5三角形学案.docx
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5三角形学案.docx
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5三角形学案
认识三角形
学习重点:
三角形三边关系:
“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。
三角形任意两边之和;三角形任意两边之差。
:
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,
(1)再取一根长度为2cm的木棒,它们能摆成三角形吗?
为什么?
(2)如果取一根长度为13cm的木棒呢?
(3)聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗?
(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢?
(二)自我检测:
1、下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?
为什么?
(单位:
cm)
(1)1,3,3
(2)3,4,7(3)5,9,13
(4)11,12,22(5)14,15,30
2、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,则第三边长x的取值范围。
若x是奇数,则x的值是。
这样的三角形有个;若x是偶数,则x的值是,这样的三角形又有个。
3、一个等腰三角形的一边是2cm,另一边是9cm,则这个三角形的周长是cm
4、一个等腰三角形的一边是5cm,另一边是7cm,则这个三角形的周长是cm
1、选择题:
(1)用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取( )
A、20cm B、3cm C、11cm D、2cm
(2)下列三条线段,不能组成三角形的是()
A、346B、8915C、20185D、163014
(3)已知等腰三角形一边等于5cm,一边等于10cm,另一边应等于( )
A、5cm B、10cm C、5或10cm D、12cm
(4)一个三角形的两边分别是5cm和11cm,第三边的长是一个偶数,则第三边的长是( )
A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm
2、等腰三角形的一边长为3㎝,另一边长是5㎝,则它的第三边长为____.
3、已知一个三角形有两边相等,并且周长为56cm,两不等边之比为3︰2,求这个三角形各边的长。
(2)三角形按内角的大小可以分为三角形、三角形、三角形。
叫直角三角形的斜边,叫直角三角形的直角边。
直角三角形的两个锐角。
2、一个三角形两个内角的度数如下,这个三角形是什么三角形?
(1)30°和60°
(2)40°和70°(3)50°和20°
自我检测:
1、在⊿ABC,∠A=80°,∠B=60°,则∠C=。
2、在⊿ABC中,∠A=55°,∠B=35°,则⊿ABC是三角形。
3、在直角三角形中,一个锐角等于25°,另一个锐角=。
4、在⊿ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则∠C=。
5、有下列三个说法,其中正确的个数是:
()
①一个三角形的三个内角中最多有一个钝角
②一个三角形的三个内角中至少有一个锐角
③一个三角形的三个内角中至少有一个直角
A.0B.1C.2D.3
6、已知三角形的三个内角的度数之比是1:
2:
6,则这个三角形是三角形。
7、在⊿ABC中,∠B=∠C=
∠A,则∠A=,∠B=,∠C=。
8、在⊿ABC中,∠B-∠A-∠C=30°,则∠B=。
9、若三角形的一个内角是另外两个内角的差,则这个三角形是()
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不确定
10、直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的2倍,求这个锐角的度数。
11、如图,∠1+∠2+∠3+∠4=。
12、在直角三角形中,两个锐角的差为40°,求这两个锐角的度数。
13、如右图,已知△ABC中,∠1=27°,∠2=85°,
∠3=38°求∠4的度数
14、如图,⊿ABC中,AD⊥DC,
∠BAD=30°,∠BCD=18°,求∠B的度数。
1、如图1,AD是△ABC的∠A的平分线,若∠B=450,∠C=740,则∠ADB=;
2、如图2,∠A=360,∠C=720,BD平分∠ABC,则∠ABD的度数是;
3、如图3,AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线,则∠1=,∠3=
,∠6=;
4、如图4,AD、BE、CF是△ABC的三条中线,则AB=2=2,BD=,AE=
;
6、如图AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平
分线,下列表达式中错误的是()
A、AE=CEB、∠ADC=90°
C、∠CAD=∠CBED、∠ACB=2∠ACF
7、如图所示,在△ABC中,∠B=
,∠C=
,AD中△ABC的角分线,∠BAC=,∠ADC=;
8、已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=900,AD⊥BC于D,
AE平分∠DAC,∠B=500,求∠AEC的度数.
9、如图,在
中,
,AD是
的一条角平分线,求
的度数。
10、直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是______度。
11、△ABC中,若∠A=800,I为三条角平分线交点,则∠BIC=.
13、如图,
的周长为9,AD为中线,
的周长为8,
的周长为7,求AD的长。
1、三角形的高:
叫做三角形的高线,简称三角形的高。
结论:
锐角三角形的三条高在三角形的且。
(1)直角三角形的三条高交于。
(2)钝角三角形的三条高交于,此点在三角形的。
自我检测1:
如图,
(1)共有个直角三角形
(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是、、。
(3)AD=3、BC=6、AB=5、BE=4,
则S△ABC=、CF=、AC=。
6、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,DE平分∠ADC,且∠A=40°,求∠BCD和∠CED.
图形的全等
1.能够完全________的两个图形称为全等图形。
全等图形的形状和大小都_______,
(1)叫全等三角形.
(2)全等三角形的对应边________,对应角_________。
(二)1.全等三角形的符号表示及读法和写法.
(1)全等用符号_________表示.读作__________.
(2)三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________
(3)已知△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.
(4)如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则
∠C与____是对应角;AB与_____是对应边,BC与_____是对应边,
AC与____是对应边.(要特别注意对应顶点写在对应位置上.)
(5)判断题:
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.()
②全等三角形的周长相等.()
③面积相等的三角形是全等三角形.()
④全等三角形的面积相等.()
2、性质应用.
例如:
如图,∵△ABC≌DFE,(已知)
∴AB=DF,AC=DE,BC=FE,(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E.(全等三角形的对应角相等)
(1)若△ABC≌△DFE,那么AB=____,AC=_____,BC=_____,∠A=∠,
∠B=∠___,∠C=∠____.
(2)已知:
△ABC≌△DFE,∠A=96°,∠B=25°,DF=10cm.则∠E=,
∠F=,AB=.
(3)已知△MNP≌△DEF,且EF=NP,∠F=∠P,∠D=48°,∠E=52°,MN=4cm,求∠P的度数及DE的长。
(画图,结合图形写过程)
3、自主检测:
(1)如右图,已知△ABD≌△CDB,AB=CD,这两个三角形的对应边是与,
与,与;对应角是与,与,与。
(2)如图,已知△ABD≌△ACE,∠B=∠C,这两个三角形的对应边是与,与,与;对应角是与,与,
与。
若AD=3cm,∠CEB=
,则AE=cm,∠ADB=
(3)如图,已知CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,△ABE≌△ACD,∠C=20°,AB=10,AD=4,G为AB延长线上一点.求∠EBG的度数和CE的长.
三角形全等的条件
1、全等三角形的相等,相等。
2、如图1,已知△AOC≌△BOD,则∠A=∠B,∠C=,=∠2,对应边有AC=,=OB,=OD。
3、如图2,已知△AOC≌△DOB,则∠A=∠D,∠C=,=∠2,对应边有AC=,OC=,AO=。
4、如图3,已知∠B=∠D,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=CD,AD=CB,AC=CA。
则△≌△
练习:
下列三角形全等的是
2、三边对应相等的两个三角形全等,简写为或
3、如图,AB=AC,BD=DC4、如图,AM=AN,BM=BN
求证:
△ABD≌△ACD求证:
△AMB≌△ANB
证明:
在△ABD和△ACD中证明:
在△AMB和△ANB中
∴△ABD△ACD()∴≌()
5、如图,AD=CB,AB=CD6、如图,PA=PB,PC是△PAB的
中线,∠A=55°
求证:
∠B=∠D求:
∠B的度数
1、如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,
你能找到哪两个三角形全等?
说明你的理由。
2如图,已知AC=AD,BC=BD,CE=DE,则全等三角形共有对,就其中的一对说明全等的理由。
完成下面的推理:
如图,已知AD∥BC,AD=BC.试说明:
(1)AB=DC;
(2)AB∥DC.
证明:
∵AD∥BC()
∴_________()
∴△ADB≌△CBD()
∴AB=DC()
∠ABD=_________()
∴AB∥CD()
自我检测:
1、如图,AB=AC,AD=AE,那么∠B=∠C吗?
为什么?
2、在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线.那么BD=CD吗?
3、如图:
已知AB=AC,∠B=∠C,△ABD与△ACE全等吗?
为什么?
4、如图,E,F在BC上,BE=CF,AB=CD,AB∥CD.
试说明:
(1)⊿ABF≌⊿DCE;
(2)AF∥DE.
5、如图,若AB=AD,BC=DE,∠B=∠ADE.
试说明:
(1)AC=AE,
(2)∠EDC=∠EAF.
1、三边对应相等的两个三角形全等,简写为或
2、如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AD能平分∠BAC吗?
你能说明理由吗?
解:
AD平分∠BAC。
∵AD是BC边上的中线(已知)
∴=(中线的定义)
在中
∴≌()(图1)
∴∠BAD=∠CAD()
∴AD平分∠BAC()
3、如图2,
(1)∵AC∥BD(已知)
∴∠=∠()
(2)∵AD∥BC(已知)
∴∠=∠()(图2)
4、如图3,
∵EA⊥AD,FD⊥AD(已知)
∴∠=∠=90°()
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成或
(2)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成或
(3)如图,AB=AC,∠B=∠C,你能证明△ABD≌△ACE吗?
证明:
在△ABD和△ACE中
∴≌()
(4)如图,已知AC与BD交于点O,AD∥BC,且AD=BC,你能说明BO=DO吗?
证明:
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=,()
∠D=,()
在中,
∴≌()
∴BO=DO()
(5)如图,∠B=∠C,AD平分∠BAC,你能证明△ABD≌△ACD?
若BD=3cm,则CD有多长?
解:
∵AD平分∠BAC()
∴∠=∠(角平分线的定义)
在△ABD和△ACD中
∴△ABD△ACD()
∴BD=CD()
∵BD=3cm(已知)
∴CD==(等量代换)
(6)如图,在△ABC中,BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,且BE=CF,那么BD与DC相等吗?
你能说明理由吗?
(请模仿上面的说理过程自己写出解题过程)
解:
7)如图,已知AB=CD,∠B=∠C,你能说明△ABO≌△DCO吗?
(请模仿上面的说理过程自己写出证明过程)
(三)自我检测:
1、如图,AB∥CD,∠A=∠D,BF=CE,∠AEB=110°,求∠DFC的度数。
2、
如图,△ABC与△ABD中,AD与BC相交于O点,∠1=∠2,请你添加一个条件(不
再添加其它线不再标注或使用其他字母),使AC=BD,并给出证明.
你添加的条件是:
.
证明:
1、三边对应相等的两个三角形全等,简写为或
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成或
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成或
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成或
5、全等三角形的性质:
两三角形全等,对应边,对应角
6、如图;△ADC≌△CBA,那么
,
7、如图;△ABD≌△ACE,那么
,
1.如图:
A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长。
他叔叔帮他出了一个这样的主意:
先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到E,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它的长度;
(1)DE=AB吗?
请说明理由.
(2)如果DE的长度是8m,则AB的长度是多少?
3.如图,要量河两岸相对两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DF,使A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,试说明理由。
4.没有量角器,利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗?
下面是小彬的做法,他的画法正确吗?
请说明理由.小彬的做法
如图,角平分线刻度尺画法:
①利用刻度尺在∠AOB的两边上,分别取OD=OC.
②连结CD,利用刻度尺画出CD的中点E.
③画射线OE.
所以射线OE为∠AOB的角平分线.
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF
(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
2
(1)如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,
则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,
①若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,
根据
②若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,
根据
③若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,
根据
④若AC=BD,AE=BF,CE=DF.则△ACE≌△BDF,
根据
⑤若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,
根据
(3)判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()
(A)两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等
(C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等
(4)如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗?
说说你的理由
答:
理由:
∵AF⊥BC,DE⊥BC(已知)
∴∠AFB=∠DEC=°(垂直的定义)
在Rt△和Rt△中
∴≌()
∴∠=∠()
∴(内错角相等,两直线平行)
5、如图,广场上有两根旗杆,已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的,那么这两根旗杆高度相等吗?
说说你的理由。
3.
(1)判断题:
①一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
()
②一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等()
③一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等()
④两直角边对应相等的两个直角三角形全等()
⑤两边对应相等的两个直角三角形全等()
⑥两锐角对应相等的两个直角三角形全等()
⑦一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等()
⑧一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等()
(2)如图,∠D=∠C=90°,请你再添加一个条件,使△ABD≌△BAC,并在添加的条件后的()内写出判定全等的依据。
①()
②()
③()
④()
(3)如上图,AD⊥DB,BC⊥CA,AC、BD相交于点O,AC=BD,试说明AD=BC
(4)如图,∠BAC=∠DCA=90°,AD=BC,∠1=20°,
你能求出∠D的度数吗?
说说你的理由。
(5)如图,AB//DC,AD//BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,试说明AE=CF.
第五章三角形复习学案
一、(本章主要知识点):
(一)基本概念:
1.三角形的定义:
2.三角形的分类:
(按角分)
3.三角形的中线、角平分线、高:
①三角形的中线:
.
②三角形的角平分线:
.
③三角形的高线:
.
(2)基本几何格式:
①∵AD是△ABC的中线∴.
②∵BE是△ABC的角平分线∴.
③∵CE是△ABC的高∴.
(3)三角形的三边关系:
.
4.三角形的知识点应用:
(1)三角形的三个内角中最多有个锐角,个钝角,个直角;三角形的三个内角中最少有个锐角。
(2)如果一个三角形三个内角分别是450,450,900,那么这个三角形按角分类叫做三角形。
(3)每个三角形都有条中线,条角平分线,条高;三角形所有的中线都交于点,角平分线、高也是一样,这个交点大部分都在三角形的内部,但三角形的所有的高的交点在三角形的直角顶点上,三角形的高的交点在三角形的外部。
(4)如图1:
△ABC中,BD=CD,∠1=∠2,那么ED可以看作是△的中线,可以看作是△ABD的角平分线。
图1图2
(5)如图2:
△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠B=400,∠C=700,求∠DAE的度数。
(6)按图中所给的条件,可求出∠1=、∠2=、∠3=.
(7)已知△ABC中,∠A+∠B=∠C,那么这个三角形是三角形;已知△ABC中,∠A=400,∠B=6∠C,则∠B=。
(8)三角形的两条边的长分别是2和7,第三条边的长x的取值范围是。
(9)等腰三角形的两条边长分别为4cm和7cm,那么这个等腰三角形的周长为cm;等腰三角形的两条边长分别为2cm和9cm,那么这个等腰三角形的周长为cm。
(10)一个三角形的两条边的长分别是2和7,而第三边的长为奇数,那么第三边的长是;若三角形的两边长分别是2和5,且这个三角形的周长是偶数,那么第三边的长是。
(二)全等三角形
1.全等三角形的定义:
.2.全等三角形的性质:
.
3.三角形全等的条件:
一般三角形全等的判别方法:
.
直角三角形全等的判别方法:
.
4.三角形全等的条件思路:
当两三角形已具备两角对应相等时,第三条件应找
当两三角形已具备两边对应相等时,第三条件应找
当两三角形已具备一角一边对应相等时,第三条件应找
5.找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有:
二、自我检测:
1、如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明。
所添条件为,你得到的一对全等三角形是。
2、如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列添加的条件中,哪一个不能用于判定△ABM≌△CDN的是()
A.∠M=∠N;B.AB=CD;C.AM=CN;D.AM∥CN
3、如图,已知
,
,增加
下列条件:
①
;②
;③
;④
.其中能使
的条件有()
A.
个B.
个C.
个D.
个
4、如图,点
分别在线段
上,
相交于点
,要使
,需添加一个条件是:
5、工人师傅在安装木制门框时,为防止变形常常像图中所示,钉上两条斜拉的木条,这样做的原理是根据三角形的
6、如图,若△OAD≌△OBC,且∠0=65°,∠C=20°,则∠OAD=.
7、已知:
如右上图,
,
,
,求证:
(2)三角形三线的比较
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