25 函数与方程 251 函数的零点.docx
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25函数与方程251函数的零点
数学·必修1(苏教版)
2.5 函数与方程
2.5.1 函数的零点
已知二次函数y=x2-2x-3,令y=0即x2-2x-3=0时,这是一元二次方程,那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系?
1.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间( )
A.(0,1)B.(1,1.25)
C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)
解析:
设f(x)=lgx+x-2,则f(1.75)=f
=lg
-
<0,f
(2)=lg2>0.
答案:
D
2.函数f(x)=
的零点个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
解析:
:
x≤0时由x2+2x-3=0⇒x=-3;x>0时由-2+lnx=0⇒x=e2.
答案:
C
3.设函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则( )
A.f(m-1)>0
B.f(m-1)<0
C.f(m-1)=0
D.f(m-1)与0的大小不能确定
解析:
结合图象易判断.
答案:
A
4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
解析:
因为f(0)=-1<0,f
(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C.
答案:
C
5.函数f(x)=4x-2x+1-3的零点是________
解析:
由4x-2x+1-3=0⇒(2x+1)(2x-3)=0⇒2x=3,∴x=log23.
答案:
log23
6.函数f(x)=(x-1)(x2-3x+1)的零点是__________.
解析:
利用定义可求解.
答案:
1,
7.若函数y=x2-ax+2有一个零点为1,则a等于__________.
解析:
由零点定义可求解.
答案:
3
8.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1),当2 解析: 根据f (2)=loga2+2-b f(3)=loga3+3-b>logaa+3-4=0, ∴x0∈(2,3),故n=2. 答案: 2 9.证明: 方程x·2x=1至少有一个小于1的正根. 证明: 令f(x)=x·2x-1, 则f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线. 当x=0时,f(x)=-1<0.当x=1时,f(x)=1>0. f(0)·f (1)<0,故在(0,1)内至少有一个x0,当x=x0时,f(x)=0.即至少有一个x0,满足0 10.求函数y=(x2-x)2+32(x-x2)+60的零点. 解析: 由(x2-x)2+32(x-x2)+60=0得(x2-x-2)(x2-x-30)=0⇒x2-x-2=0或x2-x-30=0,由x2-x-2=0得x=-1或2,由x2-x-30=0得x=-5或6,∴原函数的零点为-1,2,-5,6. 11.实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)的定义域中的三个数,且满足a A.2个B.奇数个 C.偶数个D.至多2个 解析: 由函数零点存在性判定定理并结合图象可得. 答案: C 12.已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k的取值范围是________. 解析: y=(x-1)3(x<2)递增,值域(-∞,1),y= (x≥2)递减,值域为(0,1],若f(x)=k有两不同实根,则k∈(0,1). 答案: (0,1) 13.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则函数所有零点之和是__________. 解析: 由偶函数图象对称性的特点,结合函数零点的定义可得. 答案: 0 14.(2013·天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为________. 解析: 由2x|log0.5x|-1=0⇒|log0.5x|= ,画出y=|log0.5x|和y= 的图象,可知它们有两个交点. 答案: 2 15.求证: 函数f(x)=2x- 在(0,1)内有且只有一个零点. 证明: f(x)=2x- =2x+1- (x≠1). 设-1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - - + = - + . ∵-1<x1<x2, ∴ - <0,x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0. ∴ - + <0, 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数. 而f(0)=20-2=-1<0, f (1)=21- = >0, 即f(0)·f (1)<0. 所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点且只有一个零点. 16.已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),试判断f(x1)和f(x2)的符号. 解析: 由2x+ =0⇒2x= ,分别画出g(x)=2x和h(x)= 的图象,可见当x1∈(1,x0)时,h(x1)>g(x1),∴f(x1)=g(x1)-h(x1)<0;当x2∈(x0,+∞)时,g(x2)>h(x2),∴f(x2)=g(x2)-h(x2)>0. 故f(x1)为负数,f(x2)为正数. 17.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求实数a的取值范围. 解析: 令f(x)=3x2-5x+a,由已知: 即 解得: -12 ∴a的取值范围是{a|-12<a<0}. 18.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点; (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围. 解析: (1)因为a=1,b=-2,所以f(x)=x2-x-3,所以x2-x-3=x,解得f(x)的不动点为-1,3. (2)函数f(x)恒有两个相异的不动点,即函数f(x)=x,即ax2+bx+(b-1)=0(a≠0)有两个零点.则Δ1=b2-4a(b-1)>0(b∈R)恒成立,即b2-4ab+4a>0(b∈R),∴Δ2=16a2-16a<0,解得0
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