BGC=110∘,则∠A=___.
2.如图∠A=70°,点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点,则∠OPC=______________.
【例2】
(1)如图①,在△ABC中,∠A=50°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB。
求∠BPC的度数;
(2)如图②,若BP、CP分别为△ABC的外角∠ABC、∠ECB的平分线,且∠A=50°,求∠BPC的度数;
(3)如图③,若CP平分∠ACE,BP是∠ABC的平分线,∠A=50°求∠P。
【方法归纳】涉及到三角形的内外角平分线的问题常常可借用如下三个基本图形和基本结论:
(1)如图①,若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点(即三角形两内角平分线相交所成的角),则∠P=90°+∠A;
(2)如图②,若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点(即三角形一内角平分线和一外角平分线相交所成的角),则∠P=∠A;
(3)如图③,若点P是∠CBF和∠BCE的平分线的交点(即三角形两外角平分线相交所成的角),则∠P=90°-∠A.
3.问题背景:
某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图a,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60,则BM=CN;
②如图b,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90,则BM=CN;
然后运用类比的思想提出了如下命题:
③如图c,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108,则BM=CN;
任务要求:
(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
ⅰ、如图d,在正n(n⩾3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?
(不要求证明)
ⅱ、如图e,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108时,试问结论BM=CN是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立。
请说明理由。
例1.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,
若∠BPC=40°,则∠CAP=。
2.如图,在凸六边形ABCDEF中,已知∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F,试证明:
该六边形必有两条对边是平行的.
3.如图所示,六边形ABCDEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,求证:
AF∥CD.
4.如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数。
二.角平分线模型
模型1角平分线上的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B。
结论:
PB=PA。
模型分析:
利用角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例
(1).如图,CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证:
点P在∠BAC的平分线上.
模型2截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB。
结论:
△OPB≌△OPA。
模型分析:
利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
(1)如图①所示,在△ABC中,AD是△ABC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由;
(2)如图②所示,AD是△ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由。
例1.如图,已知在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D。
求证:
AB=AC+CD。
2.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、AC上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证:
BQ+AQ=AB+BP
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形
如图,P是∠MO的平分线上一点,AP⊥OP于P点,延长AP于点B。
结论:
△AOB是等腰三角形。
模型分析:
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来
模型实例
如图,已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,
CE⊥BD,垂足为E。
求证:
BD=2CE。
模型4角平分线+平行线
如图,P是∠MO的平分线上一点,过点P作PQ∥ON,交OM于点Q。
结论:
△POQ是等腰三角形。
模型实例
如图①所示,在△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,写出线段EF与BE、CF有什么数量关系。
三.中点模型
模型1倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形
模型分析
如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:
△ADC≌△EDB(SAS)。
如图②,D是BC中点,延长FD至点E使DE=FD,易证:
△FDB≌△FDC(SAS)。
当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例
如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:
AB+AC>2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
(1).如图,AD是△ABC的中线,E是AC上的一点,BE交AD于F,已知AC=BF,∠DAC=35∘,∠EBC=40∘,则∠C=___.
(2).已知:
如图,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分
(方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H,连结CH)
(3).已知:
如图3,AD是△ABC的中线,∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上,QC=BC,求证:
AQ=2AD.
(4).如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长AC于点F,AF=EF。
求证:
AC=BE。
四.直三角形中点
例1.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:
PC=PD.
例2.D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
1.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或延长线)于E、F.
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证.
当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
五.截长补短
如图①,若证明线段AB、CD、EF之间存在
EF=AB+CD,可以考虑截长补短法。
截长法:
如图②,在EF上截取EG=AB,再证明
GF=CD即可。
补短法:
如图③,延长AB至H点,使BH=CD,
再证明AH=EF即可。
截长补短
(1).如图.四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°
求证:
AC=BC+DC.
(2).如图,∠ABC+∠BCD=180°,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD。
求证:
AB+CD=BC。
(3).如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上一点,连接AD,E为AD上一点,且满足AB=AE,连接BE,交AC于点F.
求证:
AD=AF+CD
(4).已知,AD为△ABC的高,点H为AC的垂直平分线与BC的交点,且HC=AB
①如图1,求证:
∠B=2∠C;
②如图2,若AF平分∠BAC,求证:
AC=AB+BF;
③在
(2)问的条件下,求证:
AC=FC+2DF.
六.三垂直全等模型
如图,∠D=∠BCA=∠E=90°,BC=AC。
结论:
Rt△BCD≌Rt△CAE。
模型分析
说到三垂直模型,不得不说一下弦图,弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位,很多用垂直倒角,勾股定理求边长,相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。
图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
模型实例
1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E。
(1)当直线MN绕点C旋转到如图①的位置时,求证:
DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到如图②的位置时,求证:
DE=AD—BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到如图③的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?
请你直接写出这个数量关系,不用证明。
2.如图,∠BCA=α,CA=CB,C,E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC=∠CFA=α,请提出对EF,BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明.
3.如图,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,则∠DFE= .
七.手拉手模型
模型分析
手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。
通常以两个等边三角形、两个等腰直角三角形或两个正方形等图像的形式出现
如图,直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形,连接AE、CD,二者交点为H。
求证:
(1)△ABE≌△DBC;
(2)AE=DC;
(3)∠DHA=60°;
(4)△AGB≌△DFB;
(5)△EGB≌△CFB;
(6)连接GF,GF∥AC;
(7)连接HB,HB平分∠AHC。
1、由正多边形的定义知等边三角形的三条边都相等,每个内角都等于60°。
如图①,△ABC、△CDE都等边三角形。
(1)试确定AE、BD之间的大小关系;
(2)若把△CDE绕C点按逆时针旋转到图②的位置时,上述结论仍成立吗?
请说明理由。
(2)如图.D是△ABC外一点.AB=AC=BD+CD,∠ABD=60°求∠ACD的度数.
(3)如图,ΔABC是正三角形,∠ADC=120°,求证:
BD=AD+CD.
(4)如图,点是等边内一点,.将绕点按顺时针方向旋转得,连接.
①求证:
是等边三角形;
②当时,试判断的形状,并说明理由;
③探究:
当为多少度时,是等腰三角形?
八.半角模型
如图,已知:
在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,若∠EAF=45°探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系并证明.
1.问题:
如图
(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图
(1)证明上述结论.
【类比引申】如图
(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD.
【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,∠EAF=75°且AE⊥AD,DF=40米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:
≈1.41,≈1.73)
构造等腰三角形的常用方法
⑴角平分线+平行线=等腰三角形⑵角平分线+垂线(或高)=等腰三角形
⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形
(1).等腰三角形一边上的高等于某边的一半,则它的顶角度数为 .
(2).请你用三种不同的分割方法,将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线,并标出必要的角的度数).
(3)定义:
如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”。
①请你在图1,图2中用两种不同的方法画出顶角为36∘的等腰三角形的“三阶等腰线”,并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种).
②如图3,△ABC中,∠B=36∘,AD和DE是△ABC的“三阶等腰线”,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x∘,试画出示意图,并求出x所有可能的值。
八.易错题
1.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()
A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
2..如图∠BAC是钝角,AB=AC,D,E分别在AB,AC上,且CD=BE.求证:
∠AEB=∠ADC.
3.如图,△ABC中,AB=AC,△ABD和△ACE分别是以AB、AC为斜边的等腰直角三角形,BE、CD相交于点F.求证:
AF⊥BC.
4.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M。
(1)求证:
△ADC≌△AEB,
(2)判断△EGM是什么三角形,并证明你的结论;(3)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。
5.已知:
平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,点B在第二象限,AO=AB,∠BOX=150∘.
(1)如图1,试判定△ABO的形状
(2)如图2,若BC⊥BO,BC=BO,点D为CO的中点,AC、DB交于E,求证:
AE=BE+CE
(3)如图3:
若点E为y轴的正半轴上一动点,以BE为边作等边△BEG,延长GA交x轴于点P,问:
AP与AO之间有何数量关系,试证明你的结论。
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