高一数学人教A版必修一 321几类不同增长的函数模型 学案Word文档格式.docx
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[导入新知]
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>
1),y=logax(a>
1)和y=xn(n>
0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大,y=ax(a>
1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>
0)的增长速度,而y=logax(a>
1)的增长速度则会越来越慢.
因此,总会存在一个x0,使得当x>
x0时,就有logax<
xn<
ax(a>
1,n>
0).
[化解疑难]
对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势
函数
性质
y=ax(a>
1)
y=logax(a>
y=xn(n>
0)
在(0,+∞)上的增减性
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着x的增大逐渐加快增大
随着x的增大逐渐减慢增大
随n值的不同而不同
考查函数模型的增长差异
[例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
10
20
30
y1
26
101
226
401
626
901
y2
1024
32768
1.05×
106
3.36×
107
1.07×
109
y3
40
50
60
y4
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
[解析] 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数函数变化.
[答案] y2
[类题通法]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>
0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>
1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>
1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
幂函数y=xn(n>
0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[活学活用]
今有一组实验数据如下:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.v=log2t B.v=log
C.v=
D.v=2t-2
解析:
选C 从表格中看到此函数为单调增函数,排除B,增长速度越来越快,排除A和D,选C.
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<
x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2017),g(2017)的大小.
[解]
(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f
(1)>
g
(1),f
(2)<
g
(2),f(9)<
g(9),
f(10)>
g(10),
∴1<
x1<
2,9<
x2<
10,
∴x1<
6<
x2,2014>
从图象上可以看出,当x1<
x<
x2时,f(x)<
g(x),
∴f(6)<
g(6).
当x>
x2时,f(x)>
∴f(2014)>
g(2014).
又∵g(2014)>
g(6),
g(2014)>
g(6)>
f(6).
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;
图象趋于平缓的函数是对数函数.
函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较].
解:
(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当x<
x1时,g(x)>
f(x);
当x1<
g(x);
x2时,g(x)>
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
函数模型的选取
[例3] 某汽车制造商在2017年初公告:
公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份/年
2014
2015
2016
产量/万辆
18
如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:
二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·
bx+c(a≠0,b>
0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系?
[解] 建立年生产量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得
解得a=1,b=7,c=0,
则f(x)=x2+7x,
故f(4)=44,与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)=a·
0,b≠1),
将点坐标代入,可得
解得a=
,b=
,c=-42,
则g(x)=
·
x-42,
故g(4)=
4-42=44.4,与计划误差为1.4.
由①②可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系.
不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
某学校为了实现100万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:
在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y随生源利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:
y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).观察图象可知,在区间[5,100]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
[典例] 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y=
ex B.y=100lnx
C.y=x100D.y=100·
2x
[解析] 指数爆炸式形容指数函数.
又∵e>
2,
∴
ex比100·
2x增大速度快.
[答案] A
[易错防范]
1.影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数,而并非其系数,本题易发生误认为100>
,所以100·
2x比
ex增大速度快的错误结论.
2.函数y=a·
bx+c(b>
0,且b≠1,a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>
1,a>
0),常形象地称为指数爆炸.
四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>
1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x
选D 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x,故选D.
[随堂即时演练]
1.下列函数中,随着x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=50 B.y=1000x
C.y=2x-1D.y=
lnx
选C 指数函数模型增长速度最快,故选C.
2.三个变量y1,y2,y3,随着自变量x的变化情况如下表:
135
625
1715
3645
6655
29
245
2189
19685
177149
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2
选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;
指数函数的增长速度成倍增长,y2随x的变化符合此规律;
幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1随x的变化符合此规律,故选C.
3.若a>
0,那么当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是________.
∵a>
0,
∴函数y1=ax,y2=xn,y3=logax都是增函数.
由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知,当x足够大时,ax>
xn>
logax.
答案:
ax>
logax
4.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(1,+∞)上增长较快的一个是________.
当x变大时,x比lnx增长要快,
∴x2比xlnx增长要快.
y=x2
5.某地发生地震,各地纷纷捐款捐物,甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区.甲公司的代表说:
“在10天内,我们公司每天捐款5万元给灾区.”乙公司的代表说:
“在10天内,我们公司第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元.”丙公司的代表说:
“在10天内,我们公司第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.”你觉得哪个公司在10天内捐款最多?
三个公司在10天内捐款情况如下表所示:
甲公司
乙公司
丙公司
第1天
0.1
第2天
0.2
第3天
0.4
第4天
0.8
第5天
1.6
第6天
3.2
第7天
6.4
第8天
12.8
第9天
25.6
第10天
51.2
总计
55
102.3
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元,即丙公司在10天内捐款最多.
[课时达标检测]
一、选择题
1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如下图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
选D 由题图可知,甲到达终点用时短,故选D.
2.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<
4时,有( )
A.y1>
y2>
y3 B.y2>
y1>
C.y1>
y3>
y2D.y2>
选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>
y3.
3.有一组实验数据如下表所示:
y
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A.y=logax(a>
B.y=ax+b(a>
C.y=ax2+b(a>
D.y=logax+b(a>
选C 通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变,故选C.
4.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x>
>
lgxB.2x>
lgx>
C.x
2x>
lgxD.lgx>
选A 结合y=2x,y=x
及y=lgx的图象易知,当x∈(0,1)时,2x>
lgx.
5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( )
选D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D.
二、填空题
6.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
…
1.585
2.322
2.585
2.807
其中,关于x呈指数函数变化的函数是____________________.
从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:
年)的函数关系如图所示.
以下四种说法:
①前三年产量增长的速度越来越快;
②前三年产量增长的速度越来越慢;
③第三年后这种产品停止生产;
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的序号是________.
由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xα(0<
α<
1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.
②③
8.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.
其中,正确信息的序号是________.
看时间轴易知①正确;
骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;
两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.
①②③
三、解答题
9.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x
的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x
,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.
由题图知,当x<
1时,f(x)>
h(x)>
当1<
e时,f(x)>
g(x)>
h(x);
当e<
a时,g(x)>
f(x)>
当a<
b时,g(x)>
当b<
c时,h(x)>
当c<
d时,h(x)>
d时,f(x)>
g(x).
10.截止到1999年底,我国人口约为13亿,若今后能将人口平均增长率控制在1%,经过x年后,我国人口为y(单位:
亿).
(1)求y与x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数y=f(x)的定义域;
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数,并指出函数增减的实际意义.
(1)1999年底人口数:
13亿.
经过1年,2000年底人口数:
13+13×
1%=13×
(1+1%)亿.
经过2年,2001年底人口数:
13×
(1+1%)+13×
(1+1%)×
1%
=13×
(1+1%)2亿.
经过3年,2002年底人口数:
(1+1%)2+13×
(1+1%)2×
(1+1%)3亿.
∵经过年数与(1+1%)的指数相同,
∴经过x年后人口数为13×
(1+1%)x亿.
∴y=f(x)=13×
(1+1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间,
∴x∈N*是此函数的定义域.
(3)y=f(x)=13×
∵1+1%>
1,13>
(1+1%)x是增函数,
即只要递增率为正数,随着时间的推移,人口的总数总在增长.
11.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估计以后每个月的产量,以这3个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·
bx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问:
用以上哪个函数作为模拟函数较好?
请说明理由.
设两个函数:
y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0),y2=g(x)=a·
bx+c.
依题意,
解得
∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,
∴f(4)=1.3(万件).
依题意,得
∴y2=g(x)=-0.8×
0.5x+1.4.
∴g(4)=-0.8×
0.54+1.4=1.35(万件).
经比较,g(4)=1.35(万件)比f(4)=1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件.
∴选y2=g(x)=-0.8×
0.5x+1.4作为模拟函数较好.
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