实验作业7微 分 方 程初稿Word下载.docx
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小孩B点所走曲线为一个A点
为心的圆,则玩具不动。
此时,如果小孩B
行走的速度为v,而玩具A的速度却为零,
这说明,在推玩具的过程中,小孩B的速度
与玩具A的速度不同。
由此特殊情况,我们可以看到,当小孩B行走的路线是曲线时,小孩B的速度
与玩具A的速度
是不同的。
假设3:
如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c(图4),不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。
而玩具A走的轨迹为曲线c´
。
则t时刻小孩
的坐标为
,
玩具
(1)t时刻,由于
的距离为a,由于小孩拉的是硬棒,在小孩拉玩具的过程中,假设棒与地面的角度不变,因此有:
即
(1)
(2)设玩具在A点的速度
,则
的方向应为玩具所走曲线c的切线方向,而玩具始终是沿着小棒AB的方向,所以:
而
所以:
又
,由向量知识有
简化得:
故有
化简得
小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时,小孩所走路径的曲线方程为:
函数文件:
建立函数文件fun1.m
functiondy=fun1(t,y)
dy=[(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y
(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y
(2)))*(5*cos(t)-y
(1))./((5*cos(t)-y
(1))^2+(5*sin(t)-y
(2))^2),
(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y
(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y
(2)))*(5*sin(t)-y
(2))./((5*cos(t)-y
(1))^2+(5*sin(t)-y
(2))^2)]
主程序:
zuoye1.m
clear,clc
closeall
[t,y]=ode45('
fun1'
[0,100],[10,0]);
X=5*cos(t);
Y=5*sin(t);
figure
(1)
plot(X,Y,'
r.'
)
holdon
plot(y(:
1),y(:
2),'
*'
untitled1.fig
%玩具的初始位置为(12,0)zuoye2.m
t0=0;
tf=100;
[t0,tf],[12,0]);
figure
(2)
untitled2.fig
%玩具的初始位置为(8,0)zuoye3.m
[t0,tf],[8,0]);
figure(3)
r*'
.'
untitled3.fig
2.讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.
(1)若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比,说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时,国民平均收入才是增长的.
(2)作出k(x)和r(x)的示意图,分析人口激增会引起什么后果.
(1)
根据题意,我们可以设第t年的总人口为Z(t).则有第(t+1)年的总人口为Z(t+1)=(1+r)*Z(t).
设第t年的资金总积累为P(t),第(t+1)年的资金总积累为P(t+1)=(1+k)*P(t).
第(t+1)年的人口平均积累y(t+1)=P(t+1)/Z(t+1).
因为国民平均收入x(t)=m*y(t),x(t+1)=m*y(t+1)(m为常数).由y(t+1)=[(1+k)*P(t)]/[(1+r)Z(t)]可知(因为PZ为常)要使y(t+1)大于y(t),则必须(1+k)/(1+r)要大于1,即总资金的相对增长率k要大于人口的相对增长率r.
(2)
网上获得数据,自2007年起的国民平均收入,人口数,总资金累积量的图表。
总资金积累与时间的图象
人口数与时间的图象
国民收入与时间的关系
若资金积累增长率k和人口增长率r由国民平均收入x确定,一般情况下k(x),r(x)都是升函数[2]。
二曲线交点M的横坐标X0是平衡点。
因为X=X0时,K=0,dx=0。
该平衡点的稳定性取决于平衡点附近k(x)和r(x)的增长速度。
若k’(x)>
r’(x),则平衡点不稳定,即国民平均收入将不断增长,反之,则X0稳定,即国民平均收入将停滞。
在不稳定平衡点X0的情况下,国民平均收入不断增长。
假定人口增长率突然增加,造成r(x)函数上提,此时平衡点将左移,此时r‘(x)将增大,k’(x)趋于0。
此时r‘(x)>
k’(x).表现出国民平均收入的停滞。
由此可见:
人口激增会导致国民平均收入降低,对生存空间将更具压力,坚持计划生育,调控人口,是我国健康发展的必需途径。
模型假设1国民平均收入与人口平均资金积累成正比,所以设a为总资金积累量占总国民收入的比例,且在所取时间段内a为定值,增长率k和r;
2增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间的关系不受其他因素干扰;
3结合实际情况,我们只选取最近的具有代表性的某一个时间段内的数据进行分析,并把它作为最终的结果;
符号说明
x1(t)—总资金积累量x2(t)—总人口数量x3(t)—总国民收入t—所选取的时间a—总资金积累量占总国民收入的比例x—国民平均收入y—¬
¬
人口平均积累k—总资金积累的相对增长率r—人口的相对增长率建立模型不考虑其他外界因素
针对一组具体的数据用MATLB软件进行计算,首先根据以上微分方程组建立以下M文件renkou.m如下
functiondx=renkou(t,x)dx=zeros(3,1);
dx
(1)=k*x1;
dx
(2)=r*x2;
dx(3)=a*(k-r)*x3
其次建立主程序如下
[t,x]=ode23('
renkou'
[0,15],[0,0]);
plot(t,x(:
1),'
b*'
t,x(:
r+'
3),'
gs'
)figure(3);
plot(x(:
1),x(:
2),x(:
3))模型求解
求解结果:
数值解如下图:
x1(t)为“*”线,x2(t)为“+”线,x3(tt)为“。
”线。
资金积累与时间关系图
人口与时间关系图
国民收入与时间关系图
由图可知,当r>
k时,国民平均收入是增长的,结论显然成立。
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