数学之友高考模拟卷 1文档格式.docx
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222
因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)的图形关于原点成中心对
由图像可知函数f(x)在区间[-1,1]上为单调递增函数,所以
当x<
0时,f'
(x)=x-1,且f'
(-1)=-2e,及f(x)⋅(-2e)=-1即:
f(x)=1
>
0,
ex0
02e
可以得到x
,即1-x0(-2e)=-1,即
0ex
0ex0
ex0
ex0+2ex-2e=0,设g(x)=ex+2ex-2e(x>
0),显然g(x)在(0,+∞)上单调递增,
g
(1)=
2
-e<
0,g(
3)=
-e=-
0,所以x∈⎛2,
⎝
⎠
根据题意,-cos(A+C)+cos(A-C)=1-cos2B,化简得:
sinAsinC=sin2B,
=4,当且仅当a=2
,c=
集合A表示圆(x+1)2+y2=2上的点,又Q(0,0)∈B,∴集合B表示两条直线
距离d≥r,即|t-1|≥
5
根据题意得:
a2x+max-n+a-2x+ma-x-n=-2,则
(ax+a-x)2+m(ax+a-x)-2n=0,令t=ax+a-x≥2,当且仅当x=0时,取“=”,
t2+mt-2n=0,即点(m,2n)在直线tx-y+t2=0上,m2+4n2可以看成是点(m,2n)到
(m2+4n2)
t22t4
原点的距离的平方,所以
min
=()
1+t2
=t2+1
是增函数,当t=2时,
⎛1⎞2⎛2⎞2
⎜3⎟⎜3⎟
a2
解得a2=1,b2=1,
+⎝⎠
b2
=1,且=,2
1212
C(x,y)
D(x,y)
uuur=
uuur
uuruuur
设11,
22,AP
λ1PC,BP=λ2PD,其中λ1,λ2∈(0,1),
⎧
⎪x=
(λ1
+1)(-4t)-1
3
⎪1
则⎨
⎪(λ1+1)t-
代入椭圆方程并整理得,(λ1+1)⋅18t2=λ1-1,
⎪y=3
1
⎩⎪1λ
12
Q18t2<
1,∴λ
8.解:
(1)当点M在边BC上,设∠BPM=θ(0≤tanθ≤3),
在△PEN中,不妨设∠PEN=α,其中sinα=3,cosα=4,则
PE=NE,
即NE=
4sinθ=
sin(θ+α)
20sinθ
4sinθ+3cosθ
55
=20tanθ;
4tanθ+3
sin(π-θ-α)
sinθ
4tanθ+34
33
Qtanθ=
<
0,tanθ=
444
当点M在边CD上,设CD中点为Q,由轴对称不妨设M在CQ上,此时点N在线段AE
上;
设∠
MPQ=θ
(0≤tanθ≤4),在Rt△MPQ中,MQ=PQ⋅tanθ=3tanθ;
在△PAN中,不妨设∠PAE=β,其中sinβ=4,cosβ=3;
则PA=
AN,即AN=
3sinθ=15sinθ
=15tanθ;
sin(π-θ-β)
sin(θ+β)3sinθ+4cosθ
3tanθ+4
由MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+EN,得
AN=MQ,即3tanθ=15tanθ;
解得tanθ=0或
3tanθ+4
tanθ=1;
9.
n213
a
an
⎨⎬
⎩n⎭
当p≠0时,因为a1
=1,2a
n+1
=2an
+
p,即a
-
an=
下面用反证法证明,当p≠0,从数列⎨a⎬不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一
0⎨a⎬
所以,当n>
1-b1,即n-1>
-b1,即(n-1)d<
-b时,b
=b+(n-1)d<
b-b
=0,这与
dd
1n111
(2)当p<
0时,令p0n+1-p0<
0,解得,n>
1-2,
022p
当n>
1-
p0
时,an<
0恒成立,
0矛
n1n11dn
e+1
所以k∈(-
e
(2)g'
(x)=
-1-2kx>
0得2kx
x
+x-1<
0,注意到x>
0,得0<
x<
4k
所以g(x)的单调递增区间为
0-1+
1+8k
a,得
(,
4k4k
k<
1-a
2a2
1-a
所以a≥1,又a=1时,D⊆(0,a]⇔-1+
1+8k4k
≤1⇔
≤4k+1⇔k2≥0,
1-x
(3)设f(x)=lnx-x-k,x∈(0,e),则f'
-1=
所以f(x)在(0,1)上单调递
增,在(1,e)上单调递减,f
(1)=-1-k,f(e)=1-e-k,因此f(x)在区间(0,e)上有两个
⎩f(e)<
0
⎨
当⎧f
(1)>
0,即1-e<
k<
-1时,因为f(ek)=-ek<
0,ek<
1,结合f(x)在(0,1)上单调
⎧f
(1)>
递增,得在区间f(x)在(0,1)上存在唯一零点,而
,及f(x)在(1,e)上单调递减,
得f(x)在区间(1,e)上存在唯一零点,故f(x)在区间(0,e)上有两个零点的充要条件为
33112
∴ξ的分布列为
C35
∴Eξ=
ξ
P
1
3
131
555
=
6
(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C,则P(C)=C41,
—4
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则
21
P(A)=C5=1,P(AB)=C41,
C32C35
P(A)5
{2,3},{1,2,3},则所有满足题意的集合对(A,B)为({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}),
(2)设A中的最大数为k,其中1≤k≤n-1,整数n≥3,则A中必含元素k,另元素
1,2,L,k-1可在A中,故A的个数为:
C0
k-1
+L+Ck-1=2k-1,B中必不含元素
1,2,L,k,另元素k+1,k+2,L,n可在B中,但不能都不在B中,故B的个数为:
n-k
n-kn-k-
=2n-k-1,
从而集合对(A,B)的个数为2k-1⋅(2n-k-1)=2n-1-2k-1,
n-1
所以,an=(2
k=1
-2k-1
)=(n-1)⋅2
-1-2n-11-2
=(n-2)⋅2
2016高考数学模拟题
(2)
),且sin2θ=
1,则sin(θ-
OC=
OB⋅OC=0,则⊗ABC
⎧|2x-1|,x<
⎩2-x,x≥1
若关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有6个不同的
︒
别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区,且AB的长不超过5km,由于条件的限制
AC=akm,a∈[3
3]
,设AB=xkm,问该渔民至少
直线l
被圆截得的弦长与椭圆
C:
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M(0,-1)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:
在坐标平面上是否存在一个
2x
1+x2
,若直线y=e-x是曲线C:
y=
f(x)的
(1)求a,b的值;
nnn3nn
(1)记数列{a}的前n项的和为S,已知S=n2,求证:
数列{a}是数列{a}的等差子列;
的等比子列,求n1的值;
(1)假设这名运动员投篮3次,求恰有2次投进的概率;
(2)假设这名运动员投篮3次,每次投进得1分,未投进得0分;
在3次投篮中,若有2
件“1≤x1
x2
+L+xn
(1)求S2,S4的值;
22
d=,AB=2
,所以S⊗OAB=2⨯2
⨯t=
,当t=2
因为θ∈(0,π
),所以sinθ<
cosθ,因此(sin-cosθ)2=1-sin2θ=1-1=3,所
以sinθ-cosθ=-
,故sin(θ-
π)=
44
24
V
E-FGH
8A-BCD83433
以OB,OC为正交基底建立平面直角坐标系(OB,OC的方向为x,y轴的正方向),
则BC=5,直线BC的方程为x+2y-2
A(4cosα,4sinα),则A到直线BC的距离为
=0,点A在圆x2+y2=16上,设
d=≤
3,-
由函数f(x)的图像可得,
使得函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有6个不同的零点,
⎧0<
-b<
⎪2
2⎪
必须保证方程g(x)=2x
+2bx+1=0在(0,1)上有两个不同的根,⎨3+2b>
0,
⎪
⎪4b2-8>
解得-
(a+1)2
(a+1)2(a+1)2
解:
Sn
=n
,当n≥2
时,an=Sn-Sn-1
=n-n-1即
(an
-1)2=(a
+1)2
化简得an
-1=±
(a
+1)所以an
-an-1
=2或an
=-a
n-1(舍去),
S+Sm2+n2
4(m2+n2)
令n=1,解得a1
Skk
=(m+n)2,又
2(m-n)2
S+S
(m+n)2
-2=
S
k
7.解:
根据题意S△ABD
+S△ACD
=S△ABC,
即1x⋅1⋅sin60︒+122
AC⋅1⋅sin60︒=
1x⋅AC⋅sin120︒,解得:
AC=
x-1
令0<
≤a,解得:
x≥
a-1
又
-5=
5-4a
0,所以
aa-1
令△ABC的面积为y,
则y=
1x⋅AC⋅sin120︒=
⋅x2=
4x-1
[(x-1)+
©
当aa-1
≤2,即2≤a≤3时,y≥
3(2+2)=
,当且仅当x=2时取"
="
;
º
2,即3≤a<
2时,令t=x-1,t∈[2
再令f(t)=
4t4t2
Q1>
1,∴f'
(t)>
0即f(t)在t∈[1,4]上为单调递增函数,
所以fmin(t)=
a-14(a-1)
答:
当2≤a≤3时,养殖区面积的最小值为
平方公里,
当3≤a<
2时,养殖区面积的最小值为
4(a-1)
(1)由题设,可知b=
=1,
x22
又e=,a=,所以椭圆C的方程是+y
(2)法一:
假设存在点T(u,v),若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,
设点A,B的坐标分别为
A(x1,y1),B(x2,y2)
,则x1,2=
6k2+3
uur
因为(x
u,y-
uur=(x
u,y
v)及y
=kx
-1,y
-1,
TA11
v),TB22
113223
所以,TA⋅TB=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
=(k2+1)xx-(u+1k+kv)(x+x)+u2+v2+2v+1
1231239
(6u2+6v2-6)k2-4ku+(3u2+3v2+2v-5)
,
当且仅当→→恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T,
TA⋅TB=0
⎧6u2+6v2-6=0,
所以⎪u=0,
39
⎧x2+y2=1
⎧x=0
解得⎨y=1
⎩⎪39⎩
当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为x2+y2=1,过点T(0,1);
当直线l的斜率存在,设直线方程为y=kx-1,代入椭圆方程,
⎧x+x=
12k,
⎪1218k2+9
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则⎨-16
⎩⎪12
18k2+9
→→及y
QTA=(x1,y1-1),TB=(x2,y2-1)
→→
∴⋅=xx
(y
-1)(y
-1)
TATB1212
=(k2+1)xx-4k(x+x)+16
123129
=-16(k2+1)-4⋅12k+16=
18k2+93k18k2+990
⎧a-lnx0-1=-1
根据题意得,,
⎩e-x0=ax0+b-x0lnx0
⎧a=lnx0
⎩b=e-x0
又f
(1)=1=a+b=lnx0+e-x0
令h(x)=lnx-x+e-1(x>
1),h'
(x)=1-1,所以h(x)在(1,+∞)为单调递减函数,
(2)因为f(x)=x-xlnx(0<
1),f'
(x)=1-lnx-1=-lnx>
所以f(x)在(0,1)上为单调递增函数;
要证上式成立,只要证n-nlnn>
n2-1
2nn2+1
'
,即证lnn-
(n2-1)2
n2+1
令r(n)=lnn-(0<
n<
1),r(n)=
n(n2
+1)
所以r(n)在(0,1)为单调递增函数,所以r(n)<
r
(1)=0,
所以lnn-
(2)根据题意,a3=a5-2d=6-2d,公比q=6-2d,
所以an
1-2d
又a=a5+(n1-5)d=6+(n1-5)d,
366
所以d=1,n1=8或d=2,n1=11或d=-3,n1=6,
设数列{a
}为{an}的等差子列,公差为d,则an
=a⋅qnk-1,a
nk+1
=a⋅qnk+1-1,
所以a
ank
=a1
当q>
1时,qnk+1-nk-1≥q-1,所以d
=ank+1
≥a1
取nk
1+logq
,所以a
当q<
1时,d
⋅
qnk-1⋅qnk+1-nk-1≤a
qnk-1⋅(qnk+1-nk
+1)<
2a1
qnk-1,
1+logq
所以ξ的分布列是
0.008
0.096
0.128
0.256
0.512
若x1+x2+L+xn=k(1≤k≤m),只要x1,x2,L,xn中有k个取1或-1其余均取0即可,共有Ck⋅(C1)k=2k⋅Ck,所以
n2n
Sn=C12+C222+L+Cm2m
C020+C121+C222+L+Cm2m+(Cm+1-1)2m+1+L+(Cn-1)2n
=C020+C121+C222+L+Cn2n-(2m+1+2m+2+L+2n)
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