《材料力学》扭转习题解Word文档格式.docx
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(2)作钻杆的扭矩图
T(x)=—mx=—牛X=-0.0133x。
x<
^[0,40]
T(0)=0;
T(40)=Me=—0.5305kNm)
扭矩图如图所示。
[习题3-3]圆轴的直径d=50mm,转速为120r/min。
若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa,试问所传递的功率为多大?
资料个人收集整理,勿做商业用途
(1)计算圆形截面的抗扭截面模量:
13
Wp=—血3
P16
(2)计算扭矩
133
=16®
4159倔=24544(mm)
2
=60N/mm
23
T=60N/mmx24544mm=1472640N・mm=1.473(kN・m)
(3)计算所传递的功率
T=Me=9.549山=1.473(kN-m)
Nk=1.473x120/9.549=18.5(kW)
[习题3-4]空心钢轴的外径D=100mm,内径d=50mm。
已知间距为I=2.7m的两横截
面的相对扭转角W=1.8°
,材料的切变模量G=80GPa。
试求:
(1)轴内的最大切应力;
(2)当轴以n=80r/min的速度旋转时,轴所传递的功率。
解;
(1)计算轴内的最大切应力
144
IP=_曲(1-G4)P32
Wp=丄兀D3(1-a4)P16
式中,a=d/D。
=右^3.14159>
:
1004x(1-o.54)=9203877(mm4)。
1
=—天3.14159X1003X(1-0.54)=184078(mm3)
GIp
T=!
Gk」.8y14159/18Z80000N/mm2“203877mm4
2700mm
=8563014.45Nmm
=8.563(kNm)
亠85空化55=46.518MPaWp
184078mm3
(2)当轴以n=80r/min的速度旋转时,轴所传递的功率
T=Me=9.549巴=9.549X山=8.563(kNm)
n80
Nk=8.563x80/9.549=71.74(kW)
[习题3-5]实心圆轴的直径d=100mm,长I=1m,其两端所受外力偶矩Me=14kNg,
材料的切变模量G=80GPa。
试求:
(1)最大切应力及两端面间的相对转角;
(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;
(3)C点处的切应变。
(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角
_T_
二W
_Me
—o
Wp
式
Wp=—兀d3
p16
=—X
16
3.1
4mm3)。
0故:
Sax
M—Zn=71.302MPa
/p196349mm3
GIp
式中,I
11
丄;
Id4=丄><3.14159;
<1004
3232
14000Nmx1m
9
6
=9817469(mm4)。
故:
_80X109N/m2天9817469冥10'
2m4_0.0178254(rad)"
「O2
(2)求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向
IA=TB=Tmax=71.303MPa
由横截面上切应力分布规律可知:
5=—5=0.5X71.302=35.66MPa
A、B、C三点的切应力方向如图所示。
(3)计算C点处的切应变
3
G80x103MPa
tc35-66MPa=44575>
d0S0.446x10」
[习题3-6]图示一等直圆杆,已知d=40mm.
a=400mm,G=80GPa,Wdb=1°
试
求:
(1)最大切应力;
(2)截面A相对于截面C的扭转角。
(1)计算最大切应力
从AD轴的外力偶分布情况可知:
TAB
—Tcd
=Me,Tbc=0。
Tili
Tdc』dc丄
=z
=T
GIp®
Tcb
%B
4
式中,
Me
Imax:
■IcB
Mea丄0£
Mea
+=
Ip=丄兀d4
p32
=—X3.14159X404=251327(mm4)。
80000N/mm^251327mm43-^=877296Nmm
400mm
式中,Wp二存宀存3.141妙403=12566(mm3)。
Tmax
Me877296Nm^69.815MPa
12566mm3
(2)计算截面A相对于截面C的扭转角
5PTihTab'
Iab丄Tbc"
IbcMe*2a丄0£
2Me^cO
*AC=乙—〒—F——2十DB=2
GIP
GIpGIpGIpGIpGIpGIp
[习题3-7]某小型水电站的水轮机容量为50kW,转速为300r/min,钢轴直径为75mm,若
在正常运转下且只考虑扭矩作用,其许用切应力
[t]=20MPa。
试校核轴的强度。
资料个人
收集整理,勿做商业用途
(1)计算最大工作切应力
%x
WpWp
式中,M-9.549N^^9.54^300.1.592(kN.m);
Wp=1rd3=1r3.14159汐53=125qmm3)。
故:
Tmax—
=1592000Nym=19.219MPa82835mm
(2)强度校核
因为Tmax=19.219MPa,[可=20MPa,即Tmax<[t],所以轴的强度足够,不
会发生破坏。
[习题3-8]已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径D=60mm,内径d
P=7.355kW,转速n=180r/min,钻杆入土深度I=40m,钻杆材料的
=50mm,功率G=80GMPa,
许用切应力[叮=4OMPa。
假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求:
资料个人收集
整理,勿做商业用途
(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核;
(3)两端截面的相对扭转角。
(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度
Me=9.549吐
=9.549J355
——=0.390(kNE)
SMx=0
m=MA=0^=0.00975(kN/m)
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
T(X)=-mx=
039
一石x—0.00975x。
円0,40]
T(0)=0;
T(40)=Me=—0.390(kNm)
②强度校核
"
1150
叫二評3^4"
-3.14159“0*1爲),21958(mm3)
^^^390000^^^17.761“pa
Wp21958mm3
因为Tmax=17.761MPa,[t]=40MPa,即Wax<[i],所以轴的强度足够,不
(3)计算两端截面的相对扭转角
_40T(x)dx
式中,Ip=—;
iD4(1-a4)=—x3.14159x604x[1-(—)4]=658752(mm4)
323260
半=f0|T(x)|dx=丄f0O.OO975xdx=60.00975[―]40
bGIpGIp080x106kN/m2x658752>
d0」2m42
=0.148raX8.50
[习题3-9]图示绞车由两人同时操作,若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力
F均为0.2kN,
已知轴材料的许用切应力[可=40MPa,试求:
资
料个人收集整理,勿做商业用途
(1)AB轴的直径;
(2)绞车所能吊起的最大重量。
(1)计算AB轴的直径
AB轴上带一个主动轮。
两个手柄所施加的外力偶矩相等:
Me左==0.2X0.4=0.08(kN忡)
□尸
Me主动轮=2Me右=0.16(kNm)
由AB轴的强度条件得:
Me右哼W]
兀d3
_3f16X80000N^m^
V3.14159x40N/mm2
=21.7mm
(2)计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等:
Me从动轮
0.2
0.35
Me从动轮—
由卷扬机转筒的平衡条件得:
PXO.25=Me从动轮
PX0.25=0.28
P=0.28/0.25=1.12(kN)
[习题3-10]直径d=50mm的等直圆杆,在自由端截面上承受外力偶Mg=6kN,m,而在
圆杆表面上的A点将移动到A1点,如图所示。
已知is-AAj=3mm,圆杆材料的弹性模
量E=210GPa,试求泊松比V(提示:
各向同性材料的三个弹性常数
E、G、V间存在如
下关系:
G=——E——。
资料个人收集整理,
勿做商业用途
2(1+v)
整根轴的扭矩均等于外
力偶矩:
T=Me=6kN,m。
设0,01两截面之间的相对对转
角为W,则Ad,护=2^s
习题
GIPd
IP=茹宀扩3.14159倔-613592(mm4)
G=T
ld6%1O6Nmmx1000mmx50mm
2lpAs
2x613592mm4咒3mm
=81487.372MPa=81.4874GPa
由G=—E—得:
2G2X81.4874
-1=0.289
[习题3-11]直径d=25mm的钢圆杆,受轴向拉
60kN作用时,在标距为200mm的长度内
伸长了0.113mm。
当其承受一对扭转外力偶矩Me=0.2kN^m时,在标距为200mm的长度
内相对扭转了0.732°
的角度。
试求钢材的弹性常数G、G和V。
(1)求弹性模量
阳NI
也I=——
EA
NI
60000NX200mm
0.25X3.14咒252mm2X0.113mm
=216447.8MPa=216.448GPa
(2)求剪切弹性模量G
14144
Ip=护=扩3.14159>
^25=383怨mm)
Glp
G亠-4
护」P(0.732X3.14/180)X38349mm4
O."
10N^mmc200mm=81684136MPa=81.7GPa
(3)泊松比V
由6=亠得^煌亠2^亠O.325
2(1+v)
2咒81.684
[习题3-12]长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者的材料相同,
受力情况也一样。
实心轴直径为d;
空心轴的外径为
D,内径为do,且屯=0.8。
试求当
D
空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力
(Tmax=k]),扭矩T相等时的重量
比和刚度比。
资料个人收集整理,勿做商业用途解:
(1)求空心圆轴的最大切应力,并求
Wp=丄兀D3(1-a4),故:
O
%
^max,空
16T
343
兀D3(1-0.84)兀D3
2"
W]
D327.仃
(1)求实心圆轴的最大切应力
5ax
Jax,实
d3
(?
)
Wp=丄叱3,故:
中]
27.仃
16V[t]
16T九69375
D=1.192
d
(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比
「O.25®
2;
*2)"
.(D)2(1_O.82)=O.36(E)2=0.36U192^0.512
W实0.25id2Idd
(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
I卩空=丄;
iD4(1-0.84)=0.018457rD4p32
=一闵4=0.031257Td432
GIp空
0.01845iD
0.03125rd4
=O.59O4(¥
)4=0.5904xl.1924=1.192
[习题3-13]
全长为I,两端面直径分别为di,d2的圆台形杆,在两端各承受一外力偶矩Me
,如图所示。
如图所示,取微元体dx,则其两端面之间的扭转角为:
试求杆两端面间的相对扭转角。
GI
Ip
=—^d4
32
r2—r1
d2
21
X+di
d2_*d=2r=——1
d4
d2-di
du
dx
l32叭竺码丄讥彳2"
」嚳
u4d2-dr~4
jid4
ttG
30
兀GQ-dJ0u
ldu
7iG(d2-djNu4
32Mel
32Mel
[-丄r兀G(d2-dj3u30
3i:
G(d^d1)
Ux+dJ
‘11r
d1-d2
‘d;
+dd+d;
r
3兀G(d2—dj
2厂d13丿
3rG(d^d2)
1d1d2丿
—3tG
」3.3
d1do
<
^2/
l
[习题3-14]已知实心圆轴的转速
n=300r/min,传递的功率p=330kW,轴材料的许用
切应力[可=60MPa,切变模量
G=80GPa。
若要求在2m长度的相对扭转角不超过1°
试求该轴的直径。
资料个人收集整理,
Tl
—丄丄
Mel
兀
1x——
式中,M
N3301
e"
549计=9.549>
c-=10.504(kN・m);
d^W。
IpX
180Mel
1——兀
/32X180Meld珂一
兀2G
j32x180X10.504X106N-mm^2000mm
3.142x80000N/mm2
=111.292mm
取d=111.3mm。
MB=7.20kN、m,
严'
]=1o/m,切变模
[习题3-15]图示等直圆杆,已知外力偶MA=2.99kN-m,
MC=4.21kNE,许用切应力[T]=70MPa,许可单位长度扭转角
量G=80GPa。
试确定该轴的直径d。
(1)判断危险截面与危险点
作AC轴的扭矩图如图所示。
因最大扭矩出出在BC段,所以危险截面出现在BC段,危险点出现在圆周上。
切强度条件求d。
(2)计算危险点的应力(最大工作切应力),并代入剪
Tr晋w]
d、訂—BCj16x4.21>
d06N”mm
1V石厂V
16Tbc
3.14x70N/mm2
=67.42mm
(3)计算最大单位长度扭转角(出现在BC段),
并代入扭转刚度条件求d。
7?
少=一
(7;
p
T
G•咳
HkN.m
4.21
rq
c
4工详事=輕型仝疋=00744.=恥
71^x80x10®
(4)确定d值
dXmaX^a)=74.4(mm)
[习题3-16]阶梯形圆杆,AE段为空心,外径D=140mm,内径d=100mm;
BC段为实心,直径d=100mm。
外力偶矩MA=18kNm,Mb=32kNrn,Me=14kNrn,
许用切应力[可=80MPa,许可单位长度扭转角[0]=1.2o/m,切变模G=80GPa。
校核该轴的强度和刚度。
集整理,勿做商业用途
(1)AB段的强度与刚度校核
资料个人收
Tab=—MA=T8kNE
A-~f
Tab
式中,叽16
bmax,AB
=丄兀D3(1—a4)=丄x3.14159X1403x[1—(迴)4]=398533(mm3)1616140
max,AB
J8"
0N=45.166MPa<
[口=80MPa符合度条件。
398533mm3
◎ab
w|TabI180
=—=X
lGIp兀
=3rD4(j4)=r3-14159x1404m(100)4]=2789731qmm4)
AB=—=
lGIp
|Tab|」8018000Nmx180
X=92124
兀80x10N/mX27897319X10-mx3.14
=0.462(°
/m)屮'
]=1.2o/m
符合刚度条件。
(2)BC段的强度与刚度校核
Tbc=Mc=14kN
Tbc
Tmax,BC=
式中,Wp=丄;
Id3
=亦咒3.14159咒1003=196349(mm3)
T—
打max,AB~
VVp
Tbc14x106Nmm
196349mm3J.302”Pa<
E=80MPa符合度条件。
式中,Ip
TGIp
X
=丄兀d4
=—x3.14159^100^9817469(mm4)
l"
=9——14°
°
NE1804=1.02(°
/m)<
[©
]=1.2°
/m
80X10N/m^9817469X10mX3.14
综合
(1)、
(2)可知,该轴符合强度与刚度条件。
[习题3-17]习题
3-1中所示的轴,材料为钢,其许用切应力
[T]=20MPa,切变模
G=80GPa,许可单位长度扭转角[炉]=2.5°
/m。
试按强度条件及刚度条件选择圆轴的
直径。
(1、由强度条件选择直径
轴的扭矩图如图所示。
因为最大扭矩出现在II、III轮之间,所以危险截面出现在
此段内,危险点在此段的圆周上。
TiI-III
彳空咤业叫80mm
3.14X20N/mm2
(2)由刚度条件选择直径
CP'
=—180°
GIp兀
「咤10=80〉鮎
94
80x10xjid兀xio
2.006泸严警=02仏
际曲g
故选用d=875110。
[习题3-18]一直径为d的实心圆杆如图所示,在承受扭转力偶Me后,测得圆杆表面与纵
向线成45°
的方向上的线应变为S。
试导出以Me,d和s表示的切变模量G的表达式。
资料个人收集整理,勿做商业用途
圆杆表面贴应变片处的切应力为
圆杆扭转时处于纯剪切状态,图(
a)。
(
图(a)
切应
T16甌y二一二一变0TT
1)对角线方向线应变:
忖4亍84匚T二上
i2
/=2f
2看网
式
(2)代入
(1):
K
[习题3-19]有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管,其长度为1m,作用在轴两端面内的外力偶矩为180kNm。
试确定管中的最大切应力,并求管内的应变能。
已知材料的切变模量G=80GPa。
(1)求管中的最大切应力
TT
^max=
1P
180x10^x150x10-^32x180x150x10^^皿
71x42xl0^
J7=3=65.5MPa
130x180x10^x1
耳二——二d_=0.491kNm
[习题3-20]一端固定的圆截面杆AB承受集度为m的均布外力偶作用,如图所示。
试求杆内积蓄的应变能。
已矩材料的切变模量为Go资料个人收集整理,
dV^T_^4
2GIP2G•丄兀d4
m2x2dx
.-22,
16mxdx
223
V厂整0x2dx」6ml
m2]3
6•丄兀d4G
m2l3
6GI
受拉力F
=0.5kN作用,弹簧的
[习题3-21]簧杆直径d=18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧,平均直径为D=125mm,材料的切变模量G=80GPa。
(1)簧杆内的最大切应力;
(2)为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。
解:
16网
“F"
,
「+2
牝一34x5.95-324.7
4x6-95+2277一,
==1上
16沁5X伸冥私技]严二?
2呂甌皿
因为
0占
Gd*
64x0/10^x(625)?
xWr
1000
弘10叭(让yxlO』
6x3x10.55x10^一
n=r=D
64x0.5x2.44x10'
^圈
[习题
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