841平面教案学年高一数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步Word下载.docx
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①书桌面是平面;
②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;
③有一个平面的长是50m,宽为20m;
④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为____.
(2)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是____.
[跟踪训练1] 下列四种说法正确的是____.
①平面的形状是平行四边形;
②任何一个平面图形都可以表示平面;
③平面ABCD的面积为100cm2;
④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.
题型二 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例2 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
[跟踪训练2]
(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
①A∉α,a⊂α:
②α∩β=a,P∉α且P∉β:
③a⊄α,a∩α=A:
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:
(2)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.
①A∈α,B∉α;
②l⊂α,m∩α=A,A∉l;
③P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.
题型三 线共面问题
例3 已知直线b∥c,且直线a与b,c都相交,求证:
直线a,b,c共面.
[跟踪训练3] 下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
题型四 点共线问题
例4 如图,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面α于点P,Q,R.
求证:
P,Q,R三点在同一条直线上.
[跟踪训练4] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:
D,A,Q三点共线.
题型五 线共点问题
例5 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求证:
直线AA1,BP,CQ相交于一点.
[跟踪训练5] 在四面体A-BCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求证:
EF,GH,BD交于一点.
1.在空间中,下列结论正确的是( )
A.三角形确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.一个点和一条直线确定一个平面
D.两条直线确定一个平面
2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.相交B.重合
C.相交或重合D.以上都不对
3.(多选)三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为( )
A.0B.1
C.2D.3
4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)AC∩BD=____;
(2)平面AB1∩平面A1C1=____;
(3)A1B1∩B1B∩B1C1=____.
5.如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:
AA1,BB1,CC1交于一点.
一、选择题
1.能确定一个平面的条件是( )
A.空间三个点B.一个点和一条直线
C.无数个点D.两条相交直线
2.下面空间图形画法错误的是( )
3.已知空间四点中,无三点共线,则经过其中三点的平面有( )
A.一个B.四个
C.一个或四个D.无法确定平面的个数
4.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ与β的交线必过( )
A.点AB.点B
C.点C,但不过点DD.点C和点D
5.(多选)下列四个命题中,正确的是( )
A.不共面的四点中任意三点不共线
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c不一定共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
二、填空题
6.已知A∈α,B∉α,若A∈l,B∈l,那么直线l与平面α有____公共点.
7.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是____.
8.一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是____.
三、解答题
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.
证明:
点E在平面A1BCD1内.
10.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.求证:
P,Q,R三点共线.
1.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理中错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β,则a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,则直线MN⊂α,直线MN⊂β
C.A∈α,A∈β,则α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线,则α,β重合
2.(多选)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则( )
A.A,C,O1,D1四点共面B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面D.G,E,O1,O2四点共面
3.
(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定____个平面.
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定____个平面.
4.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,连接MN.
(1)直线MN⊂平面PQR;
(2)点K在直线MN上.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
答案
(1)①A∈a,B∈a ②a⊂α ③D∈b,C∈α
(2)∈ 同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上 (3)∈ ∉ ⊄ AC
[解析]
(1)由平面的概念,知它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念.
(2)对于①,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画,因此①的画法不正确.②与③图形的实、虚线画法不正确,④中图形的画法正确.
[答案]
(1)1
(2)④
平面概念的理解及特点
(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念,它是由平时生活中常见的平面抽象出来的,是理想的,是无限延展的,是无厚薄、大小的.
(2)要注意平面具有如下特点:
①平面是平的;
②平面是没有厚度的;
③平面是无限延展而没有边界的;
④平面是由空间的点、线组成的无限集合;
⑤平面图形是空间图形的重要组成部分.
答案 ②
解析 ①错误,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一定是平行四边形;
③错误,平面不能度量;
④错误,看不到的线画成虚线.
[解]
(1)P∈AB.
(2)C∉AB.
(3)M∈平面AC.
(4)A1∉平面AC.
(5)AB∩BC=B.
(6)AB⊂平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC=AB.
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
[跟踪训练2]
(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
答案
(1)①C ②D ③A ④B
(2)见解析
解析
(2)①点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①.
②直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②.
③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.
[证明] ∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α,
设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈b,B∈c,
又b⊂α,∴A∈α,同理B∈α,即a⊂α,∴三线共面.
[条件探究] 在本例中,若直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C,又该如何证明直线a,b,c,l
共面?
证明 如图所示.
∵a∥b,∴a,b可确定一个平面α.
又l∩a=A,l∩b=B,
∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α.
∴AB⊂α.又A∈l,B∈l,∴l⊂α.
又b∥c,∴b,c可确定一个平面β.同理l⊂β.
∵平面α,β均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线,
∴l与b确定的平面是唯一的.∴a,b,c,l四线共面.
证明多线共面的两种方法
(1)纳入法:
先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:
即先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内.
答案 D
解析 经过同一条直线上的三点有无数个平面,故A不正确;
当两两相交的三条直线相交于一点时,可能确定三个平面,故B不正确;
有三个角为直角的四边形不一定是平面图形,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ACC1D1满足∠ACC1=∠CC1D1=∠C1D1A=90°
,但四边形ACC1D1不是平面图形,故C不正确;
和同一条直线相交的三条平行直线一定共面,故选D.
[证明] 证法一:
由已知AB的延长线交平面α于点P,根据基本事实3,平面ABC与平面α必相交于一条直线,设为l.
∵P∈直线AB,∴P∈平面ABC.
又AB∩α=P,∴P∈平面α,
∴P是平面ABC与平面α的公共点.
∵平面ABC∩α=l,∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l.
∴P,Q,R三点在同一条直线上.
证法二:
∵AP∩AR=A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,
∴P,Q,R三点共线.
点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法:
(1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上;
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
[跟踪训练4] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:
证明 ∵MN∩EF=Q,
∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又M∈直线CD,N∈直线AB,
CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴M,N∈平面ABCD,
∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
[证明] 如图,连接PQ.
由B1P=2PA1,C1Q=2QA1,得
PQ∥B1C1,且PQ=
B1C1.
又BC綊B1C1,∴PQ∥BC,且PQ=
BC,
∴四边形BCQP为梯形,∴直线BP,CQ相交,
设交点为R,则R∈BP,R∈CQ.
又BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C,
∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,
∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上,
即R∈AA1,
∴直线AA1,BP,CQ相交于一点.
证明线共点问题的步骤
证明三线共点的思路是:
先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这个点,把问题归结为证明点在直线上的问题.
[跟踪训练5] 在四面体A-BCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求证:
证明 如图所示,连接GE,HF.
∵E,G分别为BC,AB的中点,∴GE∥AC.
又DF∶FC=DH∶HA=1∶3,
∴HF∥AC,∴GE∥HF,
∴G,E,F,H四点共面.
又GE=
AC,
=
,
∴EF与GH不平行,∴EF与GH相交.
延长EF,GH,设交点为O,则O∈平面ABD,O∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD.
即EF,GH,BD交于一点O.
答案 A
解析 空间四边形不能确定一个平面,因此B错误;
若点在直线上,则有无数个平面,因此C错误;
若两条直线重合,则有无数个平面,因此D错误.
答案 C
解析 若三个点在同一直线上,则两平面可能相交;
若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合.
答案 BD
解析 当三条互相平行的直线共面时,可确定1个平面;
当三条互相平行的直线不共面时,可确定3个平面.故选BD.
答案
(1)O
(2)A1B1 (3)B1
解析
(1)AC,BD同在平面ABCD中,交于点O.
(2)平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.
(3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于一点B1.
证明 如图所示,∵B1C1∥BC,
∴B1C1与BC确定一个平面,记为平面β.
同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.
易知β∩γ=C1C.
∵△ABC与△A1B1C1不全等,
且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA,
∴△ABC∽△A1B1C1,A1B1≠AB,
∴AA1与BB1相交,
设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.
而AA1⊂γ,BB1⊂β,∴P∈γ,P∈β,
∴P在平面β与平面γ的交线上.
又β∩γ=C1C,∴P∈C1C,∴AA1,BB1,CC1交于一点.
解析 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.
解析 D中被遮住的线画成了实线.
解析 当空间四点共面时,它们确定一个平面;
当空间四点不共面时,每三个点都可以确定一个平面,即四个平面.
解析 根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在平面β与γ的交线上.
答案 AC
解析 A中假设其中有三点共线,则该直线与直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故不共面的四点中任意三点不共线,所以A正确;
B中当A,B,C共线时,结论可能不成立,所以B不正确;
利用正方体模型,易知C正确;
由空间四边形,知D不正确.
答案 1个
解析 若l与α没有公共点,则l⊄α,又A∈l,所以A∉α与A∈α矛盾;
若l与α有一个公共点,A∈α,A∈l,B∉α,B∈l可以同时成立;
若l与α至少有两个不同的公共点,则由基本事实2知l⊂α,又B∈l,所以B∈α与B∉α矛盾,所以l与α有且仅有一个公共点A.
答案 36
解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;
正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.
答案 1或3或4
解析 若直线与三点在一个平面内,则只有1个平面;
若只有两点与直线在同一平面内,则第三个点和平面内的两个点可以确定一个平面,和直线也可以确定一个平面,所以此时共可确定3个平面;
若只有一个点与直线共面,则每一个点都可以与直线确定一个平面,三个点也可以确定一个平面,此时可以确定4个平面.
证明 ∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C.
∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.
10.
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- 841 平面 教案 学年 高一数 学人 必修 第二 第八 立体几何 初步