高中数学反证法测试题含答案.docx
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高中数学反证法测试题含答案
高中数学反证法测试题(含答案)
一、选择题
1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()
A.有一个解
B.有两个解
C.至少有三个解
D.至少有两个解
[答案]C
[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.
2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A.a、b、c都是奇数
B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C.a、b、c都是偶数
D.a、b、c中至少有两个偶数
[答案]B
[解析]a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:
①全是奇数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,反设正确的是()
A.假设三内角都不大于60
B.假设三内角都大于60
C.假设三内角至多有一个大于60
D.假设三内角至多有两个大于60
[答案]B
[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”.故应选B.
4.用反证法证明命题:
“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a、b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个偶数
D.假设a,b,c至多有两个偶数
[答案]B
[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数.
5.命题“△ABC中,若B,则ab”的结论的否定应该是()
A.ab
B.ab
C.a=b
D.ab
[答案]B
[解析]“ab的”否定应为“=ab或ab”,即ab.故应选B.
6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
[答案]C
[解析]假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.
7.设a,b,c(-,0),则三数a+1b,c+1a,b+1c中()
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2
D.至少有一个不小于-2
[答案]C
[解析]a+1b+c+1a+b+1c
=a+1a+b+1b+c+1c
∵a,b,c(-,0),
a+1a=--a+-1a-2b+1b=--b+-1b-2c+1c=--c+-1c-2a+1b+c+1a+b+1c-6
三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2,故应选C.
8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则()
A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案]B
[解析]对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m
则有l∥m,与l、m异面矛盾;对于C,过点P与l、m都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥);对于D,过点P与l、m都异面的直线不唯一.
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:
“是乙或丙获奖”,乙说:
“甲、丙都未获奖”,丙说:
“我获奖了”,丁说:
“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是()A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
[答案]C
[解析]因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选C.10.已知x10,x11且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2⋯),试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1,或者对任意正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为()
A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1
B.存在正整数n,使xn=xn+1
C.存在正整数n,使xnxn+1且xnxn-1
D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)0
[答案]D
[解析]命题的结论是“对任意正整数n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选D.
二、填空题
11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是.
[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”.
12.用反证法证明命题“a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是
[答案]a,b都不能被5整除
[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”.
13.用反证法证明命题:
“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
1A+B+C=90+90+180,这与三角形内角和为180相矛盾,则A=B=90不成立;
2所以一个三角形中不能有两个直角;
3假设A,B,C中有两个角是直角,不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为.
[答案]③①②
[解析]由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下:
假设.设全体质数为p1、p2、⋯、pn,令p
=p1p2⋯pn+1.
显然,p不含因数p1、p2、⋯、pn.故p要么是质数,要么含有的质因数.这表明,除质数p1、p2、⋯、
pn之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个.
[答案]质数只有有限多个除p1、p2、⋯、pn之外[解析]由反证法的步骤可得.
三、解答题
15.已知:
a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证:
a0,b0,c0.
[证明]用反证法:
假设a,b,c不都是正数,由abc0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
不妨设a0,b0,c0,则由a+b+c0,可得c-(a+b),
又a+b0,c(a+b)-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)-(a+b)(a+b)+ab
即ab+bc+ca-a2-ab-b2
∵a20,ab0,b20,-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)0,即ab+bc+ca0,
这与已知ab+bc+ca0矛盾,所以假设不成立.因此a0,b0,c0成立.
16.已知a,b,c(0,1).求证:
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.
[证明]证法1:
假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数,1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2(1-a)b>14=12,
同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12.三式相加,得
(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32,
即32>32,矛盾.
所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.
证法2:
假设三个式子同时大于14,即(1-a)b14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a143①
因为01,所以0a(1-a)1-a+a22=14.
同理,0b(1-b)14,0c(1-c)14.
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c143.②因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.17.已知函数f(x)是(-,+)上的增函数,a,bR.
(1)若a+b0,求证:
f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);
(2)判断
(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
[解析]
(1)证明:
∵a+b0,a-b.
由已知f(x)的单调性得f(a)f(-b).
又a+bb-af(b)f(-a).
两式相加即得:
f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).
(2)逆命题:
f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)a+b0.下面用反证法证之.
假设a+b0,那么:
a+ba-bf(a)f(-b)a+bb-af(b)f(-a)
f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).
这与已知矛盾,故只有a+b0.逆命题得证.
18.(2019湖北理,20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证:
数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
[解析]假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为14,公比为23的等比数列,于是有btbr,则只可能有2bs=br+bt成立.21423s-1=1423r-1+1423t-1.
两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=22s-r3t-s,由于rt,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书,最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也?
”;《论语》中的“有酒食,先生馔”;《国策》中的“先生坐,何至于此?
”等等,均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者,有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意,倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称,并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载,首见于《礼记?
曲礼》,有“从于先生,不越礼而与人言”,其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”,与教师、老师之意基本一致。
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
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