折叠几何综合专题16道题目.docx
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折叠几何综合专题16道题目
01如图,将矩形ABC沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG/CD交AF于点G连接DG
(1)求证:
四边形EFDG^菱形;
(2)探究线段EGGFAF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6,EG=25,求BE的长.
(1)证明:
由折叠性质可得,EF=FD,/AEF=ZADF=90°/
EFA^ZDFAEG=GDvEG/DC/.ZDFA^ZEGF
•••/EFA^ZEGF二EF=EG=FD=GD二四边形EFDG^菱形;1
(2)解:
EG=qGF,AF理由如下:
如解图,连接ED交AF于点H,
v四边形EFDG^菱形,
11
•••DELAF,FH=GH=qGFEH=DH=qDE
vZFEH=90°—/EFA=ZFAE/FHE=ZAEF=90°,
effh
•RtAFEHhRt△FAE二AF=EF即E^=FH-AF,
^\FEF
11
又vFH=2GFEG=EF•EG=2GF・AF;
⑶解:
VAG=6,EG=25,EG=*AF・GF•-(25)2=*6+GF-GF
解得GF=4或GF=—10(舍),•GF=4,二AF=10.vDF=EG=25,•AD=BC=AF一DF=45,DE=2EH=2EG—(2gF2=8,
vZCD+ZDFA=90°,ZDA+ZDFA=90°,
BE=BC-EC=
12,5
5
•ZCD=ZDAFvZDC=ZAD=90°,
02如图,将矩形ABC沿对角线BD对折,点C落在E处,BE与
AD相交于点F,若DB4,BD=8.
(1)求证:
AF=EF;
(2)求证:
BF平分/ABD
证明:
(1)在矩形ABC中,AB=CD/A=ZC=90°
•••△BED是△BCD对折得到的,
•••ED=CD/E=ZC,
•••ED=AB,/E=ZA,(2分)
又vZAFB=ZEFD
•••△ABF^AEDFAAS),
「•AF=EF;(4分)
(2)在Rt△BCD中,vDC=DE=4,BD=8,
DC1
--sinZCB=BD=2,
•ZCB=30°(5分)
•ZEBD=ZCB=30°,
•ZABF=90°-30°x2=30°,(7分)
•ZABF=ZEBD
•BF平分ZABD(8分)
03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(
点均在BD上),折痕分别为BHDG
(1)求证:
△BHE^ADGF
(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长。
【解答】解:
(1)V四边形ABCD是矩形,
•••AB=CD/A=ZC=90,/ABD玄BDC
•••△BEH是ABAH翻折而成,
•••/仁/2,,/A=ZHEB=90,AB=BE
•••△DGF是△DGC翻折而成,
•••/3=/4,/C=ZDFG=90,CD=DF
•••△BEH与厶DFG中,
/HEB=/DFGBE=DF/2=/3,
•△BEHmDFG
(2)•••四边形ABCD是矩形,AB=6cmBC=8cm
•AB=CD=6cmAD=BC=8cm
•BD===10,
••由
(1)知,BD=CDCG=FG
•BF=10-6=4cm,
设FG=x贝UBG=8-x,
在Rt△BGF中,
BG=BF+FG,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,即FG=3cm
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质,全等三角形的判定,熟知折叠是
一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应
角相等是解答此题的关键.
04把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B
和顶点D重合,折痕为EF•若BF=4FC=2则/DEF
的度数是—.
考点:
翻折变换(折叠问题)。
专题:
计算题。
分析:
根据折叠的性质得到DF=BF=4/BFE=DFE在Rt△DFC中,根据含30°的直角三角形三边的关系得到/FDC=30,则/DFC=60,所以有/BFE=/DFE=(180°-60°)-2,然后利用两直线平行内错角相等得到/DEF的度数.
解答:
解:
•••矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF,
•••DF=BF=4/BFE=/DFE
在Rt△DFC中,FC=2,DF=4,
•••/FDC=30,
•••/DFC=60,
•••/BFE=/DFE=(180°-60°)-2=60°,
•••/DEF=/BFE=60.
故答案为60.
点评:
本题考查了折叠的性质:
折叠前后的两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也
考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系.
A.
6B.
12C.
2D.4
05如图,在矩形ABCD中,AB=8BC=16将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()
考点:
翻折变换(折叠问题).
分析:
设BE=x,表示出CE=16-x,根据翻折的性质可得AE=CE然后在Rt△ABE中,利用勾股定理列出方程求出x,再根据翻折的性质可得/AEF=/CEF根据两直线平行,内错
角相等可得/AFE=/CEF然后求出/AEF=/AFE根据等角对等边可得AE=AF过点E作
EHLAD于H,可得四边形ABEH是矩形,根据矩形的性质求出EHAH,然后求出FH,再利用
勾股定理列式计算即可得解.
解答:
解:
设BE=x,贝UCE=BGBE=16-x,
•••沿EF翻折后点C与点A重合,
•••AE=CE=1-x,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2
222
即82+x2=(16-x)2
解得x=6
•AE=16-6=10
由翻折的性质得,/AEF=/CEF
•••矩形ABCD勺对边AD//BCAFE=/CEFAEF=/AFE
•AE=AF=10
过点E作EHLAD于H,则四边形ABEH是矩形,
•EH=AB=8AH=BE=6•FH=AF-AH=10-6=4
在Rt△EFH中,EF===4.
故选D.
点评:
本题考查了翻折变换的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键,也是本题的突破口.
06如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边ABCD均落在对角线BD上,得折痕BEBF,则/EBF=
第1题图
分析:
根据四边形ABCD^矩形,得出/AB匡/EB[=ZABD/DBI=ZFBC=/DBC再根据
/ABE■/EBD/DBF■/FBC=/AB(=90°,得出/EBD/DBF=45°,从而求出答案.
解答:
解:
•••四边形ABCD是矩形,
根据折叠可得/ABE=/EBD=/ABD/DBF:
/FB(=ZDB(
•••/ABE■/EBI+ZDBF/FBC=/ABC=90°,
•••/EBD/DBf=45°,
即/EBF=45°,
故答案为:
45°.
点评:
此题考查了角的计算和翻折变换,解题的关键是找准图形翻折后,哪些角是相等的,
再进行计算,是一道基础题.
07如图,将矩形
则BF的长为(
ABCD&EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'上.若AB=6,BC=9,
)
A.4
B.3C.D.5
考点:
翻折变换(折叠问题).
分析:
先求出BC,再由图形折叠特性知,CF=CF=BCBF=9-BF,在直角三角形CBF
222中,运用勾股定理BF+BC=CF求解.
解答:
解:
•••点C'是AB边的中点,AB=6,
•••BC=3,
由图形折叠特性知,CF=CF=BCBF=9-BF,
在直角三角形CBF中,BF+BC2=CF,
22
•BF+9=(9-BF),
解得,BF=4,
故选:
A.
点评:
本题考查了折叠问题及勾股定理的应用,综合能力要求较高•同时也考查了列方程求解的能力•解题的关键是找出线段的关系.
08如图,将矩形ABCD&CE向上折叠,使点B落在AD边上的点F处.若AE=BE则长AD与宽AB的比值是.
考点:
分析:
解答:
由AE=BE可设AE=2k,则BE=3k,AB=5k.由四边形ABCD是矩形,可得/A=ZABCdD=90,CD=AB=5kAD=BC由折叠的性质可得
/EFCHB=90,EF=EB=3kCF=BC由同角的余角相等,即可得
/DCFMAFE在Rt△AEF中,根据勾股定理求出AF==k,由cos/AFE=coZDCF得出CF=3k,即AD=3k,进而求解即可.解:
•••AE=BE
•••设AE=2k,贝UBE=3k,AB=5k.
•••四边形ABCD是矩形,
•••/A=ZABCMD=90,CD=AB=5kAD=BC
•••将矩形ABCD沿CE向上折叠,使点B落在AD边上的点F处,
•••/EFCMB=90°,EF=EB=3KCF=BC
•••/AFE亡DFC=90,/DFC+/FCD=90,
•••/DCF/AFE
•cos/AFE=co/DCF
在Rt△AEF中,T/A=90°,AE=2k,EF=3k,
•AF==k
•=,即卩=,
•CF=3k
•AD=BC=CF=3k
•••长AD与宽AB的比值是=.
故答案为.
点评:
此题考查了折叠的性质,矩形的性质,勾股定理以及三角函数的定义•解
此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用.
09如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE将矩形沿着过点E的直线翻折后,点CD分别落在边BC下方的点C'、D'处,且点C'、D'、B在同一条直线上,折痕与
边AD交于点F,D'F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为2t(用含t的代数式表示).
考点:
翻折变换(折叠问题)
分析:
根据翻折的性质可得CE=CE,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出/EBC=30°,然后求出/BGD=60°,根据对顶角相等可得
/FGE^ZBGD=60°,根据两直线平行,内错角相等可得/AFGMFGE再求出
/EFG=60,然后判断出△EFG是等边三角形,根据等边三角形的性质表示出EF,即
可得解.
解答:
解:
由翻折的性质得,CE=CE,
•/BE=2CE「.BE=2CE,
又•••/C=ZC=90,•••/EBC=30°,
•••/FD'C'=ZD=90,•/BGD=60°,
•••/FGE^ZBGD=60°,
•/AD//BC,AFGMFGE=60,
•••/EFG=(180°—/AFG=(180°—60°)=60°,
•△EFG是等边三角形,•AB=t,
•EF=t-=t,•••△EFG的周长=3Xt=2t.
故答案为:
2t.
10如图,将矩形ABCD&BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F,若AD=3,BD=6.
(1)求证:
△EDF^ACBF
(2)求/EBC
(第1题图)
考点:
翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质;矩形的性质
分析:
(1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC/E=ZC=90°,对顶角
/DF匡/BFC利用AAS可判定△DEF^ABCF
(2)在Rt△ABD中,根据AD=3,BD=6,可得出/ABt=30°,然后利用折叠的性质可得/DBE30。
,继而可求得/EBC的度数.
解答:
(1)证明:
由折叠的性质可得:
DE=BC/E=ZC=90°,
在厶DEF^ABCF中,
•••△DEF^ABCF(AAS;
(2)解:
在Rt△ABD中,
•/AD=3,BD=6,
•••/ABD=30°,
由折叠的性质可得;/DBEZABt=30°,
•••/EB(=90°-30°-30°=30°.
点评:
本题考查了折叠的性质、矩形的性质,以及全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键.
11如图,在矩形ABC啪,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,
点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:
①EF=2BE②PF=2PE
A.①②B.②③C.①③D.
①④
③FQ=4EQ④厶PBF是等边三角形•其中正确的是()
解答:
解:
TAE=AB
•••BE=2AE
由翻折的性质得,PE=BE
:
丄APE=30°,
•••/AEF=90°-30°=60°,
•••/BE匡(180°-/AEP=(180°-60°)=60°,
•••/EFB=90°-60°=30°,
•-EF=2BE故①正确;
•/BE=PE,
•EF=2PE
•/EF>PF,
•PF>2PE故②错误;
由翻折可知EF丄PB
•/EBQ/EFB=30°,
•BE=2EQEF=2BE
•FQ=3EQ故③错误;
由翻折的性质,/EFB/BFF=30°,
•••/BFP=30°+30°=60°,
•//PBF=90°-ZEBQ90°-30°=60°,
•••/PBF=ZPFB=60°,
•△PBF是等边三角形,故④正确;
综上所述,结论正确的是①④.
故选D.
点评:
本题考查了翻折变换的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性
质,直角三角形两锐角互余的性质,等边三角形的判定,熟记各性质并准确识图是解
题的关键.
12已知矩形ABC啲一条边AD=8,将矩形ABC[折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(第6题图)
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O连结APOPCA.
1求证:
△OCPAPDA
2若△OCPfAPDA的面积比为1:
4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求/OAB的度数;
(3)如图2,,擦去折痕AO线段OP连结BP动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM连结MN交PB于点F,作ME!
BP于点E.试问当点MN在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
解答:
解:
(1)如图1,
①•••四边形ABCD1矩形,•••AD=BCDC=AB/DAB=/B=ZC=ZD=90°由折叠可得:
AF=ABPO=BO/PAO/BAO/APO/B.
•••/AP(=90°.•/APD=90°—/CPOZPOC
•••/D=ZC,ZAPD/POC.「.AOCPAPDA.
②•••△OCP 4, •••====.•••PD=2OCPA=2OPDA=2CP •/AD=8,「.CP=4,BC=8.设OPx,贝UOE=x,CO8—x.在Rt△PCO中, •//C=90°,CF=4,OP=x,C(=8-x,「.x2=(8-x)2+42.解得: x=5. •AB=AF=2OP=10.•••边AB的长为10. (2)如图1,: P是CD边的中点,•DF=DC.vDCABAB=AP, •DPAP.V/D=90°,Asin/DAI==.•/DAP30°. •//DAB=90°,/PAO/BAO/DAI=30°,•/OAB30°. •/OAB勺度数为30°. (3)作MQAN交PB于点Q如图2.vAP=ABMQAN •/APB=/ABP/ABF=/MQP./APB/MQP「.MP=MQ •/MPMQMELPQ•PE=E(=PQ•/BN=PMMPMQ•BN=QM •/MQAN•/QMF/BNF在厶MFQ^ANFB中, .•••△MFQR^NFB.: QF=BF.•QF=QB. •EF=EQQF=PQQB=PB.由 (1)中的结论可得: PC=4,BC=8,/C=90°. •PB==4.「.EF=PB=2. •在 (1)的条件下,当点MN在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2. 13如图,正方形ABC啲边长是16,点E在边AB上,AE=3, 点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把△EBF沿 EF折叠,点B落在B'处,若△CDB恰为等腰三角形,则 DB的长为 第15题 【分析】若厶CDB恰为等腰三角形,判断以CD为腰或为底边分为三种情况: ①DB=DC ②CB=CD③CB=DB,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解 16或4.5【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论思想 根据题意,若△CDB恰为等腰三角形需分三种情况讨论: (1)若DB=DC时,则DB=16 (易知点F在BC上且不与点C、B重合); (2)当CB二CD时,•••EB=EB,CB=CB•••点 E、C在BB的垂直平分线上,•EC垂直平分BB,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去;(3)如解图,当CB=DB时,作BGLAB与点G交CD于点H•/AB//CD 1 •-B'H丄CDTCB=DB,•DH=—CD=8,「.AGDH=8,「.GEAG-AE=5,在Rt△B'EG中, 2 由勾股定理得B'G=12,aB'H=GH-B'G=4.在Rt△B'DH中,由勾股定理得DB=4.5, 综上所述DB=16或4,5. 14如图,矩形中,A宙8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBPPE与CD相交于点Q且OE=OD则AP的长为▲. 【答案】. 【考点】翻折变换(折叠问题);矩形的性质;折叠对称的性质;勾股定理,全等三角形的判定和性质;方程思想的应用. 【分析】如答图,•••四边形是矩形, 根据折叠对称的性质,得, 在和中,•••, •s- 设,则,•••• 在中,根据勾股定理,得,即.解得. •AP的长为. 15如图,将沿过点A的直线折叠,使点D落到AB边上的点处,折痕交CD边于点E连接BE. (1)求证: 四边形是平行四边形; (2)若BE平分/ABC求证: • 答案】证明: (1)如答图, •••将沿过点A的直线折叠, •••四边形是平行四边形, •••//.•••. •••••四边形是平行四边形. (2)如答图, •/BE平分/ABC•. •••四边形是平行四边形,•//.•.•. 由 (1),•,即. •在中,由勾股定理,得. 【考点】折叠问题;折叠对称的性质;平行四边形的判定和性质;平行的性质;等腰三角形的判定;三角形内角和定理;勾股定理. 【分析】 (1)要证四边形是平行四边形,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定,一方面,由四边形是平行四边形可有/;另一方面,由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得,从而得证. (2)要证,根据勾股定理,只要的即可,而要证,一方面,由BE平分/ABC可得 (如答图,下同);另一方面,由/可得,从而得到,结合 (1)即可根据三角形内角和定理 得到,进而得证. 16如图,将矩形纸片ABCD&对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E. (1)求证: △DCE^ABFE (2)若CI=2,ZADB30。 ,求BE的长. 答案】 (1)证明见试题解析; (2). 考点: 1.翻折变换(折叠问题);2.全等三角形的判定与性质.
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