沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试题Word文档下载推荐.docx
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10.已知等腰△ABC中,AD垂直于直线BC,垂足为点D,且AD=
BC,则△ABC底角的度数为( )
A.45°
B.75°
C.45°
或75°
或15°
D.60°
二、填空题
11.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°
方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°
方向航行________海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.
12.在三角形纸片
中,
,
,点
(不与
重合)是
上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若
的长度为
,则
的周长为__________.(用含
的式子表示).
13.如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,P,Q分别是边AC,AB上的点,且AP=PQ=QC=BC,则∠PCQ的度数为________.
14.在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,若要在直线BC或直线AC上取一点P,使△ABP是等腰三角形,符合条件的点P有个点.
三、解答题
15.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4,4),B(1,3),C(1,0),D(3,1),在平面直角坐标系内分别作出四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.
16.如图,已知AB=AC,AE平分∠DAC,那么AE∥BC吗?
为什么?
17.如图,P为∠MON平分线上一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,求证:
OP垂直平分AB.
18.如图,等腰直角三角形ABC中,CA=CB,点E为△ABC外一点,CE=CA,且CD平分∠ACB交AE于D,∠CDE=60°
.求证:
△CBE为等边三角形.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°
时,求∠DEF的度数.
20.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=
(AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度数.
21.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上(除B,C外)的任意一点,∠ADE=60°
,且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证:
(1)∠1=∠2;
(2)AD=DE.
22.
(1)如图1,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.求∠AEB的大小;
(2)如图2,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠),求∠AEB的大小.
23.
(1)操作发现:
如图①,D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在DC上方作等边三角形DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你发现的结论.
(2)类比猜想:
如图②,当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时,其他作法与
(1)相同,猜想AF与BD在
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?
并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?
若不成立,是否有新的结论?
并证明你得出的结论.
参考答案
1.D
【分析】
根据“一个图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合”求解.
【详解】
A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查的是轴对称图形,掌握轴对称图形的定义是关键.
2.C
【解析】
分析:
根据①11是腰长时,三角形的三边分别为11、11、5,②11是底边时,三角形的三边分别为11、5、5,由三角形的三边关系判断是否可以构成三角形即可.
详解:
①11是腰长时,
三角形的三边分别为11、11、5,能组成三角形,
周长=11+11+5=27;
②11是底边时,
三角形的三边分别为11、5、5,
∵5+5=10<
11,
∴不能组成三角形,
综上所述,三角形的周长为27.
故选C.
点睛:
本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质,要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.
3.D
试题分析:
已知给出了一个内角是50°
,没有明确是顶角还是底角,所以要进行分类讨论,分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.即当该角为顶角时,顶角为50°
;
当该角为底角时,顶角为80°
.故其顶角为50°
.
故填50°
考点:
等腰三角形
4.C
解:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=∠EBC.故选C.
本题考查了等腰三角形的性质,当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,难度不大.
5.A
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=24°
,∵∠A=60°
,∴∠ACB=180°
﹣60°
﹣24°
×
2=72°
,∵BC的中垂线交BC于点E,∴BF=CF,∴∠FCB=24°
,∴∠ACF=72°
=48°
,故选A.
线段垂直平分线的性质.
6.C
根据关于直线x=m的对称点的横坐标的中点在直线上,纵坐标相等;
关于直线y=n的对称点的纵坐标的中点在直线上,横坐标相等,即可得出m,n的值,从而得出结论.
点P(2,3)关于直线x=m的对称点的坐标为(-4,3),∴2m=2-4,解得:
m=-1,
关于直线y=n的对称点的坐标为(2,-5),∴2n=3-5,解得:
n=-1,∴m-n=-1-(-1)=0.
故选C.
本题考查了坐标与图形变化﹣对称,熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键.
7.C
先根据题意画出图形,再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC>90°
即可.
如图,O是边AB和边AC的垂直平分线的交点,
则AO=OB,AO=OC,
所以∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA.
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA,∴∠BAC>∠ABC+∠ACB.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
,∴∠BAC>90°
即△ABC是钝角三角形.
本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,能求出∠BAC>∠ABC+∠ACB是解答此题的关键,用了数形结合思想.
8.D
先求出∠ACD=30°
,然后根据30°
所对的直角边等于斜边的一半解答.
在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°
∴∠ACD+∠DCB=90°
,∠B+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠B=30°
∵AD=3cm.
在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,
在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm,
∴AB的长度是12cm.
本题主要考查直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质.
9.C
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解.
①∵IB平分∠ABC,∴∠DBI=∠CBI.
∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,∴△DBI是等腰三角形.
故本选项正确;
②∵∠BAC不一定等于∠ACB,∴∠IAC不一定等于∠ICA,∴△ACI不一定是等腰三角形.
故本选项错误;
③∵三角形角平分线相交于一点,BI,CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴AI平分∠BAC.故本选项正确;
④∵BD=DI,同理可得EI=EC,∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC.
其中正确的是①③④.
本题考查了等腰三角形的判定与性质,熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键.
10.C
分三种情况讨论,先根据题意分别画出图形,当AB=AC时,根据已知条件得出AD=BD=CD,从而得出△ABC底角的度数;
当AB=BC时,先求出∠ABD的度数,再根据AB=BC,求出底角的度数;
当AB=BC时,根据AD=
BC,AB=BC,得出∠DBA=30°
,从而得出底角的度数.
①如图1,当AB=AC时,
∵AD⊥BC,∴BD=CD,
∵AD=
BC,∴AD=BD=CD,∴底角为45°
②如图2,当AB=BC时,
BC,∴AD=
AB,∴∠ABD=30°
,∴∠BAC=∠BCA=75°
,∴底角为75°
③如图3,当AB=BC时,
BC,AB=BC,∴AD=
AB,∴∠DBA=30°
,∴∠BAC=∠BCA=15°
∴△ABC底角的度数为45°
本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质,关键是根据题意画出图形,注意不要漏解.
11.4
如图:
由题意可得:
∠CPA=30°
,∠DAB=30°
,AP=4,AD⊥PB,
∵CP∥AD,
∴∠PAD=∠APC=30°
∴∠PAD=∠DAB,
∵∠ADP=∠ADB=90°
,AD=AD,
∴△ADP≌△ADB,
∴AB=AP=4,
即该海轮沿南偏东30°
方向航行4海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.
本题考查了方位角和全等三角形的判定和性质,根据题意结合方位角证明出三角形全等是解决此题的关键.
12.3a.
由折叠的性质得:
B点和D点是对称关系,DE=BE,则BE=EF=a,
∴BF=2a,
∵∠B=30°
∴DF=
BF=a,
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a.
本题考查了折叠的性质:
折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应边相等.也考查了含30°
的直角三角形三边的关系:
在直角三角形中,30°
的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
13.(
)°
根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB,∠A=∠AQP,∠QPC=∠QCP,∠BQC=∠B,设∠A=x°
,则∠AQP=x°
,根据三角形的外角性质求出∠QPC=∠PCQ=2x°
,∠BQC=3x°
,∠ACB=∠B=3x°
.在△ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x°
+3x°
=180°
,解方程求出即可.
∵AB=AC,AP=PQ,QP=QC,QC=BC,∴∠ABC=∠ACB,∠A=∠AQP,∠QPC=∠QCP,∠BQC=∠B(等边对等角),
设∠A=x°
∵在△AQP中,∠QPB是外角,∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∵在△BCQ中,∠BQC是外角,∴∠BQC=∠ACQ+∠A(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∴∠BQC=3x°
,∴∠B=3x°
,∴∠ABC=3x°
∵在△ABC中,∠A+∠ACB+∠B=180°
,∴x°
(三角形三个内角的和等于180°
),
解得:
x=(
,∴∠PCQ=2x=(
故答案为(
本题主要考查对三角形的内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握,能得到方程x°
是解答此题的关键.
14.6
本题是开放性试题,根据题意,画出图形结合求解.
第1个点在AC上,取一点P,使∠PBA=∠PAB;
第2个点在AC延长线上,取一点P,使AB=PA;
第3个点在CA延长线上,取一点P,使BA=AP;
第4个点取一点P,使AP=BA;
第5个点取一点P,使PB=BA;
第6个点取一点P,使AP=AB.
∴符合条件的点P有6个点.
故填6.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.
15.见解析
分别作出A、B、C、D关于x轴和y轴的对称点,然后顺次连结即可.
如图,四边形A1B1C1D1为四边形ABCD关于x轴对称的图形,四边形A2B2C2D2为四边形ABCD关于y轴对称的图形.
本题考查了轴对称变换.解题的关键是学会作关于坐标轴的对称点.
16.AE∥BC
根据等边对等角可得∠B=∠C,再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC=2∠B,根据角平分线的定义可得∠DAC=2∠DAE,然后求出∠B=∠DAE,最后根据同位角相等,两直线平行证明即可.
试题解析:
AE∥BC.理由如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=∠B+∠C=2∠B,∵AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠DAE,∴∠B=∠DAE,∴AE∥BC.
17.证明见解析
因为角度是一个轴对称图形,它的对称轴是这个角的角平分线,因此OM与ON关于OP对称,PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB,A点和B点关于OP对称,OP垂直平分AB.
证明:
∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠OAP=∠OBP=90º
又∵∠AOP=∠BOPOP=OP
∴△OAP≌△OBP(AAS)
∴OA=OB,则△OAB为等腰三角形
OP是∠AOB的平分线,OP垂直平分AB
1.角平分线的性质;
2.等腰三角形的性质;
3.三角形全等的判定和性质.
18.证明见解析
首先利用等腰三角形的性质得出,∠CAE=∠CEA,再利用外角的性质得出∠BCE的度数,进而利用等边三角形的判定得出答案.
∵CA=CB,CE=CA,∴BC=CE,∠CAE=∠CEA.
∵CD平分∠ACB交AE于D,且∠CDE=60°
,∴∠ACD=∠DCB=45°
,∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°
,∴∠DAC=∠CEA=15°
,∴∠ACE=150°
,∴∠BCE=60°
,∴△CBE为等边三角形.
本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形外角的性质等知识,正确得出∠BCE=60°
是解题的关键.
19.
(1)证明见解析;
(2)65°
⑴由AB=AC,可知∠B=∠C,根据题意易得△BDE≌△CEF(SAS),从而得到DE=EF,命题得证.
⑵因为∠A=50°
,所以∠B=∠C=65°
,由⑴可知,∠BDE=∠CEF,所以∠DEB+∠CEF=
∠DEB+∠BDE=115°
,从而∠DEF=180°
-115°
=65°
.
⑴∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△BDE和△CEF中,
,
∴△BDE≌△CEF(SAS),则DE=EF,故△DEF是等腰三角形.
⑵在△ABC中,∵∠A=50°
,∴∠B=∠C=65°
∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,
∴∠DEB+∠CEF=∠DEB+∠BDE=180°
-65°
=115°
则∠DEF=180°
-(∠DEB+∠CEF)=180°
20.180°
延长AD过C作CF⊥AD于F,由条件可证△AFC≌△AEC,得到CF=CE.再由条件
可证BE=DF,所以△CDF≌△CEB,由全等的性质可得∠ABC=∠CDF,问题可得解.
过C作CF⊥AD于F.
∵AC平分∠BAD,∴∠FAC=∠EAC.
∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠DFC=∠CEA=90°
,∴△AFC≌△AEC(AAS),∴AF=AE,CF=CE.
∵
,∴2AE=AB+AD.
又∵AD=AF﹣DF,AB=AE+BE,AF=AE,∴2AE=AE+BE+AE﹣DF,∴BE=DF.
∵∠DFC=∠CEB=90°
,CF=CE,∴△CDF≌△CEB(SAS),∴∠ABC=∠CDF.
∵∠ADC+∠CDF=180°
,∴∠ABC+∠ADC=180°
本题考查了全等三角形的判定和性质,常用的判断方法为:
SAS,SSS,AAS,ASA.常用到的性质是:
对应角相等,对应边相等.有时还需要证“两步”全等.
21.证明见解析
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴
∴∠1=∠2;
(2)如图,在
上取一点
,使BM=BD,连接MD.
∵△ABC是等边三角形
∴△BMD是等边三角形,
.
∵CE是△ABC外角
的平分线,
.
,即
∴△AMD≌△DCE(ASA).
∴AD=DE.
等边三角形的性质,三角形外角的性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质
本题知识点较多,综合性强,是中考常见题,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
22.
(1)60°
(2)60°
(1),由△DOC和△ABO都是等边三角形,且点O是线段AD的中点,可得OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°
,∠4=∠5,从而利用外角的性质可得∠AEB=∠4+∠6=∠4+∠5=∠2=60°
(2)由△DOC和△ABO都是等边三角形,且点O是线段AD的中点,可得OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°
,∠4=∠5,∠6=∠7,根据三角形内角和可得∠5=∠6,从而利用外角的性质可得∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2.
(1)如图3,
∵△DOC和△ABO都是等边三角形,
且点O是线段AD的中点,
∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°
∴∠4=∠5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°
∴∠4=30°
同理∠6=30°
∵∠AEB=∠4+∠6,
∴∠AEB=60°
(2)如图4,
∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°
∴OD=OB,OA=OC,
∴∠4=∠5,∠6=∠7.
∵∠DOB=∠1+∠3,
∠AOC=∠2+∠3,
∴∠DOB=∠AOC.
∵∠4+∠5+∠DOB=180°
,∠6+∠7+∠AOC=180°
∴2∠5=2∠6,
∴∠5=∠6.
又∵∠AEB=∠8﹣∠5,∠8=∠2+∠6,
∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2,
本题主要考查的是等边三角形性质,三角形外角的性质,三角形的内角和定理的应用,熟练掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解答本题的关键.
23.
(1)AF=BD
(2)AF=BD仍然成立(3)Ⅰ.AF+BF′=AB.Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′
(1)AF=BD.证明如下:
∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°
(等边三角形的性质).
同理知,DC=CF,∠DCF=60°
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF.
在△BCD和△ACF中,∵BC=AC,∠BCD=∠ACF,DC=CF,
∴△BCD≌△ACF(SAS).∴BD=AF(全等三角形的对应边相等).
(2)AF=BD仍然成立.
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB.证明如下:
由
(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF.
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD.
∴AF+BF′=BD+AD=AB.
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′.证明如下:
在△BCF′和△ACD中,∵BC=AC,∠BCF′=∠ACD,F′C=DC,
∴△BCF′≌△ACD(SAS).∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等).
又由
(2)知,AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;
然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD.
(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD.
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;
利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB.
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′:
通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等),再结合
(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′
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