1、10已知等腰ABC中，AD垂直于直线BC，垂足为点D，且ADBC，则ABC底角的度数为（）A45 B75 C45或75或15 D60二、填空题11如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30方向航行_海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处12在三角形纸片中，点（不与重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若的长度为，则的周长为_（用含的式子表示）13如图，已知在等腰三角形ABC中，ABAC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且APPQQCBC，则PCQ的度数为_14在RtABC中，C=90，A=30，若要在直线BC或直线AC上取一点P，使ABP
2、是等腰三角形，符合条件的点P有 个点三、解答题15如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（1，0），D（3，1），在平面直角坐标系内分别作出四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形16如图，已知ABAC，AE平分DAC，那么AEBC吗？为什么？17如图，P为MON平分线上一点，PAOM于A，PBON于B，求证：OP垂直平分AB18如图，等腰直角三角形ABC中，CACB，点E为ABC外一点，CECA，且CD平分ACB交AE于D，CDE60.求证：CBE为等边三角形19如图，在ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，
3、BD=CE.（1）求证：DEF是等腰三角形；（2）当A=50时，求DEF的度数.20如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE（ABAD），求ABCADC的度数21如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B，C外）的任意一点，ADE60，且DE交ABC外角ACF的平分线CE于点E.求证：（1）12；（2）ADDE.22（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC求AEB的大小；（2）如图2，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和
4、OCD不能重叠），求AEB的大小23（1）操作发现：如图，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：.如图，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结
5、论.如图，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论参考答案1D【分析】根据“一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合”求解【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选D【点睛】本题考查的是轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键.2C【解析】分析：根据11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，由三角形的三边关系判断是否可以构成三角形即可详解：11是腰长
6、时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，周长=11+11+5=27；11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，5+5=1011，不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27.故选C.点睛：本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.3D试题分析：已知给出了一个内角是50，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立即当该角为顶角时，顶角为50；当该角为底角时，顶角为80故其顶角为50故填50考点：等腰三角形4C解：AB=AC，ABC=ACB以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于
7、点E，BE=BC，ACB=BEC，BEC=ABC=ACB，BAC=EBC故选C本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大5ABD平分ABC，DBC=ABD=24，A=60，ACB=18060242=72，BC的中垂线交BC于点E，BF=CF，FCB=24，ACF=72=48，故选A线段垂直平分线的性质6C根据关于直线x=m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等；关于直线y=n的对称点的纵坐标的中点在直线上，横坐标相等，即可得出m，n的值，从而得出结论点P（2，3）关于直线x=m的对称点的坐标为（4，3），2m=24，解得：m=1，关于直线y=n的对称点的
8、坐标为（2，5），2n=35，解得：n=1，m-n=1（1）=0故选C本题考查了坐标与图形变化对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键7C先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出BAC90即可如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，则AO=OB，AO=OC，所以OAB=OBA，OAC=OCABAC=OAB+OAC=OBA+OCA，BACABC+ACBBAC+ABC+ACB=180，BAC90即ABC是钝角三角形本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出BACABC+ACB是解答此题的关键，
9、用了数形结合思想8D先求出ACD=30，然后根据30所对的直角边等于斜边的一半解答在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC=90ACD+DCB=90，B+DCB=90ACD=B=30AD=3cm在RtACD中，AC=2AD=6cm，在RtABC中，AB=2AC=12cm，AB的长度是12cm本题主要考查直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质9C根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解IB平分ABC，DBI=CBIDEBC，DIB=CBI，DBI=DIB，BD=DI，DBI是等腰三角形故本选项正确；BAC不一定等于ACB，IAC不
10、一定等于ICA，ACI不一定是等腰三角形故本选项错误；三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是ABC和ACB的平分线，AI平分BAC故本选项正确；BD=DI，同理可得EI=EC，ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC其中正确的是本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键10C分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=BC，AB=BC，得出DBA=30，从而得
11、出底角的度数如图1，当AB=AC时，ADBC，BD=CD，AD=BC，AD=BD=CD，底角为45如图2，当AB=BC时，BC，AD=AB，ABD=30，BAC=BCA=75，底角为75如图3，当AB=BC时，BC，AB=BC，AD=AB，DBA=30，BAC=BCA=15ABC底角的度数为45本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解114如图：由题意可得：CPA30，DAB30，AP4，ADPB，CPAD，PADAPC30PADDAB，ADPADB90，ADAD，ADPADB，ABAP4，即该海轮沿南偏东30方向航行4海里后，到达位于灯塔P的正
12、东方向的B处.本题考查了方位角和全等三角形的判定和性质，根据题意结合方位角证明出三角形全等是解决此题的关键123a.由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，BF=2a，B=30DF=BF=a，DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等也考查了含30的直角三角形三边的关系：在直角三角形中，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半13（）根据等边对等角得出ABC=ACB，A=AQP，QPC=QCP，BQC=B，设A=x，则AQP=x，根据三角形的外角性质求出QPC=PCQ=2x，BQC=3x，
13、ACB=B=3x在ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x+3x=180，解方程求出即可AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC，ABC=ACB，A=AQP，QPC=QCP，BQC=B（等边对等角），设A=x在AQP中，QPB是外角，QPC=A+AQP=2x（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），在BCQ中，BQC是外角，BQC=ACQ+A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），BQC=3x，B=3x，ABC=3x在ABC中，A+ACB+B=180，x（三角形三个内角的和等于180），解得：x=（，PCQ=2x=（故答案为（本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外
14、角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程x是解答此题的关键146本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解第1个点在AC上，取一点P，使PBA=PAB；第2个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PA；第3个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；第4个点取一点P，使AP=BA；第5个点取一点P，使PB=BA；第6个点取一点P，使AP=AB符合条件的点P有6个点故填6点评：本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解15见解析分别作出A、B、C、D关于x轴和y轴的对称点，然后顺次连结即可如图，四边形A1B1C1D1为
15、四边形ABCD关于x轴对称的图形，四边形A2B2C2D2为四边形ABCD关于y轴对称的图形本题考查了轴对称变换解题的关键是学会作关于坐标轴的对称点16AEBC根据等边对等角可得B=C，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出DAC=2B，根据角平分线的定义可得DAC=2DAE，然后求出B=DAE，最后根据同位角相等，两直线平行证明即可试题解析：AEBC理由如下：AB=AC，B=C，DAC=B+C=2B，AE平分DAC，DAC=2DAE，B=DAE，AEBC17证明见解析因为角度是一个轴对称图形，它的对称轴是这个角的角平分线，因此OM与ON关于OP对称， PAOM ，PBON，PA
16、PB，A点和B点关于OP对称，OP垂直平分AB.证明：PAOM ，PBON OAP=OBP=90又AOP=BOP OP=OPOAPOBP（AAS）OA=OB，则OAB为等腰三角形OP是AOB的平分线，OP垂直平分AB1.角平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形全等的判定和性质.18证明见解析首先利用等腰三角形的性质得出，CAE=CEA，再利用外角的性质得出BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案CA=CB，CE=CA，BC=CE，CAE=CEACD平分ACB交AE于D，且CDE=60，ACD=DCB=45，DAC+ACD=EDC=60，DAC=CEA=15，ACE=150，BCE
17、=60，CBE为等边三角形本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形外角的性质等知识，正确得出BCE=60是解题的关键19（1）证明见解析；（2）65由AB=AC，可知B= C，根据题意易得 BDE CEF（SAS），从而得到DE=EF，命题得证.因为 A=50，所以 B= C=65，由可知，BDE=CEF，所以DEB+CEF=DEB+ BDE=115，从而 DEF=180-115=65. AB=AC， B= C.在 BDE和 CEF中， ， BDE CEF（SAS），则DE=EF，故 DEF是等腰三角形.在ABC中，A=50，B=C=65 BDE CEF， BDE=CEF，
18、DEB+CEF=DEB+ BDE=180-65=115则 DEF=180-（DEB+CEF）=18020180延长AD过C作CFAD于F，由条件可证AFCAEC，得到CF=CE再由条件可证BE=DF，所以CDFCEB，由全等的性质可得ABC=CDF，问题可得解过C作CFAD于FAC平分BAD，FAC=EACCEAB，CFAD，DFC=CEA=90，AFCAEC（AAS），AF=AE，CF=CE，2AE=AB+AD又AD=AFDF，AB=AE+BE，AF=AE，2AE=AE+BE+AEDF，BE=DFDFC=CEB=90，CF=CE，CDFCEB（SAS），ABC=CDFADC+CDF=180，
19、ABC+ADC=180本题考查了全等三角形的判定和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA常用到的性质是：对应角相等，对应边相等有时还需要证“两步”全等21证明见解析（1）ABC是等边三角形， 1=2；（2）如图，在上取一点，使BM=BD，连接MD ABC是等边三角形BMD是等边三角形， .CE是ABC外角的平分线，. ，即AMDDCE（ASA） AD=DE等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.22（1）60（2）60（1），由DOC和ABO都是等边三角形，且点O
20、是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，1=2=60，4=5，从而利用外角的性质可得AEB=4+6=4+5=2=60（2）由DOC和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，1=2=60，4=5，6=7，根据三角形内角和可得5=6，从而利用外角的性质可得AEB=2+65=2+55=2.（1）如图3，DOC和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，OD=OC=OB=OA，1=2=604=5又4+5=2=604=30同理6=30AEB=4+6，AEB=60（2）如图4，OD=OC，OB=OA，1=2=60 OD=OB，OA=OC，4=5，6=7DOB=1
21、+3，AOC=2+3，DOB=AOC4+5+DOB=180，6+7+AOC=18025=26，5=6又AEB=85，8=2+6，AEB=2+65=2+55=2， 本题主要考查的是等边三角形性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解答本题的关键.23（1）AFBD（2）AFBD仍然成立（3）.AFBFAB. .中的结论不成立，新的结论是AFABBF（1）AF=BD证明如下：ABC是等边三角形（已知），BC=AC，BCA=60（等边三角形的性质）同理知，DC=CF，DCF=60BCADCA=DCFDCA，即BCD=ACF在BCD和ACF中，BC
22、=AC，BCD=ACF，DC=CF，BCDACF（SAS）BD=AF（全等三角形的对应边相等）（2）AF=BD仍然成立（3）AF+BF=AB证明如下：由（1）知，BCDACF（SAS），则BD=AF同理BCFACD（SAS），则BF=ADAF+BF=BD+AD=AB中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF证明如下：在BCF和ACD中，BC=AC，BC F=ACD，FC=DC，BCFACD（SAS）BF=AD（全等三角形的对应边相等）又由（2）知，AF=BD，AF=BD=AB+AD=AB+BF，即AF=AB+BF（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得BCDACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD（2）通过证明BCDACF，即可证明AF=BD（3）AF+BF=AB；利用全等三角形BCDACF（SAS）的对应边BD=AF；同理BCFACD（SAS），则BF=AD，所以AF+BF=AB中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF：通过证明BCFACD（SAS），则BF=AD（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF
