中考复习15图形变换.docx
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中考复习15图形变换
中考复习15图形变换
一、平移变换
1.平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形变换称为平移.
注:
平移变换的两个要素:
移动的方向、距离.
2.平移变换的性质
(1)平移前后的图形全等.即:
平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小:
(2)对应线段平行(或共线)且相等;
(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.
二、轴对称变换
1.轴对称的概念:
把一个图形沿一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称.
2.轴对称图形:
把一个图形沿一条直线对折,对折的两部分能够完全重合,那么就称这个图形为轴对称图形,
3.轴对称的性质:
(1)关于某条直线对称的两个图形全等;
(2)对称点的连线段被对称轴垂直平分;
(3)对应线段所在的直线如果相交,则交点在对称轴上;
三、 旋转变换
1.在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度,这样的图形变换叫做旋转.这个定点O叫旋转中心,转动的角称为旋转角.
注:
旋转变换的三要素:
旋转中心,旋转方向,旋转角
2.旋转变换的性质:
(1)旋转前、后的图形全等
(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着:
旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
3.旋转对称图形:
如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360°)后能与自身重合,那么这种图形就叫做旋转对称图形.
4.中心对称:
把一个图形绕着某个定点旋转180°,如果它能和另一个图形重合,那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称.这个定点叫做对称中心,
5.中心对称的性质:
中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切性质,另外,还有自己特殊的性质.
(1)关于中心对称的两个图形全等;
(2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分(即:
对称中心是两个对称点连线的中点);
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线);
6.中心对称图形:
一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合,这种图形称为中心对称图形.这个定点叫做该图形的对称中心.
中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形(旋转角等于180°)
例.在矩形
中,如图,
,
,
将矩形折叠,使点
与点
重合,求折痕
的长.
四、三视图:
是指一个几何体的主视图、俯视图和左视图
1、下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图,这些相同的小正方形的个数是()
(A)4个.(B)5个.(C)6个.(D)7个.
2.一个几何体由一些大小相同的小
正方体组成,如图
是它的主视图和俯视图,那么组成该几何体所需小正
方体的个数最少为________
例1:
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1,交AC于点E,AC分别交A1C1、BC于D、F两点.
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA与FC1有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
(2)如图②,当
=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在
(2)的情况下,求ED的长.
例2:
Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30o、60o角的三角板,按如图
(一)所示拼在一起,CB与DE重合.
(1)求证:
四边形ABFC为平行四边形;
(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图
(二)中△
位置,直线
与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想.
(3)在
(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明).
例3:
在矩形ABCD中,AB=2,AD=
.
(1)在边CD上找一点E,使EB平分∠AEC,并加以说明;
(2)在
(1)题图基础上,若P为BC边上一点,且
BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线F.
①求证:
点B平分线段AF;
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时
针方向旋转而得到,若能,
加以证明,并求出旋转度数;若不能,请说明理由.
例4:
用剪刀将形如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个新图形.
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在两个虚框内.
图2
(2)如图2,若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程
的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
例5.已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF,如图
(1)放置,点B、D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G。
∠C=∠EFB=90º,∠E=∠ABC=30º,AB=DE=4。
(1)求证:
△EGB是等腰三角形;
(2)若纸片DEF不动,问△ABC绕
点F逆时针旋转最小_____度时,
四边形ACDE成为以ED为底的梯形
(如图
(2)),求此梯形的高。
例6:
在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:
第一步:
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);
第二步:
再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).
(图1)(图2)
请解答以下问题:
(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?
请证明你的结论.
(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合
(1)中结论的三角形纸片BMP?
(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线
为
,当
=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点)?
为什么?
(图3)
4.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:
(1)如图11
(1),△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连结DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,请求出其面积.
(2)如图11
(2),当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.
(3)如图11(3),△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连结AE,请你求出sinα的值.
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