9数学广角鸽巢问题.docx
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9数学广角鸽巢问题
数学广角——鸽巢问题
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
普通自行车里的数学及抽屉原理
课型
一对一/一对N
教学目标
1、通过“自行车里的数学”学习,让学生巩固所学的圆、排列组合及比例等知识。
2、理解“抽屉原理”,并且会用“抽屉原理”解决实际应用问题。
3、通过“抽屉原理”的灵活运用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣。
重、难点
1、准确理解以下数量关系:
在总齿数一定的情况下,前齿轮转的圈数×前齿轮齿数=后齿轮转的圈数
×后齿轮的齿数。
2、自行车前进过程中,前后齿轮之间的比例关系。
3、理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
课首沟通
1、说一说你了解的普通自行车及变速自行车的一些知识。
2、想想自行车里会有哪些数学问题?
3、你学过鸽巢问题吗?
抽屉原理是什么?
知识导图
课首小测
1.[单选题]有红、黄、蓝袜子各10只,闭着眼睛,任意取出袜子来,使得至少有2双袜子不同色,那么至少需要取()只袜子。
A.9B.5C.16D.13
2.自行车的前齿轮是30齿,后齿轮是10齿,车轮直径是40厘米,蹬一圈大约能行米。
(得数保留整数)
3.一种变速自行车有3个前齿轮,6个后齿轮,一共能变化出9种不同的速度。
()
4.将红、黄、白、蓝四种颜色的球各30个,混放在一个罐盒里,请问至少要从中摸出多少个球,才能确保至少有6个同色的球?
知识梳理
(1)自行车里的数学
①前齿轮转的圈数×前齿轮的齿数=后齿轮转的圈数×后齿轮的齿数前齿轮所转总长度=后齿轮所转总长度
车轮所走路程=车轮周长×周数
③前、后齿轮齿数相差大的,比值就大,这种组合走得就远。
因而车速快,但骑车人较费力。
前、后齿轮齿数相差较小时,车速较慢,但骑车人较省力。
(2)抽屉原理
①如果物体数除以抽屉数有余数,用所得的商加1,就会发现:
总有一个抽屉有商加1个物体。
物体数÷抽屉数=商……余数
至少数=商+1
②运用最不利原则解决鸽巢问题。
导学一:
自行车里的数学
知识点讲解1:
普通自行车里的数学
例1.一辆自行车前齿轮36个齿,后齿轮18个齿,车轮直径5分米。
每蹬一圈自行车前进多少米?
例2.一辆自行车前齿轮有28个齿,后齿轮有14个齿,蹬一圈自行车前进5米,求自行车的车轮直径是多少?
(保留两位小数)
例3.一种儿童专用自行车的前轮直径是28厘米,后轮直径是35厘米,前轮行走40圈的路程,后轮要行走多少圈?
【学有所获】前齿轮转的圈数×=×后齿轮的齿数。
[学有所获答案]前齿轮的齿数;后齿轮转的圈数
例4.一种自行车轮胎外直径35.36厘米,如果平均每分钟转100圈,通过长1670米的武汉长江大桥,需要多少分钟?
(得数保留整数)
我爱展示
1.一辆自行车的车轮直径是0.7米,前齿轮有48个齿,后齿轮有16个齿,脚蹬一圈自行车前进多少米?
2.一辆自行车前齿轮有32个,后齿轮有16个,蹬一圈自行车约前进6.28m,求这辆自行车的车轮直径是多少?
3.一种自行车轮胎的外直径是0.7米。
如果车轮每分钟转100周,每小时可以行多少米?
4.赵叔叔骑自行车要经过一座长3030m的大桥,自行车的前齿轮有26个齿、前、后齿轮的齿数比是13:
8,车轮直径是
66cm。
从自行车上桥到离桥大约要蹬多少圈?
(自行车车身长度忽略不计)
知识点讲解2:
变速自行车里的数学
例1.现在流行的变速自行车,在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮,通过不同的传动比获得若干挡不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮,齿数分别是48,36,24;后轴上有4个齿轮,齿数分别是36,24,16,12。
问:
这种变速车一共有多少挡不同的车速?
我爱展示
1.一种变速自行车有2个前齿轮,齿数分别是48和40;有7个后齿轮,齿数分别是28、24、20、18、16、14和12。
这种自行车能变化出种不同的速度,蹬同样的圈数,前齿轮数和后齿轮数的组合使自行车走得最
远。
例1.[单选题]六
(1)班49个人中,至少有()人同一个月生日。
A.3B.4C.5D.6
例2.[单选题]有红、黄、蓝袜子各10只,闭着眼睛,任意取出袜子来,使得至少有2双袜子不同色,那么至少需要取()只袜子。
A.9B.5C.16D.13
例3.某校5年级的同学,每人都订阅了《青少年科技报》、《小朋友》、《故事会》、
《少年科学》、《少年文艺》中的至少2种刊物。
那么这个年级至少要有名学生,才能保证他们中至少有10个人订的报刊杂志完全相同。
例4.任意7个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是6的倍数,这是为什么?
我爱展示
1.[单选题]盒子里有8个黄球,5个红球,至少摸()次一定会摸到红球。
A.8B.5C.9D.6
2.[单选题]一副扑克牌加上大、小王共有54张,至少抽取()张牌就一定能保证有两张同色。
A.5B.6C.7D.13
3.一个口袋中有白球8个,红球10个,黄球20个。
从口袋中至少摸出个球才能保证一定有3个球颜色相同。
最少摸出个球,才能保证有3个不同颜色的球。
4.从1,2,3,…,30这30个自然数中,至少要取出个不同的数,才能保证其中一定有一个数是5的倍数。
5.图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书,规定每名学生可以借两本不同类的书,至少有多少名学生借书,才能保证有两人所借图书类别相同?
限时考场模拟:
15分钟完成
1.[单选题]有一种自行车,前齿轮齿数是48,后齿轮齿数是19,车轮外直径是70cm,蹬一圈这辆自行车能前进多少米?
正确的列式是()
A.
B.
C.
D.
2.[单选题]把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个袋子里,一次至少要取()个球,才可以保证取到两个颜色相同的球。
A.7个B.6个C.5个
【学有所获】至少数=÷+1
[学有所获答案]元素的总个数;抽屉的个数。
3.[单选题]一个口袋中有50个小球,编号为1,2,3,4,5的各有10个。
一次至少要取出(
)个小球,能保证其中至少有4个编号相同的小球。
A.6B.11C.16D.21
4.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,最少要摸出只手套才能保证有3副同色的。
5.五年级
(1)班从49名学生中选一名班长,小红、小明和小华为候选人。
统计完37张票后发现:
小红15票,小明10票,小华12票。
在余下的票中,小红至少再得票才能保证以最多票数当选班长。
6.小明新买了一辆自行车,车轮外直径约60cm,前齿轮有24个齿,后齿轮有15个齿,如果小明蹬一圈,他的自行车大约能前进m。
7.一种变速自行车前齿轮为48齿和36齿,后齿轮为24齿,20齿,12齿和8齿,这种变速自行车能有种速度组合,蹬相同的圈数,组合走的最远。
8.张叔叔每天都是骑自行车上班,他的自行车是前齿轮26个齿,后齿轮14个齿,车轮半径33厘米,他每天从家出发,大约要蹬500圈才能到达工厂,张叔叔家到工厂大约多少米?
9.一辆自行车的车轮半径是36cm,前齿轮有40个齿,蹬一圈约前进3.8m,这辆自行车的后齿轮有多少个齿?
(得数保留整数)
10.孙展爸爸给孙展买了一辆自行车,细心观察的孙展,自行车的前齿轮齿数为26个,后齿轮齿数为16个,车轮直径66厘米,孙展家距离学校大约500米,那么他从家到学校至少要蹬多少圈?
(得数保留整数)
课后作业
1.[单选题]张阿姨给孩子买衣服,有红、黄、白三种颜色,但结果总是至少有两个孩子的颜色一样,她至少有()孩子。
A.2B.3C.4D.6
2.[单选题]一个口袋中有50个小球,编号为1,2,3,4,5的各有10个。
一次至少要取出(
)个小球,能保证其中至少有4个编号相同的小球。
A.6B.11C.16D.21
3.[单选题]李叔叔要给房间的四面墙壁涂上不同的颜色,但结果是至少有两面的颜色是一致的,颜料的颜色种数是()种。
A.2B.3C.4D.5
4.儿童自行车大齿轮每分钟转80圈,小齿轮每分钟转32圈,小齿轮与大齿轮每分钟所转圈数的最简整数比是。
5.一辆自行车后齿轮与前齿轮的齿数比是8:
13,前齿轮有26个齿,后齿轮有个齿。
6.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对
7.有黑色、白色、红色的筷子各8根,混杂地放在一起。
黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,至少要取根才能保证达到要求。
8.爸爸的自行车的车轮直径为70厘米,前齿轮的齿数为48,后齿轮的齿数为28,则爸爸的自行车转动3圈能走多少厘米?
9.学校买来红、黄、蓝三种颜色的球。
规定每位学生最多可以借一个或两个不同颜色的球,那么至少要有几位学生借球,就可以保证必有两位学生借的球的颜色完全一致?
10.自行车是我们生活中经常用到的交通工具,王辉最近新买了一辆自行车,她发现两个车轮的直径是71cm,前齿轮有48个,后齿轮有19个。
骑自行车时,前轮每分钟转动38圈,如果王辉每天从家骑车25分钟到学校,那么王辉家距离学校有多少千米?
(保留一位小数)
11.一种自行车的轮胎外直径是0.8米,每分钟转动60周,每分钟能前进多少米?
12.一种自行车的车轮外直径是0.71米,如每小时行15千米,车轮要前进多少圈?
(得数保留整数)
完成本堂课的课后作业;
本堂课中的错题要写到错题本上,下节课会对错题进行练习。
课首小测
1.D
解析:
因为颜色有3种,最坏的取法是先取的10只都是同一种颜色的,又取了2只颜色不同的,所以只要再取1只,就能跟第二次取的配成一双袜子了;所以至少要取10+2+1=13(只),故选:
D。
2.4
解析:
先求出车轮的周长,然后再根据前后齿轮的齿数比,确定蹬一圈前齿轮要带动后轮走
=3圈,于是可以求出前齿轮转动一圈,车轮所走的距离,再除以100化成米数即可。
自行车车轮的周长:
3.14×40=125.6(厘米),
蹬一圈自行车走的距离:
125.6×
=376.8(厘米)=3.768(米)≈4(米)3.错
解析:
由题意知每个前齿轮和6种后齿轮有6种搭配方法,根据乘法原理即可计算出3个前齿轮和6个后齿轮能搭配多少种不同速度。
解:
3×6=18(种);所以题干的说法是错误的。
4.21个
解析:
由题意可知,盒子里装有红、黄、白、蓝四种颜色的球,要保证至少有6个颜色相同,最坏的情况是每种颜色各取出5个,即取出4×5=20个,此时只要再取一个,即取出4×5+1=21(个)就能保证至少有6个球颜色相同。
答:
至少要从中摸出21个球,才能确保至少有6个同色的球。
导学一
知识点讲解1:
普通自行车里的数学例题
1.3.14米
解析:
因为自行车前齿轮的齿数是后齿轮齿数的2倍,则脚踏一圈,后车轮要转2圈。
因此求出车轮的周长乘2即可。
5分米
=0.5米
(3.14×0.5)×(38÷18)=1.57×2=3.14(米)
答:
每蹬一圈自行车前进3.14米。
2.0.80米
解析:
前齿轮有28个齿,后齿轮有14个齿,车轮转28÷14=2(圈),即车轮的周长×2=5(米),车轮的周长=3.14×直径;据此解答。
5÷2÷3.14=2.5÷3.14≈0.80(米)
答:
这辆自行车的车轮直径是0.80米。
3.32圈
解析:
根据题意可知,前轮向前行走多少米,后轮也向前行走相同的米数,也就是行驶的路程一定,即车轮的周长与转的圈数的积一定,所以车轮的周长转的圈数成反比例。
设后轮行走x圈。
列方程解答得,3.14×35x=3.14×28×40,
109.9x=87.92×40,
109.9x=3526.8,
109.9x÷109.9=3516.8÷109.9,
x=32.
答:
后轮要行走32圈.
4.15分钟
解析:
根据题意知道,先求出自行车外车轮的周长,进而求出自行车每分钟行驶的速度,再根据路程÷速度=时间,即可求出答案。
解:
车轮的周长:
3.14×35.36=111.0304(厘米),每分钟的速度:
111.0304×100=11103.04(厘米),1670米=167000厘米,
所需时间:
167000÷11103.04≈15(分钟);答:
大约需要15分钟。
我爱展示
1.6.594米
解析:
因为自行车前齿轮的齿数是后齿轮齿数的3倍,则脚踏一圈,后车轮要转3圈。
因此求出车轮的周长乘3即可。
(3.14×0.7)×(48÷16)=2.198×3=6.594(米)
答:
脚蹬一圈自行车前进6.594米。
2.1米
解析:
前齿轮有32个,后齿轮有16个,所以蹬一圈,车轮转32÷16=2圈,即车轮的周长×2=6.28米,车轮的周长=3.14×直径;据此解答为:
6.28÷(32÷16)÷3.14=1m
3.13188米
解析:
已知外直径,可以求出自行车的轮胎的外圆周长,如果车轮每分钟转100周,那么这辆自行车每分钟行100倍的外圆周长,1小时=60分钟,求这辆自行车每小时可以行多少米,用100倍的外圆周长乘60,即可得解。
3.14×0.7=2.198(米),2.198×100=219.8(米),219.8×60=13188(米);
答:
这辆自行车每小时可以行13188米。
4.15圈
解析:
先根据圆的周长:
C=πd求出车轮的周长,即车轮转动一周走过的路程,再用大桥的米数除以车轮转动一周走过的路程即可。
3030÷(3.14×66)=3030÷207.24≈15(圈)
答:
从自行车上桥到离桥大约要蹬15圈。
知识点讲解2:
变速自行车里的数学例题
1.8种
解析:
易得主动轴上可以有3个变速,后轴上有4个变速,相乘即可得到变速车共有多少档不同的车速。
因为主动轴上有三个齿轮,齿数分别是48,36,24;
所以主动轴上可以有3个变速,
因为后轴上有四个齿轮,齿数分别是36,24,16,12,所以后轴上可以有4个变速,
因为变速比为2,1.5,1,3的有两组,
又因为前后齿轮数之比如果一致,则速度会相等,所以共有3×4﹣4=8(种)变速,
答:
这种变速车一共有8挡不同的车速。
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1.14;48;12
解析:
(1)由题意知每个前齿轮和7种后齿轮有7种搭配方法,根据乘法原理即可计算出2个前齿轮和7个后齿轮能搭配多少种不同速度;2×7=14(种);
(2)根据变速自行车原理,前后齿轮数的比值越大,前齿轮转一圈,后齿轮所转的圈数就越多,所以得出前齿轮齿数最
多,后齿轮齿数最少时自行车跑得最远。
前齿轮数48,和后齿轮数12的组合使用使自行车走得最远。
例题
1.C
解析:
一年有12个月,那么可以看作是12个抽屉,49个同学看做49个元素,考虑最差情况:
把49个同学平均分配在12个抽屉中:
49÷12=4…1,那么每个抽屉都有4人,那么剩下的1人,无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。
4+1=5(人)。
2.D
解析:
因为颜色有3种,最坏的取法是先取的10只都是同一种颜色的,又取了2只颜色不同的,所以只要再取1只,就能跟第二次取的配成一双袜子了;所以至少要取10+2+1=13(只)。
故选:
D。
3.235
解析:
(1)若只订阅两种刊物,不重复的订阅方法有:
10种,
(2)若订阅3种刊物,则有:
10种不同的订阅方法,
(3)若订阅4种刊物,则有5种不同的订阅方法;
(4)若订阅5种刊物,只有1种方法;
由此可得一共有10+10+5+1=26(种)不同的订阅方法;这26种不同的订阅方法看做26个抽屉,根据抽屉原理,考虑最差情况:
每个抽屉都有9个同学,则一共有26×9=234(个)同学,再有1个同学,无论他采用哪种方法订阅,都会出现一个抽屉里有10为同学出现,26×9+1=235(名)。
4.因为余数相同的两数之差一定能被除数整除,此题可以先找出除以6的余数的所有情况分别为:
0、1、2、3、4、5,这样就可以把它们看做6个抽屉,利用抽屉原理即可解决问题。
解:
自然数除以6的余数为:
0、1、2、3、4、5,即:
除以6余0、1、2、3、4、5,因此,可以把它看成是6个抽屉,7÷6=1……1,1+1=2(个),所以,必然有一个抽屉里有两个数,而这两个数除以6的余数相同,也就是差是6的倍数。
所以,根据上述分析,任意7个不相同的自然数,其中必定至少有两个数的差是6的倍数。
我爱展示
1.C
解析:
考虑最坏情况:
摸出8次,都是摸出的黄球,则再摸出一个一定是红球,据此即可解答。
8+1=9(次)。
2.C
解析:
从最极端情况分析,因为每一色的牌有13张,假设前4次抽取的是四种不同的颜色的牌;再抽2张是大小王,然后再抽取1张一定能保证有2张花色相同,由此解答进而得出结论。
4+2+1=7(张)。
3.7;31
解析:
①口袋中共有红、黄、白三种颜色的球,要想保证摸出的球有3个球颜色相同,最差情况是摸出的6个球中红、黄白三种颜色的球各2个,此时只要再任意摸出一个,就能保证有3个球颜色相同,即2×3+1=7(个);
②此题要从最差情况考虑:
先摸出红球10个,黄球20个共30个球,只有2种颜色的球,此时再摸出任意一个球都会出现3种不同颜色的球,据此即可解答。
10+20+1=30+1=31(个)。
4.25
解析:
首先找到1,2…30中是5的倍数的数字有6个,从而得到不是5的倍数的数字的个数是30﹣6=24(个),加上1即可得到答案。
24+1=25(个)。
5.7名
解析:
构建6个抽屉:
(甲,乙),(甲,丙)(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁),考虑最差情况,每个抽屉只有1人,那么就有6人,再多1个人,无论放在哪个抽屉,都会出现有两人所借图书类别相同,由此即可解决问题。
6+1=7(名),
答:
至少有7个同学借书,才能保证有两个人所借的图书类别相同。
限时考场模拟
1.B
解析:
2.C
解析:
由于袋子里共有红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个,如果一次取4个,最差情况为红、黄、蓝、白四种颜色各一个,所以只要再多取一个球,就能保证取到两个颜色相同的球。
即4+1=5(个)。
3.C
解析:
从最坏情况考虑,假如前面取的15个球中,1,2,3,4,5号各3个,此时只要再任意取一个球就能得到4个编号相同的小球,所以至少要取5×3+1=16(个),故选:
C。
4.9
解析:
可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。
再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有:
5+2+2=9(只),故答案
为:
9。
5.5
解析:
小红比小华多了3张选票,已经统计了37张选票,还剩下12张没统计,假设这12张全部给小红和小华,只要小华的不比小红的多出3张或以上的选票,小红就会当选。
只要求出小华比小红多分得2张的情况即可。
49﹣(15+10+12)=12(张),
小红已经比小华多了:
15﹣12=3(张),若把这12张平均分给二人:
12÷2=6(张),每人6张,小红再给小华1张,小华就比小红多分得2张,小红分的数量6﹣1=5(张)。
6.3米
解析:
先求出车轮的周长,然后再根据前后齿轮的齿数比,确定蹬一圈前齿轮要带动后轮走
圈,于是可以求出前齿轮转动一圈,车轮所走的距离,再除以100化成米数即可。
自行车车轮的周长:
3.14×60=188.4(厘米),
蹬一圈自行车走的距离:
188.4×
=301.44(厘米)=3.0144(米)≈3(米)。
7.8,前齿轮为48齿、后齿轮为8齿。
解析:
根据乘法原理可以得到2×4=8(种)速度组合;蹬相同的圈数,前、后齿轮的齿数相差最大时,这种组合走的最远。
(1)48:
24=2:
1,48:
20=12:
5,48:
12=4:
1,48:
8=6:
1;36:
24=3:
2,36:
20=9:
5,36:
12=3:
1,36:
8=9:
2;所以这种变速自行车能有8种速度组合。
(2)蹬相同的圈数,前、后齿轮的齿数最多时,这种组合走得最远;所以前齿轮为48齿,后齿轮为8齿的这种组合走得最远。
8.1924米
解析:
因为脚踏板齿轮的齿数是后齿轮齿数的26÷14=
倍,则脚蹬一圈,车轮要转
圈。
因此,求出车轮的周长乘
即可得到蹬一圈车辆前进的路程,然后再乘500即可得到答案。
解:
3.14×33×2×(26÷14)×500=207.24×
×500=103620×
≈192437(厘米)≈1924(米)
答:
张叔叔家到工厂大约有1924米。
9.24个
解析:
根据题意,可利用圆的周长公式计算出车轮旋转一周行驶的路程,然后再乘以前轮的齿轮数即可得到前轮行进的路程,最后在用前轮行进的路程除以3.8米即可得到后齿轮数。
3.8米=380厘米3.14×2×36×40÷380=9043.2÷380≈24(个)
答:
这辆自行车的后齿轮有24个齿。
10.149圈
解析:
首先求得前轮蹬一圈,后轮转动的距离,再进一步用总路程除以转动的距离得出答案即可。
66cm=0.66m
500÷(3.14×0.66×26÷16)=500÷(2.0724×26÷16)=500÷3.36765≈149(圈)
答:
从家到学校骑自行车至少要蹬149圈。
课后作业
1.C
解析:
把颜色的种类看作“抽屉”,把孩子的数量看作物体的个数,根据抽屉原理得出:
孩子的个数至少比颜色的种类多1时,才能至保证少有两个孩子的颜色一样;3+1=4(个);故选:
C。
2.C
解析:
从最坏情况考虑,假如前面取的15个球中,1,2,3,4,5号各3个,此时只要再任意取一个球就能得到4个编号相同的小球,所以至少要取5×3+1=16(个)小球,故选:
C。
3.B
解析:
本题可以用抽屉原理的最不利原则;故意在3个墙面上涂上甲、乙、丙3种颜色,没有重复,但第4面墙只能选甲、乙、丙中的一种,至少有两面的颜色是一致的;所以得出颜料的种数是4﹣1=3(种),故答案应选:
B。
4.2:
5
解析:
用小齿轮每分钟转数比大齿轮每分钟转数,再根据比例的性质化简即可。
32:
80=(32÷16):
(80÷16)=2:
5。
5.16
解析:
因为一辆自行车后齿轮与前齿轮的齿数比是8:
13,所以把后齿轮的齿数看成8份,前齿轮的齿数为13份,先求出1份的齿数,再乘以8即可。
26÷13×8=2×8=16(个)。
6.1
解析:
将1~12这十二个数,组成构造6个抽屉:
(1,7),(2,8),(3,9),(4,10),(5,11),(6,12);任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6。
故答案为:
1。
7.11
解析:
把3种不同颜色看作3个抽屉,把8根不同颜色的筷子看作8个元素,从最不利情况考虑,其中一种颜色取尽,然后再取其它颜色,比如一个抽屉需要先放8根黑筷子,这时没有异色筷子,再在另外两个抽屉里不论放2根白色或2根红色还是1根白色和一根红色,不可能组成颜色不同的两双筷子,所以还需要再取1根,因此至少要取出:
8+2+1=11(根)。
8.659.4cm
解析:
先根据圆的周长:
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