第二十二章曲面积分.docx
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第二十二章曲面积分
第二十二章曲面积分
§1第一型曲面积分
教学目的掌握第一型曲面积分的定义和计算公式.
教学内容第一型曲面积分的定义和计算公式.
(1)
基本要求:
掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式.
(2)
较高要求:
掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式.
教学建议
(1)要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式.
(2)对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式.教学程序
背景:
求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时,利用求均匀密度的平面块的质量的方法,通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果•一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积分的定义.
一、第一型曲面积分的概念与性质
x,y,z为定义在S上的函数.对曲面S作分割T,
记作
第一型曲面积分的性质
、第一型曲面积分的计算
定理22.1设有光滑曲面S:
zzx,yx,yD,fx,y,z为定义在S上的连续函数,
则
fx,y,zdS
S=D
x,y,zx,y.1fx2f:
dxdy
dS
作业P2821;2;3;4.
§2第二型曲面积分
教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式.
教学内容曲面的侧;第二型曲面积分的定义和计算公式.
(1)基本要求:
掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式.
(2)较高要求:
掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式,掌握两类曲面积分的联系.
教学建议
(1)本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式,要强调一、二型曲面积分的区别,要讲清确定有向曲面侧的重要性.
(2)本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系,可对较好学生要求他们掌握.
教学程序
曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念
背景:
求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时,利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法,通过“分害IJ、近似、求和、取极限”的步骤,来得到结果•一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积分的定义.
一、第二型曲面积分的概念与性质
Sixy为负(i1,2,,n).在每个小曲面Si
定义设函数P,Q,R与定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧作分割T它把S分成n个小曲面沁2S(i12,n),分割T的细度阳maXS的直径,以Siyz,%,丸分别为S在三个坐标上的投影区域的面积,它们的符号由S的方向来确定.如S的法线正向与z轴正向成锐角时,Si在xy平面上的投影区域的面积Sixy为正,反之,如°的法线正向与
z轴正向成钝角时,Si在xy平面上的投影区域的面积
任取一点i,i,i,若极限
nnn
Tm0pi,i,iSiyzTm0qi,i,iSizx啊0ri,i,i氐
I0i1+〔TI0i1+1I0i1
存在且与分割T与点i,i,i的取法无关,则称此极限为函数P,Q,Rd曲面S所指定的一侧的第二型曲面积分,记为
Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy
S,
(1)
上述积分
(1)也可写作
Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy
S+S+S
第二型曲面积分的性质
n
CipidydzQidzdxRidxdy
PdydzQdzdxRdxdy
(2)若曲面S由两两无公共内点的曲面块Si,S2…Sn所组成,Si
Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy
(i1,2,,n)都存在,贝US也存在,且
Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy
S
n
PdydzQdzdxRdxdy
=i1Si.
二、第二型曲面积分的计算
定理22.2设R为定义在光滑曲面S:
zzx,yx,yDxy,上的连续函数,以S的上侧
为正侧(这时S的法线正向与z轴正向成锐角),则有
Rx,y,zdxdyRx,y,zx,ydxdy
S=Dxy.
(2)
证明由第二型曲面积分的定义
这里dmaxSxy,因EmaxSi的直径
0,立刻可推得dmaxSixy0,由相关函数
的连续性及二重积分的定义有
xy
Rx,y,zx,ydxdy
Rx,y,zdxdyRx,y,zx,y
=Dxy
dxdy
而s的法线方向与x轴的正向成锐角的那一侧为正侧,则有
Px,y,zdydzPxy’z’y’zdydz
S=Dxy
q为定义在光滑曲面s:
yyz,x
乙XDzx上的连续函数时,而s的法
线方向与y轴的正向成锐角的那一侧为正侧,则有
Qx,y,zdzdxQx,y,zx,ydzdx
S=dzx
注:
按第二型曲面积分的定义可以知道,如果S的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的
那一侧为正侧,则相应的公式右端要加“-”号
xyzdxdy2
计算S,其中s是球面xy
1在x0,y0部分并取球面外侧.
曲面在第一,五卦限间分的方程分别为
2xy,1
x2
2
2
ydxdy2d
=0
1
r3cossin.1r2dr
2
15
例2计算积分⑺(xy)dydz(yz)dzdx(z3x)dxdy,为球面
x2y2z2R2取外侧.
前
x
.R2y2z2,
222
Dyz:
yzR
后:
x
R2y2z2,
222
Dyz:
yzR.
因此,门(x
y)dydz=
=+
前后
ydydz
.BLy2—z2
Dyz
ydydz
Dyz
yrcos,zrsinr一
2,R2y2z2dydz8;d°,R^r2rdr
y2z2R2'00
因此,:
:
(yz)dydz
4R3.
3
2
R
V
2
w
dx
2
y
上
zR2
22
xy,
Dxy:
2x
22
yR
下:
xR2
22
xy,
Dxy:
2x
22
yR
因此,:
二(z
3x)dxdy=
上
+
下
2x2y23x
dxdy
.R2
22
xy
3x
dxdy
Dxy
Dxy
对积分二:
(z
3x)dxdy,分别用上和
综上‘IXy)dydz(yz)dzdx(z3x)dxdy=34R34R3.
作业P289:
1;2.
§3高斯公式与斯托克斯公式
教学目的学会用高斯公式计算第二型曲面积分,用斯托克斯公式计算第二型曲线积分.
教学内容高斯公式;斯托克斯公式;沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件.
(1)基本要求:
学会用高斯公式计算第二型曲面积分,用斯托克斯公式计算第二型曲线积
分.懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路,掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件.
(2)较高要求:
应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧.
教学建议本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分,用斯托克斯公式计算
第二型曲线积分•要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系.
教学程序
一、高斯公式
PQ
xy
定理22.3设有空间区域V由分片光滑的双侧闭曲面S围成•若函数PQR在V上连续,且具有一阶连续偏导数,则
Qx,y,zdzdxRx,y,zdxdy
dxdydz-;Px,y,zdydz
=S
其中S取外侧•称为高斯公式
证只证V
类似可证
z
x
Rx,y,zdxdy
S
Px,y,zdydz=S和
dxdydz
Qx,y,zdzdx
=S
这些结果相加
便得到了高斯公式.
先V设是一个xy型区域,即其边界曲面S由曲面
:
zz2x,y,x,yDxy$:
zzix,y,x,yDxy
・?
・?
z2x,y.于是按三重积分的计算方法有
及垂直于Dxy的边界的柱面S3组成其中Zix,y
z2x,y
Rdz
R
dxdydzdxdy
zDxyzix,y
Rx,y,z2x,yRx,y,乙x,ydxdy
=Dxy
Rx,y,zdxdyRx,y,zdxdy
=S2Si
其中S,S2都取上侧•又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零,所以
Rx,y,zdxdy0
S3
因此
R
dxdydzRx,y,zdxdyRx,y,zdxdyRx,y,zdxdyVZ=S2S1+S3
匚Rx,y,zdxdy=S
对于不是xy型区域的情形,则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论.详细
的推导与格林相似.
空间区域V的体积公式
1dxdydz「:
xdydzydzdxzdxdy=S
1xdydzydzdxzdxdy
V=3S
、斯托克斯公式
双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定:
右手法则.
PQR在S(连同L)
上连续,且有一阶连续偏导数,则
RQPRQP
dydzdzdxdxdy■■-PdxQdyRdz
syzzxxy=L
(2)
其中s的侧与L的方向按右手法则确定.
证明先证
—dzdx
P
(3)
cos,cos,cos,所以
zcoszcos
.现由第二型曲线积分的定义及格林
同样对于曲面S表示为xxy,z和yy乙x时,可证得
dydz:
:
Qdy
=L
(4)
dxdy一Pdxy=l
将(3),(4),(5)三式相加即得
(2)式.
S分割为若于小块,使每
如果曲面S不能以zzx,y的形式给出,则可用一些光滑曲线把
一小块能用这种形式来表示.因而这时
(2)式也能成立.公式
(2)称为斯托克斯公式,也可写成如下形式:
dydzdzdx
dxdy
=L
xdz
,其中L为平面xyz1与各坐标面的交线,
o2yzdxxzdyy
例2计算l
取逆时针方向为正向.
解应用斯托克斯公式
2yzdxxzdyyxdz
L
11dydz11dzdx12dxdy
=S
2dydz2dzdx1dxdy1
=S=
单连通区域:
如果区域V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点收缩于属于V的一点,则称V为单连通区域.非单连通区域称为复连通区域.
定理22.5设R3为空间单连通区域.若函数在上连续,且有一阶连续偏导数,则以
下四个条件是等价的:
(i)对于内任一按段光滑的封闭曲线L,有
PdxQdyRdz
L=0.
(ii)对于内任一按段光滑的曲线L,曲线积分
PdxQdyRdzl与路线无关.只与L的起点及终点有关。
(込)PdxQdyRdz是内某一函数u的全微分,即
duPdxQdyRdz
P
RR
P
(iv)
y
xz
y,x
z在
内处处成立.
证明
略
yzdx
zxdy
xydz
例3
验证曲线积分
L
与路线无关,请求该表达式的原函数
ux,y,z
解由于P
分与路线无关•现求
yzdxux,y,z=m°m
yo
=xo
y
ZodsZo
+yo
=yozo
xXoZo
X
yz
yoZo
取XoyoZoo,即取Mo为原点,贝Uux,y,z=xyzxyz
作业p295:
1;2;3;4;5.
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- 第二十二 曲面 积分