18秋福师《实变函数》在线作业一-1辅导资料xWord下载.docx
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4、若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV.
5、若f有界且m(X)<
∞,则f可测。
6、增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
7、若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。
8、对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.
9、若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
10、若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
11、测度为零的集称为零测集.
12、存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'
(x)在[a,b]上积分值∫fdx<
f(b)-f(a).
13、有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
14、若f可测,则|f|可测,反之也成立.
15、f可积的必要条件:
f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
16、若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).
17、函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
18、有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞
19、当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->
+∞}f(x)=0.
20、若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
21、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:
几乎处处可微而且导函数可积。
22、三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
23、f在E上可积的充要条件是级数M[E(|f|>
=n)]之和收敛.
24、若f广义R可积且f不变号,则fL可积.
25、无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.
26、g的连续点是L点,但L点未必是连续点.
27、连续函数和单调函数都是有界变差函数.
28、绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
29、f为[a,b]上减函数,则f'
(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a).
30、设f:
R->
R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
31、R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
32、若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.
33、可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
34、函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
35、有限覆盖定理的内容是:
若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.
36、函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
37、f,g∈M(X),则fg∈M(X).
二、单选题共5题,10分
1、fn∈L(E),则fn->
0,a.e.是∫Efndx->
0()
A充分条件
B必要条件
C充要条件
D非充分非必要条件正确答案是:
D
2、开集减去闭集其差集是()
A闭集
B开集
C非开非闭集
D既开既闭集正确答案是:
3、下列关系式中不成立的是()Af(∪Ai)=∪f(Ai)
Bf∩(Ai)=f(∩Ai)
C(A∩B)0=A0∩B0
D(∪Ai)c=∩(Aic)正确答案是:
4、fn->
f,a.e.,则
Afn依测度收敛于f
Bfn几乎一致收敛于f
Cfn一致收敛于fD|fn|->
|f|,a.e.
5、设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A连续函数
B单调函数
C有界变差函数
D绝对连续函数正确答案是:
C
三、多选题共8题,16分
1、若f∈AC[a,b],则()Af∈C[a,b]
Bf∈BV[a,b]
Cf(x)=f(a)+∫ax f'
(t)dt
Df∈Lip[a,b]
ABC
2、若f∈BV[a,b],则()
Af为有界函数
BVax(f)为增函数
C对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
Df至多有可数个第一类间断点正确答案是:
ABCD
3、f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上
A有L积分值
B广义R可积
CL可积
D积分具有绝对连续性正确答案是:
AD
4、若f,g是有界变差函数,则()
Af+g有界变差函数
Bfg有界变差函数
Cf/g有界变差函数
Dmax(f,g)有界变差函数正确答案是:
ABD
5、f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A广义R可积
B不是广义R可积
D不是L可积
6、若0<
=g<
=f且f可积,则()
Ag可积
Bg可测Cg<
∞,a.e.
D当g可测时g必可积正确答案是:
CD
7、设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则Am(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B若E1包含于E2,mE1<
=mE2
C若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
8、若f(x)为Lebesgue可积函数,则()
Af可测
B|f|可积
Cf^2可积D|f|<
∞.a.e.
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