高考数学总复习作业71专题研究2 圆锥曲线中的最值与范围问题Word格式.docx
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4.(2018·
河南百校联盟质检)
已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的四个顶点组成的四边形的面积为2,且经过点(1,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C的下顶点为P,如图所示,点M为直线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM,且与C交于A,B两点,与OM交于点N,四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1,S2.求S1S2的最大值.
答案
(1)+y2=1
(2)
解析
(1)∵(1,)在椭圆C上,∴+=1,又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2,∴×
2a×
2b=2,ab=,解得a2=2,b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由
(1)可知F(1,0),设M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2).
则当t≠0时,直线OM的方程为y=x.所以kAB=-,直线AB的方程为y=-(x-1),即2x+ty-2=0(t≠0),由得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0.
则Δ=(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)>
0,
x1+x2=,x1x2=.
|AB|=·
=·
=.
又|OM|=,∴S1=|OM|·
由得xN=,∴S2=×
1×
∴S1S2=·
==<
.
当t=0时,直线l:
x=1,|AB|=,S1=×
×
2=,
S2=×
1=,S1S2=.
综上,S1S2的最大值为.
5.(2018·
山东潍坊期末)已知点F1为圆(x+1)2+y2=16的圆心,N为圆F1上一动点,F2(1,0),点M,P分别是线段F1N,F2N上的点,且满足·
=0,=2.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)过点F2的直线l(与x轴不重合)与轨迹E交于A,C两点,线段AC的中点为G,连接OG并延长交轨迹E于B点(O为坐标原点),求四边形OABC的面积S的最小值.
答案
(1)+=1
(2)3
解析
(1)由题意,MP垂直平分F2N,∴|MF1|+|MF2|=4,∴动点M的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆,且长轴长为2a=4,焦距2c=2,所以a=2,c=1,b2=3.
轨迹E的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),G(x0,y0),直线AC的方程为x=my+1,与椭圆方程联立,可得(4+3m2)y2+6my-9=0,∴y1+y2=-,y1y2=-.由弦长公式可得|AC|=|y1-y2|=,又y0=-,∴G(,-).
直线OG的方程为y=-x,代入椭圆方程得x2=,
∴B(,-),B到直线AC的距离d1=,O到直线AC的距离d2=,
∴SOABC=|AC|(d1+d2)=6≥3,当m=0时取得最小值3.
∴四边形OABC的面积的最小值为3.
6.(2018·
河南新乡一调)设O为坐标原点,已知椭圆C1:
0)的离心率为,抛物线C2:
x2=-ay的准线方程为y=.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点P,Q,若O在以PQ为直径的圆的外部,求直线l的斜率k的取值范围.
答案
(1)+y2=1
(2)k∈(-2,-)∪(,2)
解析
(1)由题意得=,∴a=2,故抛物线C2的方程为x2=-2y.
又e=,∴c=,∴b=1,从而椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)显然直线x=0不满足条件,故可设直线l:
y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由得(1+4k2)x2+16kx+12=0.
∵Δ=(16k)2-4×
12(1+4k2)>
∴k∈(-∞,-)∪(,+∞),
x1+x2=,x1x2=,
根据题意,得0<
∠POQ<
⇔·
>
∴·
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k×
+4=>
∴-2<
k<
2,综上得k∈(-2,-)∪(,2).
7.(2018·
陕西咸阳模拟)已知椭圆C:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°
,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点.
(2)若P,Q的中点为N,在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得MN⊥PQ?
若存在,求实数m的取值范围;
若不存在,请说明理由.
答案
(1)+=1
(2)存在 理由略
解析
(1)由e=得a=2c.由|AF1|=2得|AF2|=2a-2.
由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·
|AF2|cos∠F1AF2=|F1F2|2,即a2-3a+3=c2,解得c=1,a=2,b2=a2-c2=3.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)存在这样的点M符合题意.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0).
由F2(1,0),设直线PQ的方程为y=k(x-1),
由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
得x1+x2=,故x0==.
又点N在直线PQ上,所以y0=,所以N(,).
因为MN⊥PQ,所以kMN==-,整理得m==∈(0,).
所以在线段OF2上存在点M(m,0),使得MN⊥PQ,m的取值范围为(0,).
1.(2018·
山西五校联考)设点F为椭圆C:
+=1(m>
0)的左焦点,直线y=x被椭圆C截得的弦长为.
(2)圆P:
(x+)2+(y-)2=r2(r>
0)与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB上任意一点,直线FM交椭圆C于P,Q两点,AB为圆P的直径,且直线FM的斜率大于1,求|PF|·
|QF|的取值范围.
答案
(1)+=1
(2)(,]
解析
(1)由得x2=y2=,故2=2=,解得m=1,故椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
又
所以+=0,
则(x1-x2)-(y1-y2)=0,故kAB==1.
所以直线AB的方程为y-=x+,即y=x+,代入椭圆C的方程并整理得7x2+8x=0,则x1=0,x2=-.
又F(-1,0),直线FM的斜率大于1,则直线FM的斜率k∈[,+∞).
设FM:
y=k(x+1),由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
设P(x3,y3),Q(x4,y4),则有x3+x4=,x3x4=.
又|PF|=|x3+1|,|QF|=|x4+1|,
所以|PF|·
|QF|=(1+k2)|x3x4+(x3+x4)+1|
=(1+k2)|-+1|
=(1+k2)·
=(1+).
因为k≥,所以<
(1+)≤.
即|PF|·
|QF|的取值范围是(,].
2.
(2017·
湖南师大附中月考)如图所示,已知F1(0,-),F2(0,),动点M到点F2的距离是4,线段MF1的中垂线交MF2于点P.
(1)当点M变化时,求动点P的轨迹G的方程;
(2)若斜率为的动直线l与轨迹G相交于A,B两点,Q(1,)为定点,求△QAB面积的最大值.
答案
(1)+=1
(2)
解析
(1)如图,连接PF1,
∵|MF2|=4,∴|PM|+|PF2|=4.
又∵|PM|=|PF1|,
∴|PF1|+|PF2|=4>
|F1F2|=2,
由椭圆的定义可知,动点P的轨迹G是以F1,F2为焦点的椭圆,其方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,
代入椭圆方程得(x+m)2+2x2=4,
即4x2+2mx+m2-4=0.
由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>
0,得m2<
8.
又点Q不在直线l上,所以m≠0,所以0<
m2<
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
所以|AB|=|x1-x2|==·
=×
又点Q到直线l的距离d=,
则S△QAB=|AB|d=×
因为≤=4,则S△QAB≤,
当且仅当m2=4,即m=±
2时取等号.
故△QAB面积的最大值为.
3.
已知椭圆+=1(a>
0)的离心率为,且经过点P(1,).过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.
答案
(1)+=1
(2)[,6]
解析
(1)由=⇒a=2c,所以a2=4c2,b2=3c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,故所求椭圆方程为+=1.
(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积S=6.
若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,
则直线l1的方程为y=k(x+1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得方程组
消去y并整理,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.①
∴x1+x2=-,x1·
x2=,
∴|x1-x2|=,∴|AB|=|x1-x2|=.②
注意到方程①的结构特征和图形的对称性,可以用-代替②中的k,得|CD|=,
∴S=|AB|·
|CD|=,令k2=t∈(0,+∞),
∴S==
=6-≥6-=,
∴S∈[,6].
综上可知,四边形ABCD的面积S∈[,6].
4.(2017·
衡水中学调研)已知椭圆C:
0)过点A(-,),离心率为,点F1,F2分别为其左、右焦点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若y2=4x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,Q满足M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且PQ⊥MN,求四边形PMQN面积的最小值.
答案
(1)+y2=1
(2)4
解析
(1)由题意得=,得b=c.∵+=1(a>
0),∴c=1,∴a2=2,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,易得|MN|=4,|PQ|=2,S四边形PMQN=4.
②当直线MN斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),与y2=4x联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
令M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=+2,x1x2=1,
|MN|=·
=+4.
∵PQ⊥MN,∴直线PQ的方程为y=-(x-1).
将直线与椭圆联立,得(k2+2)x2-4x+2-2k2=0.
令P(x3,y3),Q(x4,y4),则x3+x4=,x3x4=,
|PQ|=·
∴四边形PMQN的面积S=,
令1+k2=t(t>
1),
则S===4(1+)>
4,
∴S>
4,其最小值为4.
5.(2015·
浙江文)
已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:
y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
答案
(1)x2=4y
(2)
解析
(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>
0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理,得x2-4kx-4=0.
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
从而|x1-x2|=4.
由解得点M的横坐标为xM===.
同理,点N的横坐标xN=.
所以|MN|=|xM-xN|=|-|
=8||=.
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>
0时,|MN|=2·
2;
当t<
≥.
综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.
6.(2015·
天津)已知椭圆+=1(a>
0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段长为c,|FM|=.
(1)求直线FM的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
解析
(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>
0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.
(2)由
(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.
由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.
又由已知,得t=>
,解得-<
x<
-1,或-1<
0.
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.
①当x∈时,有y=t(x+1)<
0,因此m>
0.于是m=,得m∈.
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>
0,因此m<
0.于是m=-,得m∈.
综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.
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