第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长.docx
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第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长
第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长
高数第五章
第六章第二讲第二讲:
平面体积的计算及平面曲线的弧长重点:
特别图形的体积计算、平面曲线的弧长
难点:
对详细问题找出微分元素关键:
理解解决问题的思想方法
20XX-4-26
泰山医学院信息工程学院刘照军
高数第五章
第六章第二讲
第二节定积分在几何学上的应用*****(本讲特别重要!
必需把握!
!
本讲特别重要!
必需把握!
!
)本讲特别重要!
!
二、体积三、平面曲线的弧长
20XX-4-26
泰山医学院信息工程学院刘照军
高数第五章
第六章第二讲
二、体积1、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴旋转轴.一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.
圆柱20XX-4-26
圆锥泰山医学院信息工程学院刘照军
圆台3
高数第五章
第六章第二讲
一般地,一般地,假如旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少?
一周而成的立体,体积为多少?
x取积分变量为x,∈y在上任取小区间,
y=f(x)
o
xx+dx
x
取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,的体积为体积元素,dV=π2dx旋转体的体积为20XX-4-26
V=∫π2dxa泰山医学院信息工程学院刘照军4
b
高数第五章
第六章第二讲的直线、例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x
=h及
x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底轴围成一个直角三角形.的圆锥体,计算圆锥体的体积.半径为r、高为h的圆锥体,计算圆锥体的体积.y
P
解直线OP的方程为直线OP的方程为OP
ry=xh
ro
h
x
取积分变量为x,x∈在上任取小区间,20XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军5
高数第五章
第六章第二讲
以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为rdV=πxdxh圆锥体的体积2
V=∫
h
0
2rxdx=πrx=πhr.π3h230h
2
2
3h
20XX-4-26
泰山医学院信息工程学院刘照军
高数第五章
第六章第二讲
例7求星形线x+y=a(a>0)绕x轴旋转构成旋转体的体积.构成旋转体的体积.y
23
23
23
解
Qy=ax,2∴y=ax2323
23
23
23
3
x∈
a
o
ax
旋转体的体积
V=∫πaxaa2320XX-4-26
23
323dx=πa.1057
3
泰山医学院信息工程学院刘照军
高数第五章
第六章第二讲
类似地,类似地,假如旋转体是由连续曲线x=(y)、直线y=c、=d
及y轴所围成的曲边梯形绕yy轴旋转一周而成的立体,轴旋转一周而成的立体,体积为
V=
∫c
d
π2dy
20XX-4-26
泰山医学院信息工程学院刘照军
高数第五章
第六章第二讲例8求摆线x拱与y
=a(tsint),y=a(1cost)的一
=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋
转体的体积.转体的体积.
解
绕x轴旋转的旋转体体积
Vx=∫0
2πa
02
πy2(x)dx2
=π∫a(1cost)a(1cost)dt=πa20XX-4-26
2π
3
∫0
2π
(13cost+3cos2tcos3t)dt=5π2a3.泰山医学院信息工程学院刘照军9
高数第五章
第六章第二讲
绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC
y
2aCo
Bx=x2(y)x=x1(y)2πa
Ax
轴旋转构成旋转体的体积之差.分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy=∫πx2(y)dt∫πx12(y)dt2
2a
2a
0
0
=π∫a(tsint)asintdtπ∫a2(tsint)2asintdt2π22
π
π
0
=πa20XX-4-26
3
∫0
2π
(tsint)2sintdt=6π3a3.泰山医学院信息工程学院刘照军10
高数第五章
第六章第二讲
假如旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,周而成的立体,体积为补充
Vy=2π∫x|f(x)|dxa
b
利用这个公式,可知上例中利用这个公式,
Vy=2π∫
2πa
=2π∫a(tsint)a(1cost)d0
02π
x|f(x)|dx
=2πa20XX-4-26
3
∫0
2π
(tsint)(1cost)2dt=6π3a3.泰山医学院信息工程学院刘照军11
高数第五章
第六章第二讲2、平行截面面积为已知的立体的体积
假如一个立体不是旋转体,假如一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算.积分来计算.
A(x)表示过点
o
a
x
x+dx
b
x且垂直于x轴A的截面面积,的截面面积,(x)为x的已知连续函数dV=A(x)dx,立体体积20XX-4-26
x
V=
∫
b
a
A(x)dx.12
泰山医学院信息工程学院刘照军
高数第五章
第六章第二讲的圆柱体的底圆中心,例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底计算这平面截圆柱体所得立体的体积.面交成角α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解
取坐标系如图R
底圆方程为
x+y=R22
o2
α
y
xR
垂直于x轴的截面为直角三角形
x
12截面面积A(x)=(Rx2)tanα,21R2232立体体积V=∫R(Rx)tanαdx=3Rtanα.220XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军13
高数第五章
第六章第二讲
例10
的圆为底、求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直
径的线段为顶
、的正劈锥体的体积.径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
y解取坐标系如图底圆方程为
ox2+y2=R2,垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积立体体积
x
R
x
A(x)=hy=hR2x2R1222V=h∫RRxdx=πRh.2泰山医学院信息工程学院刘照军14
20XX-4-26
高数第五章
第六章第二讲
三、平面曲线弧长的概念是曲线弧上的两个设A、B是曲线弧上的两个y端点,端点,在弧上插入分点M2M1Mn1B=Mn
A=M0,M1,LMi,L,Mn1,Mn=Bo
A=M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线,并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长的极限存在,∑|Mi1Mi|的极限存在,则称此极限为曲i=1n
的弧长.线弧AB的弧长.20XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军15
高数第五章
第六章第二讲1、参数方程
x=(t)曲线弧为,y=ψ(t)
(α≤t≤β)
上具有连续导数.其中(t),ψ(t)在上具有连续导数.
′2(t)+ψ′2(t)](dt)2ds=(dx)+(dy)=[22
′2(t)+ψ′2(t)dt=弧长s=
∫
β
α
′2(t)+ψ′2(t)dt.泰山医学院信息工程学院刘照军16
20XX-4-26
高数第五章
第六章第二讲23
例11求星形线x
+y=a(a>0)的全长.的全长.x=acos3t(0≤t≤2π)3y=asint第一象限部分的弧长π20
23
23
解
星形线的参数方程为
依据对称性
s=4s1
=4∫
π20
′)2+(y′)2dt=4∫3asintcostdt(x
=6a.20XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军17
高数第五章
第六章第二讲例12证明正弦线y
=asinx(0≤x≤2π)的弧长等
x=cost(0≤t≤2π)的周长.的周长.于椭圆2y=1+asint证设正弦线的弧长等于s1
s1=∫
2π
0
1+y′dx=∫2
2π
0
1+acosxdx22
=2∫
π
0
1+acosxdx,22
设椭圆的周长为s220XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军18
高数第五章
第六章第二讲2π
s2=∫
0
(x′)+(y′)dt,22
依据椭圆的对称性知
s2=2∫=2∫
π
0π
(sint)
2
+(1+a)(cost)dt22
0
1+a2cos2tdt
=2∫
π
0
1+a2cos2xdx=s1,
故原结论成立.故原结论成立.20XX-4-2619
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高数第五章
第六章第二讲
2、直角坐标方程
设曲线弧为y=f(x)(a≤x≤b),其中f(x)在上有一阶连续导数
y
取积分变量为x,在上任取小区间,
}dy
oaxx+dxb
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长弧长元素20XX-4-26
(dx)2+(dy)2=1+y′2dx2
ds=1+y′dx
弧长s=
∫
b
a
1+y′2dx.20
泰山医学院信息工程学院
刘照军
高数第五章
第六章第二讲
23例13计算曲线y=x2上相应于x从a到b的一段弧的3长度.长度.
解
Qy′=x,12
∴ds=1+(x)2dx=1+xdx,ab
12
所求弧长为
s=∫a20XX-4-26
b
21+xdx=.33232
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高数第五章
第六章第二讲
例14
计算曲线y=
∫
xn
0
nsinθdθ的弧长(0≤x≤nπ).
解
x1xy′=nsin=sin,nnns=∫ab
x=nt=n∫π
1+y′2dx=∫
nπ
0
∫0
π
x1+sindxn2
1+sintndt2
0
sint+cost+2sintcostdt2222
sint+costdt=n∫=4n.022π20XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军22
高数第五章
第六章第二讲
极坐标方程曲线弧为r
=r(θ)(α≤θ≤β)
上具有连续导数.其中(θ)在上具有连续导数.
x=r(θ)cosθQy=r(θ)sinθ2
(α≤θ≤β)2
∴ds=(dx)+(dy)=r2(θ)+r′2(θ)dθ,弧长s=20XX-4-26
∫
β
α
r2(θ)+r′2(θ)dθ.泰山医学院信息工程学院刘照军23
高数第五章
第六章第二讲
θ的长.例15求极坐标系下曲线r=asin的长.3(0≤θ≤3π)π(a>0)3
解
θQr′=3asincos=asincos,333332
θ
2
θ1
θ
∴s=∫α=∫
β
r2(θ)+r′2(θ)dθθθa2sin+a2sin3364
3π
03π
cosθdθ32
=a∫20XX-4-26
0
sinθdθ=3πa.232泰山医学院信息工程学院刘照军24
高数第五章
第六章第二讲例16求阿基米德螺线r
=aθ(a>0)上相应于θ从
0到2π的弧长.的弧长.解
Qr′=a,
∴s=∫α=∫0
β
′2(θ)dθr(θ)+r2
r=aθ
2π
aθ+adθ=a∫0222
2π
θ+1dθ2
a=2π1+4π2+ln(2π+1+4π2).220XX-4-26泰山医学院信息工程学院刘照军25高数第五章
第六章第二讲例17计算摆线
x=a(θsinθ)y=a(1cosθ)
的长度.的一拱(0≤θ≤2π)的长度解弧长元素为ds=a2(1cosθ)2+a2sin2θdθ
=a2(1cosθ)dθ2从而,从而,所求弧长s=∫20XX-4-262π0
=2asin
θ
dθ
θ2asindθ=2a2cos=8a220泰山医学院信息工程学院刘照军
θ
2π
高数第五章
第六章第二讲三、小节微分元的概念、体积的求法、曲线的弧长
四、作业CT6-2
p2842123
25
30
20XX-4-26
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