高考数学二轮复习导数.docx
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高考数学二轮复习导数
第3讲 导数的简单应用
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
求切线方程·T13
利用导数讨论函数的单调性及公切线问题·T20
已知切线方程求参数·T6
利用导数研究函数的极值点·T20
利用导数讨论函数的单调性及最值问题·T20
2018
奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T5
利利用导数的几何意义求切线方程·T13
利用导数的几何意义求参数值·T14
利用导数讨论函数的单调性·T21
(1)
2017
利用导数讨论函数的单调性·T21
(1)
导数的运算、利用导数求函数极值·T11
利用导数研究函数单调性求参数·T21
(1)
(1)高考对导数的几何意义的考查,多在选择题、填空题中出现,难度较小,有时出现在解答题第一问.
(2)高考重点考查导数的应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择、填空的后几题中出现,难度中等;有时也出现在解答题第一问.
(3)近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少,题目一般比较简单,但也不能忽略.
考点一导数的几何意义
[例1]
(1)(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.2 B.
C.
D.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
(3)(2019·成都市第二次诊断性检测)已知直线l既是曲线C1:
y=ex的切线,又是曲线C2:
y=
e2x2的切线,则直线l在x轴上的截距为( )
A.2B.1
C.e2D.-e2
1.(2019·武汉市调研测试)设曲线C:
y=3x4-2x3-9x2+4,在曲线C上一点M(1,-4)处的切线记为l,则切线l与曲线C的公共点个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为________.
3.(2019·广州市综合检测
(一))若函数f(x)=ax-
的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,4),则a=________.
考点二利用导数研究函数的单调性
题型一 求函数的单调区间或判断函数的单调性
[例2] 已知函数f(x)=ln(x+1)-
,且1 题型二 已知函数的单调性求参数 [例3] 已知函数f(x)= x2-2alnx+(a-2)x. (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 1.已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,讨论f(x)的单调性. 2.(2019·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)=ex-axlnx. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)证明: ∀a∈(0,e),函数f(x)在区间 上单调递增. 考点三利用导数研究函数的极值(最值)问题 题型一 求已知函数的极值(最值) [例4] (2019·合肥市第一次质检)已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若g(x)=f(x)-ax,a∈R,试求函数g(x)极小值的最大值. 题型二 由函数的极值(最值)确定参数值(范围) [例5] (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=2x3-ax2+b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由. 1.(2019·广州市调研测试)已知函数f(x)=xex+a(lnx+x). (1)若a=-e,求f(x)的单调区间; (2)当a<0时,记f(x)的最小值为m,求证: m≤1. 2.已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R). (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围. 【课后专项练习】 A组 一、选择题 1.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件: ①f′(x)>0时,x<-1或x>2; ②f′(x)<0时,-1 ③f′(x)=0时,x=-1或x=2. 则函数f(x)的大致图象是( ) 2.(2019·河北省九校第二次联考)函数y=x+ +2lnx的单调递减区间是( ) A.(-3,1) B.(0,1) C.(-1,3)D.(0,3) 3.(2019·南昌市第一次模拟测试)已知f(x)在R上连续可导,f′(x)为其导函数,且f(x)=ex+e-x-f′ (1)x·(ex-e-x),则f′ (2)+f′(-2)-f′(0)f′ (1)=( ) A.4e2+4e-2B.4e2-4e-2 C.0D.4e2 4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对(a,b)为( ) A.(-3,3)B.(-11,4) C.(4,-11)D.(-3,3)或(4,-11) 5.(2019·洛阳市统考)已知a>0,曲线f(x)=3x2-4ax与曲线g(x)=2a2lnx-b有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数b的最小值为( ) A.0B.- C.- D.- 6.若函数f(x)=ex-(m+1)lnx+2(m+1)x-1恰有两个极值点,则实数m的取值范围为( ) A.(-e2,-e)B. C. D.(-∞,-e-1) 二、填空题 7.已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切(其中e为自然对数的底数),则实数a的值是________. 8.函数f(x)=x2-lnx的最小值为________. 9.若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是________. 三、解答题 10.(2019·江西七校第一次联考)已知函数f(x)=ex(x2-2x+a)(其中a∈R,a为常数,e为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设曲线y=f(x)在(a,f(a))处的切线为l,当a∈[1,3]时,求直线l在y轴上截距的取值范围. 11.(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b+ . (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)为增函数,且f(x)的图象与直线y=bx有3个交点,求b的取值范围. 12.(2019·长春市质量监测 (一))已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(其中常数a≠0). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=1处取得极值,且在(0,e]上的最大值为1,求实数a的值. B组 1.已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性. 2.已知函数f(x)= ,其中a>0. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值; (3)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数) 3.设函数f(x)=ln(x+a)-x. (1)若直线l: y=- x+ln3- 是函数f(x)的图象的一条切线,求实数a的值; (2)当a=0时,关于x的方程f(x)=x2- x+m在区间[1,3]上有解,求m的取值范围. 4.已知常数a≠0,f(x)=alnx+2x. (1)当a=-4时,求f(x)的极值; (2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围. 第4讲 导数的综合应用 [全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 利用导数研究函数的极值、零点问题·T20 利用导数研究函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题·T20 利用导数研究函数的单调性、最值问题·T20 2018 利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明·T21 函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题·T21 导数在研究不等式及极值问题的应用·T21 2017 利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21 利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21 导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩·T21 导数日益成为解决问题必不可少的工具,利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型,而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题,是高考的热点和难点. 解答题的热点题型有: (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值; (2)利用导数证明不等式或探讨方程根;(3)利用导数求解参数的范围或值. 第1课时 导数与不等式 考点一单变量不等式的证明 [例1] (2019·湖北部分重点中学高三测试)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)= - ,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明: 当x>1时,g(x)>0; (3)如果f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围. 1.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2-1)(λ为常数). (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值; (2)若λ= ,且x≥1,证明: f(x)≤g(x). 2.已知函数f(x)=aex-blnx,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y= x+1. (1)求a,b; (2)证明: f(x)>0. 考点二双变量不等式的证明 [例2] 已知函数f(x)=lnx- ax2+x,a∈R. (1)当a=0时,求函数f(x)的图象在(1,f (1))处的切线方程; (2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明: x1+x2≥ . (2019·昆明市诊断测试)已知函数f(x)=2lnx-x+ . (1)讨论f(x)的单调性; (2)若a>0,b>0,证明: < < . 考点三不等式的恒成立问题 [例3] 已知函数f(x)=xlnx,若对于所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围. (2019·江西省五校协作体试题)已知函数f(x)=lnx- a(x-1)(a∈R). (1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若不等式f(x)<0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. [例4] 已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=- (a∈R).若在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0) 已知a为实数,函数f(x)=alnx+x2-4x. (1)若x=3是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值; (2)设g(x)=(a-2)x,若存在x0∈ ,使得f(x0)≤g(x0)成立,求实数a的取值范围. 【课后专项练习】 1.已知函数f(x)=xex+2x+alnx,曲线y=f(x)在点P(1,f (1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直. (1)求实数a的值; (2)求证: f(x)>x2+2. 2.设函数f(x)=2lnx-mx2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当f(x)有极值时,若存在x0,使得f(x0)>m-1成立,求实数m的取值范围. 3.(2019·贵阳模拟)已知函数f(x)= (m≥0),其中e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若m∈(1,2),证明: 当x1,x2∈[1,m]时,f(x1)>-x2+1+ 恒成立. 4.(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)=ex+1-aln(ax)+a(a>0). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若关于x的不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围. 第2课时 导数与函数的零点问题 考点一确定函数零点的个数 [例1] (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明: (1)f′(x)在区间 存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. (2019·广东省七校联考)已知函数f(x)=lnx+ax. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a<0时,求函数f(x)的零点个数. 考点二根据函数零点的个数确定参数的取值范围 [例2] 已知函数f(x)=xex- a(x+1)2. (1)若a=e,求函数f(x)的极值; (2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围. (2019·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)= ax-a+1- (其中a为常数,且a∈R). (1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围,并说明理由. 考点三函数零点性质的探索与证明 [例3] (2019·陕西榆林一模)已知函数f(x)=x2-2. (1)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调,求实数a的取值范围; (2)函数h(x)=ln(1+x2)- f(x)-k有几个零点? 已知函数f(x)=(x-1)ex-mx2+2,其中m∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)当常数m∈(2,+∞)时,函数f(x)在[0,+∞)上有两个零点x1,x2(x1 x2-x1>ln . 【课后专项练习】 1.(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)= (x-1)2-x+lnx(a>0). (1)讨论f(x)的单调性;
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