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第五章平抛运动
§5-1曲线运动&运动的合成与分解
一、曲线运动
1.定义:
物体运动轨迹是曲线的运动。
2.条件:
运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
3.特点:
①方向:
某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
②运动类型:
变速运动(速度方向不断变化)。
③F合≠0,一定有加速度a。
④F
合方向一定指向曲线凹侧。
⑤F
合可以分解成水平和竖直的两个力。
4.运动描述——蜡块运动
涉及的公式:
vy
v
v
22
vxv
y
θ
vx
P
蜡块的位置
tan
v
y
v
x
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动的关系:
等时性、独立性、等效性、矢量性。
2.互成角度的两个分运动的合运动的判断:
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
②速度方向不在同一直线上的两个分运动,一个是匀速直线运动,一个是匀变速直线运动,其合运动是
匀变速曲线运动,a
合为分运动的加速度。
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。
当两个分运动的初
速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时,合运动是匀变速直线运动,否则即为
曲线运动。
三、有关“曲线运动”的两大题型
(一)小船过河问题
模型一:
过河时间t最短:
模型二:
直接位移x最短:
模型三:
间接位移x最短:
v
v
v
船
vv
船
d
d
船
v
船d
A
θv
θθ
θv
水
水
v
水
dv
水
水>v
船时,L
x
d
tmin,
v
船
v
v
船
水
tan
d
min
cosv
x
船
sin
dv
,
t
cos
vsinv
船
L
(v-vcos)
水船
(二)绳杆问题(连带运动问题)
vsin
船
当v
水 d , t vsin 船 cos 当v s min , 船 水 1、实质: 合运动的识别与合运动的分解。 2、关键: ①物体的实际运动是合速度,分速度的方向要按实际运动效果确定;②沿绳(或杆)方向的分 速度大小相等。 1 模型四: 如图甲,绳子一头连着物体B,一头拉小船A,这时船的运动方向不沿绳子。 甲乙 处理方法: 如图乙,把小船的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和v2,v1就是拉绳的速度,vA 就是小船的实际速度。 §5-2平抛运动&类平抛运动 一、抛体运动 5.定义: 以一定的速度将物体抛出,在空气阻力可以忽略的情况下,物体只受重力的作用,它的运动即为 抛体运动。 6.条件: ①物体具有初速度;②运动过程中只受G。 二、平抛运动 3.定义: 如果物体运动的初速度是沿水平方向的,这个运动就叫做平抛运动。 4.条件: ①物体具有水平方向的加速度;②运动过程中只受G。 5.处理方法: 平抛运动可以看作两个分运动的合运动: 一个是水平方向的匀速直线运动,一个是竖直方向 α 的自由落体运动。 6.规律: 11gt 2222 (1)位移: xvt,ygt,s(vt)(gt),tan. 00v 222 0 (2)速度: vv x,vygt, 0 22 vv0(gt), tan gt v 0 (3)推论: ①从抛出点开始,任意时刻速度偏向角θ的正切值等于位移偏向角φ的 正切值的两倍。 证明如下: tan gt v 0 1 2 gt gt 2 tan. vt2v 00 tanθ=tanα=2tanφ。 ②从抛出点开始,任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移 2y 的中点,即. tan x 如果物体落在斜面上,则位移偏向角与斜面倾斜角相等。 7.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素 a、飞行时间: t 2h g ,t与物体下落高度h有关,与初速度v0无关。 b、水平射程: 2, h xvtv由v 0和h共同决定。 0g 0 222 c、落地速度: vvvvgh 0,v由v0和vy共同决定。 y2 0 三、平抛运动及类平抛运动常见问题“斜面问题: 2 处理方法: 1.沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动;2.沿斜 面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。 考点一: 物体从A运动到B的时间: 根据 x vt,y 0 1 2 2 gt t 2v 0 tan g 考点二: B点的速度vB及其与v0的夹角α: v 22 v0(gt)v 0 1 4 2 tan arctan(2 tan ) 考点三: A、B之间的距离s: §5-3圆周运动&向心力&生活中常见圆周运动 s x cos 2 0 2v tan gcos 一、匀速圆周运动 7.定义: 物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动,物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周 运动。 8.特点: ①轨迹是圆;②线速度、加速度均大小不变,方向不断改变,故属于加速度改变的变速曲线运动, 匀速圆周运动的角速度恒定;③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直 的合外力;④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现,匀速圆周运动具有周期性。 9.描述圆周运动的物理量: (1)线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量,是矢量;其方向沿轨迹切线,国际单位制中单位符 号是m/s,匀速圆周运动中,v的大小不变,方向却一直在变; (2)角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量,是矢量;国际单位符号是rad/s; (3)周期T是质点沿圆周运动一周所用时间,在国际单位制中单位符号是s; (4)频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数,在国际单位制中单位符号是Hz; (5)转速n是质点在单位时间内转过的圈数,单位符号为r/s,以及r/min. 10.各运动参量之间的转换关系: 2 vRR2nR T 11.三种常见的转动装置及其特点: 变形 v R 2 T 2n,T 2 v R. 模型一: 共轴传动模型二: 皮带传动模型三: 齿轮传动 A B A r O r1 A O r R B O R r2 B vR A A,,TT BAB vr B 二、向心加速度 r B vAv,, B R A T B T A R r Trn vv, A11 ABn Tr B22 B A 8.定义: 任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心,这个加速度叫向心加速度。 注: 并不是任何情况下,向心加速度的方向都是指向圆心。 当物体做变速圆周运动时,向心加速度的一 个分加速度指向圆心。 9.方向: 在匀速圆周运动中,始终指向圆心,始终与线速度的方向垂直。 向心加速度只改变线速度的方向 而非大小。 3 12. 意义: 描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。 2 2 v224.公式: 2 arvr(2n)r. n rT 10.两个函数图像: anan O O r v一定ω一定 r 三、向心力 1.定义: 做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力,叫做向心力。 2.方向: 总是指向圆心。 2 2 v22 2 3.公式: Fnmmrmvmrm(2n)r. 4.rT 5.几个注意点: ①向心力的方向总是指向圆心,它的方向时刻在变化,虽然它的大小不变,但是向心力也 是变力。 ②在受力分析时,只分析性质力,而不分析效果力,因此在受力分析是,不要加上向心力。 ③ 描述做匀速圆周运动的物体时,不能说该物体受向心力,而是说该物体受到什么力,这几个力的合力充 当或提供向心力。 四、变速圆周运动的处理方法 1.特点: 线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。 2 v 2.动力学方程: 合外力沿法线方向的分力提供向心力: mr 2 Fm n r 切线加速度: FT=mωaT。 离心运动: 。 合外力沿切线方向的分力产生 (1)当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F供=F 需=mω2r时,物体做圆周运动;当F 2r时,物体做圆周运动;当F 供 需=mω 2r时, 物体做离心运动。 (2)离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动,而是惯性的表现,是F供 不是沿半径方向向外远离圆心的运动。 五、圆周运动的典型类型 类型受力特点图示最高点的运动情况 用细绳拴 一小球在 竖直平面 内转动 绳对球只有拉 力 2 mv ①若F=0,则mg= ,v=gR R ②若F≠0,则v>gR 小球固定 ①若F=0,则mg= 2 mv ,v=gR R 在轻杆的 一端在竖 杆对球可以是 拉力也可以是 2 v ②若F向下,则mg+F=m,v>gR R 直平面内 转动 支持力 2 mv ③若F向上,则mg-F=或mg-F=0,则0≤ R v 4 小球在竖 直细管内 管对球的弹力 FN可以向上也 依据mg= 2 mv 0 判断,若v=v0,FN=0;若v R 转动可以向下 向上;若v>v0,FN向下 ①如果刚好能通过球壳的最高点A,则vA=0,FN 球壳外的 小球 在最高点时弹 力FN的方向向 上 =mg ②如果到达某点后离开球壳面,该点处小球受到 壳面的弹力FN=0,之后改做斜抛运动,若在最高 点离开则为平抛运动 六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析 (一)解题步骤: ①明确研究对象;②定圆心找半径;③对研究对象进行受力分析;④对外力进行正交分解; ⑤列方程: 将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后,另得数等于向心力; ⑥解方程并对结果进行必要的讨论。 (二)典型模型: I、圆周运动中的动力学问题 谈一谈: 圆周运动问题属于一般的动力学问题,无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况,或者由物 体的运动情况求解物体的受力情况。 解题思路就是,以加速度为纽带,运用那个牛顿第二定律和运动学公 式列方程,求解并讨论。 模型一: 火车转弯问题: FN a、涉及公式: h F合mgtanmgsinmg① L F 合 2 v 0 合②,由①②得: Fm R Rgh v0。 L L b、分析: 设转弯时火车的行驶速度为v,则: h (1)若v>v0,外轨道对火车轮缘有挤压作用; mg 模型二: 汽车过拱桥问题: (2)若v a、涉及公式: mgFN 2 v m R 2 v 所以当mg FN, mgm R 此时汽车处于失重状态,而且v越大越明显,因此汽车过拱桥时不 宜告诉行驶。 2 v b、分析: 当FNmgmvgR R : (1)vgR,汽车对桥面的压力为0,汽车出于完全失重状态; (2)0vgR,汽车对桥面的压力为0Fmg。 N (3)vgR,汽车将脱离桥面,出现飞车现象。 c、注意: 同样,当汽车过凹形桥底端时满足 FNmg 2 v m R ,汽车对 5 桥面的压力将大于汽车重力,汽车处于超重状态,若车速过大,容 易出现爆胎现象,即也不宜高速行驶。 II、圆周运动的临界问题 A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题 谈一谈: 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题, 中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况,并且经常出现有关最高点的临界问题。 模型三: 轻绳约束、单轨约束条件下,小球过圆周最高点: (注意: 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.) (1)临界条件: 小球到达最高点时,绳子的拉力或单轨 的弹力刚好等于0,小球的重力提供向心力。 即: v 绳 v 2 v 临界v mgmgR。 临界 R O (2)小球能过最高点的条件: vgR.当vgR时,绳 R v 对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。 (3)小球不能过最高点的条件: vgR(实际上球还 没到最高点时就脱离了轨道)。 模型四: 轻杆约束、双轨约束条件下,小球过圆周最高点: (1)临界条件: 由于轻杆和双轨的支撑作用,小球恰能到达最 vv 高点的临街速度v0. 临界 杆 (2)如图甲所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况: ①当v=0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,其大小等于小 球的重力,即FN=mg; ②当0vgR时,轻杆对小球的支持力的方向竖直向上,大小 甲 乙 随小球速度的增大而减小,其取值范围是0FNmg; ③当vgR时,FN=0; ④当vgR时,轻杆对小球有指向圆心的拉力,其大小随速度的增大而增大。 (3)如图乙所示的小球过最高点时,光滑双轨对小球的弹力情况: ①当v=0时,轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN,其大小等于小球的重力,即FN=mg; ②当0vgR时,轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力FN,大小随小球速度的增 大而减小,其取值范围是0FNmg; ③当vgR时,FN=0; ④当vgR时,轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力,其大小随速度的增大而 增大。 模型五: 小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动: 两种情况: (1)若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑,物体在最高点的速度v 6的限制条件是vgR. (2)若vgR,物体将从最高电起,脱离圆轨道做平抛运动。 B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题 谈一谈: 在水平面内做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有远离或向着圆心运动(半径变化)的 趋势。 这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何(特别是一 些接触力,如静摩擦力、绳的拉力等)。 模型六: 转盘问题 处理方法: 先对A进行受力分析,如图所示,注意在分析时不能忽略摩擦力,当N 然,如果说明盘面为光滑平面,摩擦力就可以忽略了。 受力分析完成后,可以发 A现支持力N与mg相互抵销,则只有f充当该物体的向心力,则有 O f mg Fm 2 v R m 2 R 2 22 m)Rm(2n)Rfmg (,接着可以求的所需的圆周 T 运动参数等。 等效为 等效处理: O可以看作一只手或一个固定转动点,B绕着O经长为R的轻绳或轻 杆的牵引做着圆周运动。 还是先对B进行受力分析,发现,上图的f在此图中可 等效为绳或杆对小球的拉力,则将f改为F拉即可,根据题意求出F 拉,带入公式O R B Fm 2 v R m 2 R 2 22 m()Rm(2n)RF,即可求的所需参量。 拉 T 第六章万有引力与航天 §6-1开普勒定律 一、两种对立学说(了解) 13.地心说: (1)代表人物: 托勒密; (2)主要观点: 地球是静止不动的,地球是宇宙的中心。 14.日心说: (1)代表人物: 哥白尼; (2)主要观点: 太阳静止不动,地球和其他行星都绕太阳运动。 二、开普勒定律 11.开普勒第一定律(轨道定律): 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点 上。 12.开普勒第二定律(面积定律): 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。 13.开普勒第三定律(周期定律): 所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同, 3 a 即k,k 2 T 值是由中心天体决定的。 通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆,则半长轴a 即为圆的半径。 我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。 §6-2万有引力定律 一、万有引力定律 6.月—地检验: ①检验人: 牛顿;②结果: 地面物体所受地球的引力,与月球所受地球的引力都是同一种 力。 7.内容: 自然界的任何物体都相互吸引,引力方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量m1和m2乘积 成正比,跟它们之间的距离的平方成反比。 8.表达式: mm 12G11Nmkg引力常量 22 FG,6.6710/(). 2 r 9.使用条件: 适用于相距很远,可以看做质点的两物体间的相互作用,质量分布均匀的球体也可用此公式 计算,其中r指球心间的距离。 10.四大性质: ①普遍性: 任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。 ②相互性: 两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力,满足牛顿第三定律。 7 ③宏观性: 一般万有引力很小,只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,其存在才有意义。 ④特殊性: 两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离,而与它们所处环境以及周围 是否有其他物体无关。 15.对G的理解: ①G是引力常量,由卡文迪许通过扭秤装置测出,单位是 Nm。 2/kg 2/kg 2 ②G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力大小。 ③G的测定证实了万有引力的存在,从而使万有引力能够进行定量计算,同时标志着力学 实验精密程度的提高,开创了测量弱相互作用力的新时代。 16.万有引力与重力的关系: GMm (1)“黄金代换”公式推导: 当GF时,就会有2 mg。 2GMgR R (2)注意: ①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力,但重力不是万有引力。 ②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。 ③重力的方向竖直向下,但并不一定指向地心,物体在赤道上重力最小,在两极时重力最大。 ④随着纬度的增加,物体的重力减小,物体在赤道上重力最小,在两极时重力最大。 ⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小,物体的重力随纬度的变化很小,因此在一般粗略的计算中, 可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力,即可得到“黄金代换”公式。 17.万有引力定律与天体运动: (1)运动性质: 通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。 (2)从力和运动的关系角度分析天体运动: 天体做匀速圆周运动运动,其速度方向时刻改变,其所需的向心力由万有引力 提供,即F需=F 万。 如图所示,由牛顿第二定律得: GMm ,从运动的角度分析向心加速度: Fma,F万 需2 L 2 2 v22 2 aLL(2f)L. n LT 2 2 GMmv22 2 (3)重要关系式: 2mLmLm(2f)L. m LLT 18.计算大考点: “填补法”计算均匀球体间的万有引力: 谈一谈: 万有引力定律适用于两质点间的引力作用,对于形状不规则的物体应给予填补,变成一个形状规 则、便于确定质点位置的物体,再用万有引力定律进行求解。 模型: 如右图所示,在一个半径为R,质量为M的均匀球体中,紧贴球的边缘 挖出一个半径为R/2的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上、 与球心相距d的质点m的引力是多大? 思路分析: 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的 引力之和,即可求解。 根据“思路分析”所述,引力F可视作F=F1+F2: 33 GMm4R4RM1 已知2,因半径为的小球质量为, FR/2M'M 4 d32328 3 R 3 8 22 M'mMmGMmMm7d8dR2R 所以, FGG,FFFGGMm 22212222 d RRRR 2 d8d8d8dd 2222 则挖去小球后的剩余部分对球外质点m的引力为 22 7d8dR2R GMm。 2 R 2 8dd 2 §6-3由“万有引力定律”引出的四大考点 一、解题思路——“金三角”关系: (1)万有引力与向心力的联系: 万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力,即 2 2 GMmv22 2 2 (2) mammrmrmn rrT r 是本章解题的主线索。 GMm (2)万有引力与重力的联系: 物体所受的重力近似等于它受到的万有引力,即mg,g 2为对应轨 r 道处的重力加速度,这是本章解题的副线索。 2 2 v2 2 (3)重力与向心力的联系: mgmmrmr,g rT 为对应轨道处的重力加速度,适用于已 知g的特殊情况。 二、天体质量的估算 模型一: 环绕型: 谈一谈: 对于有卫星的天体,可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动,中心天体对卫星的万有引力提供卫 星做匀速圆周运动的向心力,利用引力常量G和环形卫星的v、ω、T、r中任意两个量进行估算(只能估 计中心天体的质量,不能估算环绕卫星的质量)。 2 23 Mm24r ①已知r和T: GmrM. 2GT 2 rT 22 Mmvrv ②已知r和v: . GmM 2Grr 2 23 Mmv2vT ③已知T和v: GmmrM. 2GrrT2 模型二: 表面型: 谈一谈: 对于没有卫星的天体(或有卫星,但不知道卫星运行的相关物理量),可忽略天体自转的影响, 根据万有引力等于重力进行粗略估算。 9 G 2 MmgR mgM 2
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