苏教版高中数学必修2--全册.doc
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高中数学苏教版必修二
目录
第一章立体几何初步 1
1·1空间几何体 2
1·1·1棱柱.棱锥.棱台 2
1·1·2圆柱.圆锥.圆台和球 5
1·1·3中心投影与平行投影 7
1·1·4直观图画法 11
1·2点.线.面之间的位置关系 15
1·2·1平面的基本性质 15
1·2·2空间两条直线的位置关系 18
1·2·3直线与平面的位置关系 20
1·2·4平面与平面的位置关系 32
1·3空间几何体的表面积和体积 43
1·3·1空间几何体的表面积 44
1·3·2空间几何体的体积 49
第二章平面几何初步分析 84
2·1直线与方程 84
2·1·1直线的斜率 84
2·1·2直线的方程 86
2·1·3两条直线的垂直与平行 89
2·1·4两条直线的交点 91
2·1·5平面上两点间的距离 93
2·1·6点到直线的距离 94
2·2圆与方程 101
2·2·1圆的方程 101
2·2·2直线与圆的位置关系 105
2·2·3圆与圆的位置关系 109
2·3空间直角坐标系 115
参考答案 144
第一章立体几何初步
单元目标
1.利用实物模型.计算机软件观察大量空间图形,认识柱.锥.台.球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;
2.能画出简单空间图形(长方体.球.圆柱.圆锥.棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如:
纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图;
3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式;
4.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”;理解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点.直线.平面以及它们之间的关系;掌握文字语言.图形语言与符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理.;
5.了解空间两条直线.平面与平面的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理,掌握等角定理,掌握两条异面直线所成角的定义及垂直;
6.以立体几何的定义.公理和定理为出发点,通过直观感知.操作确认.思辨论证,认识和理解空间中线面平行或垂直的判定,掌握直线与平面平行或垂直判定定理,掌握转化思想“线线平行Þ线面平行”;
7.通过直观感知.操作确认.思辨论证,认识和理解空间中线面.面面平行的性质,掌握直线和平面或是面面平行的性质定理,灵活运用线面.面面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”平行的转化;
8.掌握二面角和两个平面垂直的定义,理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系;
9.了解柱.锥.台.球的表面积和体积的计算公式;会求一些简单几何体的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积和体积的运用.
精讲精析
1·1空间几何体
要点精讲
1·1·1棱柱.棱锥.棱台
1.棱柱:
一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
棱柱主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
底面.侧面.侧棱.顶点.
(2)本质特征:
①有两个面相互平行;②其余各面的两面的公共边相互平行.
(3)结构特征:
①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面相互平行;③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
(4)分类:
棱柱的分类方法有两种:
①按底面多边形的边数可分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等;②按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱.斜棱柱.
2.棱锥:
一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
棱锥主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
底面.侧面.侧棱.顶点.
(2)结构特征:
①有一个面是多边形;②其余各面是有一个公共点的三角形.
(3)分类:
①棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种:
一种当侧棱与底面不垂直时,称为斜棱柱;另一种当侧棱与底面垂直时,称为直棱柱.直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱.②按底面多边形的边数分为三棱锥.四棱锥.五棱锥等.
棱锥主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
底面.侧面.轴.母线.
(2)结构特征:
①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面是全等的等腰三角形.
(3)表示方法:
用表示轴的字母表示.
3.棱台与多面体:
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面.侧棱.顶点.
棱台主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
上.下底面.侧面.侧棱.顶点.
(2)结构特征:
各侧棱延长后相交于一点,两底面是平行的相似多边形.
(3)分类:
棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的,故其分类和棱锥的分类方法一样.
多面体的结构特征
由平面多边形(包括它们内部的平面部分)围成的几何体称为多面体.其中,各个额多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.
把多面体的任一个平面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫做凸多面体.
一个多面体至少四个面.多面体按照它的面数分别叫做四面体.五面体.六面体等.
几种常凸多面体间的关系
几种特殊四棱柱的特殊性质
名称
特殊性质
平行六面体
底面和侧面都是平行四边行;四条对角线交于一点,且被该点平分
直平行六面体
侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对角线交于一点,且被该点平分
长方体
底面和侧面都是矩形;四条对角线相等,交于一点,且被该点平分
正方体
棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交于一点,且被该点平分
典型例题
例1用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,下列说法正确的是()
A一个几何体是棱锥,另一个几何体是棱台
B一个几何体是棱锥,另一个几何体不一定是棱台
C一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体是棱台
D一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体不一定是棱台
答案:
D
即时体验
1.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是()
A六棱锥B六棱台
C六棱柱D非棱柱.棱锥.棱台的一个几何体
2.有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是()
A棱柱B棱锥
C棱台D可能是棱台,也可能不是棱台,但一定不是棱柱或棱锥
3.构成多面体的面最少是()
A三个B四个C五个D六个
4.下列说法中,正确的是()
A棱柱的侧面可以是三角形
B由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C正方体的各条棱都相等
D棱柱的各条棱都相等
1·1·2圆柱.圆锥.圆台和球
1.圆柱:
以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
圆柱主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
底面.侧面.轴.母线.
(2)结构特征:
①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面是全等的矩形.
(3)表示方法:
用表示轴的字母表示.
棱柱与圆柱统称为柱体.
2.圆锥:
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
棱锥主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
底面.侧面.轴.母线.
(2)结构特征:
①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面是全等的等腰三角形.
(3)表示方法:
用表示轴的字母表示.
棱锥与圆锥统称为锥体.
3.圆台:
用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面.母线.轴.
圆台主要从下面几点把握:
(1)组成元素:
底面.侧面.轴.母线.
(2)结构特征:
①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面是全等的等腰梯形;③母线长都相等,且其母线延长后,都与轴的延长线相交与同一点.
(3)表示方法:
用表示轴的字母表示.
圆台和棱台统称为台体.
4.球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.
球主要从下面几点把握:
(1)结构特征:
由半圆绕直径旋转一周得到的几何体.
(2)表示方法:
用表示球心的字母表示.
圆柱.圆锥.圆台.球的示意图如下:
5.旋转体
平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体叫做旋转体
旋转体形成的两个要素是:
一是被旋转的平面图形,二是旋转轴
典型例题
例1下列说法中正确的是()
A.半圆可以分割成若干个扇形
B.面是八边形的棱柱共有8个面
C.直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台
D.截面是圆的几何体,不是圆柱,就是圆锥
答案:
A
例2用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是()
A.圆锥B.圆柱C.球体D.以上都可能
答案:
B
例3如图所示,长方体-.
(1)这个长方体是棱柱吗?
如果是,是几棱柱?
为什么?
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱
吗?
如果是,是几棱柱,并用符号表示.如果不是,说明理由.
(三题图)
解析:
(1)是棱柱,并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行,符合棱柱定义.
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱-,下方部分是四棱柱-.
即时体验
1.将直角三角形绕它的一边旋转一周,形成的几何体一定是()
A.圆锥B.圆柱C.圆台D.上均不正确
2.下列几何体的轴截面一定是圆面的是()
A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台
3.把直角三角形绕斜边旋转一周,所得的几何体是()
A.圆锥B.圆柱C.圆台D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体
4.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是________,另一个是________.
5.如右图将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由简单几何体是__________.
1·1·3中心投影与平行投影
1.投影是光线通过物体,向选定的面投射,并在该面上得到图形的方法.这里的光线称为投影线,被选定的面称为投影面.
2.常见的两种投影方式:
平行投影与中心投影
平行投影:
投影线互相平行的投影称为平行投影.
中心投影:
投影线交于一点的投影称为中心投影.
平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点.
平行投影的分类:
按投影方向是否正对着投影面,可以把平行投影分为正投影与斜投影.
3.点的平行投影:
已知图形,直线与平面相交,过上任何一点作直线平行于,交平面于,则叫做在平面内关于直线的平行投影.
4.图形的平行投影:
如果图形的所有点在平面内关于直线得到平行投影构成图形,则叫做图形在平面内关于直线的平行投影.平面叫做投射面,叫做投射线.
5.平行投影的性质:
当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有以下性质:
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线;
③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;
④与投射面平行的平面图形,它的图形与这个图形全等;
⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度之比.
2.空间几何体的三视图
将物体按正投影向投影面投影所得到的图形,称为视图.光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图,自上向下的称为俯视图,自左向右的称为侧视图.这三种视图即可刻画空间物体的集合结构,称为三视图.
1.空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形.
它具体包括:
(1)正视图:
物体前后方向投影所得到的投影图;
它能反映物体的高度和长度;
(2)侧视图:
物体左右方向投影所得到的投影图;
它能反映物体的高度和宽度;
(3)俯视图:
物体上下方向投影所得到的投影图;
它能反映物体的长度和宽度;
一个物体的三视图的排列规则是:
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样;侧视图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆,通常说:
“长对正,高平齐,宽相等”或“正侧一样高,正俯一样高,俯侧一样宽”.
2.柱.棱.台.球的三视图
(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是一个圆.
(2)圆锥的正视图和侧视图都是三角形,俯视图是圆和圆心.
(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.
(4)球的三视图都是圆.
3.组合体的三视图
应先分析组合体的组合形式,把组合体分解成基本的几何体,在按基本几何体画图,就可以画出组合体的三视图.
4.三视图的画法步骤:
(1)先确定主视图的位置,分析几何体的构造,画主视图;
(2)按“长对正”原则画俯视图;一般地,俯视图画在主视图的正下方;
(3)按“高平齐”原则画左视图;并注意左视图与俯视图“宽相等”;一般地,左视图画在主视图的正右方
注意:
①若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出;
②不可见轮廓线用虚线画出
典型例题
例1
(1)如图,在正四面体A-BCD中,E.F.G分别是三角形ADC.ABD.BCD的中心,则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是()
①②③④
(例1
(1)题图)
A.①③B.②③④C.③④D.②④
(2)(2000全国,16)如图9—15
(1),E.F分别为正方体的面ADD1A1.面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15
(2)的(要求:
把可能的图的序号都填上).
(例1
(2)题图)
解析:
(1)正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上,所以①②不正确,根据射影的性质E.F.G.三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示,在其它平面上的射影如“③”所示.答案:
C;
(2)答案:
②③;解析:
∵面BFD1E⊥面ADD1A1,所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③,同理,在面BCC1B1上的射影也是③.过E.F分别作DD1和CC1的垂线,可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②,同理在面ABB1A1,面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②.
点评:
考查知识立足课本,对空间想象能力.分析问题的能力.操作能力和思维的灵活性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方向.
例1.
(1)画出下列几何体的三视图
(例1
(1)题图)
(例1
(1)题图)
(2)
解析:
这二个几何体的三视图如下
(例1
(1)题图)
(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:
cm)
(例1
(2)题图)
点评:
画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向.一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图.画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线.物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律.
例3.画出下列物体的三视图
解:
即时体验
1.下列投影是中心投影的是()
A.三视图B.人的视觉C.斜二测画法D.人在中午太阳光下的投影
2.下列投影是平行投影的是()
A.俯视图B.路灯底下一个变长的身影
C.将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上 D.以一只白炽灯为光源的皮
3.如果一个几何体的正视图是矩形,则这个几何体不可能是()
A棱柱B棱台C圆柱D圆锥
4.一个含的圆柱.圆锥.圆台和球的简单组合体的三视图中,一定含有()
A.四边形B.三角形C.圆D.椭圆
5.如果一个几何体的视图之一是三角形,那么这个几何体可能有_________(写出两个几何体即可).
6.画出下列基本几何体的三视图
1·1·4直观图画法
1.中心投影画法中心投影画法也即透视,在透视中,水平线仍然保持水平,铅垂线仍然保持竖直,但是,斜的平行线则会相交,交点为消点,用透视法所得的图形为透视图.
2.概念:
用来表示空间图形平面图像,叫做空间图形的直观图.
把空间图形画在平面内,使得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
3.斜二测画法
斜二测画法为国家规定的画直观图的一种方法,它的规则为:
(1)建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,,建立直角坐标系;
(2)画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的,,使=450(或1350),它们确定的平面表示水平平面;
(3)画对应图形,在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度保持不变;在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度变为原来的一半;
(4)擦去辅助线,图画好后,要擦去轴.轴及为画图添加的辅助线(虚线).
4.正等测画法与斜二测画法的区别
正等测画法的依据仍是平行投影的性质,与斜二测画法的主要区别是:
正等测画法的投射线和人的视线平行,并且投射线与投射面垂直
典型例题
例1画棱长为2厘米的正方体的直观图.
画法:
第一步:
作水平放置的正方形直观图ABCD,使=,AB=2cm,AD=1cm.
第二步:
过A作z′轴,使=,分别过点B,C,D作z′轴的平行线,在z′轴及这组平行线上分别截取AA′=BB′=CC′=DD′=2cm.
第三步:
连结A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.
斜二测画法规则:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴.y轴.再过交点O截取z轴,使画直观图时,把它画成对应的x′轴.y′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°).它们确定的平面表示水平平面.
(2)已知图形中平行于x轴.y轴.z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴.y′轴,z′轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半
例2.画正五棱柱的直观图,使底面边长为3cm侧棱长为5cm.
解析:
先作底面正五边形的直观图,再沿平行于Z轴方向平移即可得.
作法:
(1)画轴:
画X′,Y′,Z′轴,使∠X′O′Y′=45°(或135°),∠X′O′Z′=90°.
(2)画底面:
按X′轴,Y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱:
过A.B.C.D.E各点分别作Z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE.′
(4)成图:
顺次连结A′,B′,C′,D′,F′,加以整理,去掉辅助线,改被遮挡的部分为虚线.
点评:
用此方法可以依次画出棱锥.棱柱.棱台等多面体的直观图.
点评:
该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系.特别底和高的对应关系.
例3.已知斜二测画法得得的直观图A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形.
(例2题图)
解析:
在直角坐标系xOy中,取OB=O/B/,OC=O/C/,OA=2O/A/,如图,连结ABC便得到原图.
(例2题图)
即时体验
1.如图,用斜二测画法作ABC水平放置的直观图形得A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,由图形可知在ABC中,下列四个结论中正确的是()
A.AB=BC=AC B.ADBCC.AC>AD>AB>BC D.AC>AD>AB=BC
(1题图)
2.如图,直观图所表示的平面图形是()
A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形
(2题图)
3.下列说法中正确的是()
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图可能是平行四边形
4.斜二测画法所得的直观图的多边形面积为,那么原图多边形面积是_____________.
5.如下图,如果把直角坐标系放在水平平面内,用斜二测画法,如何可以找到坐标为(的点P在直观图中的位置P/?
(5题图)
针对训练
一.选择题
1.下列说法错误的是()
A.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面的面积相等
B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
C.六角螺帽.三棱镜都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
【考点:
棱柱的基本性质】
2.一个几何体的某一方向的视图是圆,则它不可能是()
A.球体B.圆锥C.圆柱D.长方体
【考点:
三视图】
3.如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形,则下列结论正确的是()
A.内心的平行投影还是内心
B.重心的平行投影还是重心
C.垂心的平行投影还是垂心
D.外心的平行投影还是外心
【考点:
平行投影】
4.若一个几
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