1高中数学精讲精练第七章立体几何初步.doc
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2013高中数学精讲精练第七章立体几何初步
【知识图解】
空间几何体
构成几何体
的基本元素
柱、锥、台、球的特征
直观认识线面平行与垂直
表面积与体积
中心投影与平行投影
直观图与三视图的画法
点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质
确定平面的位置关系
空间中的平行关系
直线与直线的平行关系
直线与平面平行的判断及性质
平面与平面平行的判断及性质
空间中的垂直关系
直线与平面垂直的判断及性质
平面与平面垂直的判断及性质
直线与直线的垂直关系
【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间,认识空间图形,可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体,对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系,几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点:
1.注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意:
将文字语言转化为图形,并明确已知元素之间的位置关系及度量关系;借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系;能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系,并借助直观感觉展开联想与猜想,进行推理与计算。
2.归纳总结,分门别类。
从知识上可以分为:
平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3.抓主线,攻重点。
针对一些重点内容加以训练,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心的核心,角与距离的计算已经降低要求。
4.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法,如:
将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1课空间几何体
【考点导读】
1.观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图;
3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式;
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1.一个凸多面体有8个顶点,①如果它是棱锥,那么它有14条棱,8个面;②如果它是棱柱,那么它有12条棱6个面。
2.
(1)如图,在正四面体A-BCD中,E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心,则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是③④。
①②③④
(2)如图,E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的②③(要求:
把可能的图的序号都填上).
【范例导析】
例1.下列命题中,假命题是
(1)(3)。
(选出所有可能的答案)
(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
(2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
(3)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
(4)若一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体
分析:
准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
(1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。
(3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。
例2.是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若的面积为,那么△ABC的面积为_______________。
解析:
。
点评:
该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。
特别底和高的对应关系。
例3.
(1)画出下列几何体的三视图
(2)
(2)某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状
分析:
三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析:
(1)这两个几何体的三视图分别如下:
(2)该几何体为一个正四棱锥。
点评:
画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。
一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线。
物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。
而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。
左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。
据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】
1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是。
2.如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则=。
解析:
水面高度升高r,则圆柱体积增加πR2·r。
恰好是半径为r的实心铁球的体积,因此有πr3=πR2r。
故。
答案为。
点评:
本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示),若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是。
4.空间四边形中,,,分别是边上的点,且为平行四边形,则四边形的周长的取值范围是__。
5.三棱锥中,,其余棱长均为1。
P
A
B
C
M
(1)求证:
;
(2)求三棱锥的体积的最大值。
解:
(1)取中点,∵与均为正三角形,
∴,
∴平面。
∴
(2)当平面时,三棱锥的高为,
此时
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截,若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)为p的抛物线.
(1)求圆锥的母线与底面所成的角;
(2)求圆锥的全面积.
解:
(1)设圆锥的底面半径为R,母线长为l,
由题意得:
即,
所以母线和底面所成的角为
(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON,
其中O为截面与AC的交点,则OO1//AB且
在截面MON内,以OO1所在有向直线为y轴,O为原点,建立坐标系,
则O为抛物线的顶点,所以抛物线方程为x2=-2py,
点N的坐标为(R,-R),代入方程得:
R2=-2p(-R),
得:
R=2p,l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
说明:
将立体几何与解析几何相链接,颇具新意,预示了高考命题的新动向.
第2课平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1.掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想象它们之间的位置关系。
2.掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题,并能进行解决和证明相关问题。
3.理解反证法证明的思路,会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是(3)。
(1)∵,∴.
(2)∵,∴.
(3)∵,∴.(4)∵,∴.
2.下列推断中,错误的是(4)。
(1)
(2),A,B,C不共线重合
(3)
(4)
3.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”
(1)空间三点可以确定一个平面()
(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合()
(3)两条直线可以确定一个平面()
(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线()
(5)两条相交直线可以确定一个平面()
(6)三条平行直线可以确定三个平面()
(7)一条直线和一个点可以确定一个平面()
(8)两两相交的三条直线确定一个平面()
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4.如右图,点E是正方体的棱的中点,则过点E与直线和都相交的直线的条数是:
1条
5.完成下列证明,已知直线a、b、c不共面,它们相交于点P,AÎa,DÎa,BÎb,EÎc
求证:
BD和AE是异面直线
证明:
假设__共面于g,则点A、E、B、D都在平面__内
QAÎa,DÎa,∴__Ìγ.QPÎa,∴PÎ__.
QPÎb,BÎb,PÎc,EÎc∴__Ìg,__Ìg,这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案:
假设BD、AE共面于g,则点A、E、B、D都在平面g内。
∵AÎa,DÎa,∴aÌg.∵PÎa,PÎg.
∵PÎb,BÎb,PÎc,EÎc.∴bÌg,cÌg,这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
【范例导析】
例1.已知,从平面外一点引向量
,
(1)求证:
四点共面;
(2)平面平面.
分析:
证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明,
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
解:
法一:
(1)∵四边形是平行四边形,∴,
∵,
∴共面;
(2)∵,又∵,
∴
所以,平面平面.
法二:
(1)
∴
∴同理又∴
∴共面;
(2)由
(1)知:
,从而可证
同理可证,所以,平面平面.
点评:
熟练掌握定理是证明的关键,要学会灵活运用。
例2.已知空间四边形ABCD.
(1)求证:
对角线AC与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB=BC=CD=DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.
分析:
证明两条直线异面通常采用反证法。
证明:
(1)(反证法)假设AC与BD不是异面直线,则AC与BD共面,
所以A、B、C、D四点共面
这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
(2)解:
∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评:
在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题,取中点往往是很有效的方法,特别是遇到等腰三角形的时候。
例3.如图,已知E,F分别是正方体的棱和棱上的点,且,求证:
四边形是平行四边形
简证:
由可以证得≌
所以又可以由正方体的性质证明
所以四边形是平行四边形
例4:
如图,已知平面,且是垂足.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)若,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.
解:
(Ⅰ)因为,所以.
同理.
又,故平面.
(Ⅱ)平面平面。
证明如下:
设与平面的交点为,
连结、.因为平面,所以,
所以是二面角的平面角.
又,所以,即.
在平面四边形中,,
所以.故平面平面.
【反馈演练】
1.判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ()
(2)两线段AB、CD不在同一平面内,如果AC=BD,AD=BC,则AB⊥CD()
(3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º ()
(4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ()
答案:
(1)×
(2)×(3)√(4)×
2.定点P不在△ABC所在平面内,过P作平面α,使△ABC的三个顶点到α的距离相等,这样的平面共有4个。
3.给出以下四个命题:
(1)若空间四点不共面,则其中无三点共线;
(2)若直线上有一点在平面外,则该直线在平面外;(3)若直线a,b,c中,a与b共面且b与c共面,则a与c共面;(4)两两相交的三条直线共面。
其中所有正确命题的序号是
(1)
(2)。
α
β
D
B
C
A
4.如图,已知(A,B不重合)
过A在平面α内作直线AC,过B在平面β内作直线BD。
求证:
AC和BD是异面直线。
证明:
(反证法)若AC和BD不是异面直线,
设确定平面γ,则由题意可知:
平面α和γ都过AC和AC外一点B,所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合,所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
第3课空间中的平行关系
【考点导读】
1.掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2.明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3.要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】
1.若为异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是异面或相交 。
2.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是4个。
3.对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l垂直。
4.已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、r是三个不重合的平面,下面六个命题:
①a∥c,b∥ca∥b;②a∥r,b∥ra∥b;③α∥c,β∥cα∥β;
④α∥r,β∥rα∥β;⑤a∥c,α∥ca∥α;⑥a∥r,α∥ra∥α.
其中正确的命题是①④。
【范例导析】
例1.如图,在四面体ABCD中,截面EFGH是平行四边形.
求证:
AB∥平面EFG.
证明 :
∵面EFGH是截面.
∴点E,F,G,H分别在BC,BD,DA,AC上.
∴EH面ABC,GF面ABD,
由已知,EH∥GF.∴EH∥面ABD.
又 ∵EH面BAC,面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB.
∴AB∥面EFG.
例2.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.
求证:
MN∥平面AA1B1B.
分析:
“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采用任何一种转化方式。
简证:
法1:
把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行,如图所示作平行线即可。
A
B
C
D
N
F
E
M
A11
B11
D11
C11
法2:
把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
连CN并延长交直线BA于点P,
连B1P,就是所找直线,然后再设法证明MN∥B1P.
法3:
把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M作MQ//BB1交BC于B1,连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行,
从而证得MN∥平面ABB1A1.
点评:
证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。
【反馈演练】
1.对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是(3)。
(1)若则
(2)若则
(3)若则 (4)若、与所成的角相等,则
2.设a、b是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是
(2)。
(1)经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
(2)经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
(3)存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
(4)存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3.关于直线a、b、l及平面M、N,下列命题中正确的是(4)。
(1)若a∥M,b∥M,则a∥b
(2)若a∥M,b⊥a,则b⊥M
(3)若aM,bM,且l⊥a,l⊥b,则l⊥M(4)若a⊥M,a∥N,则M⊥N
4.“任意的,均有”是“任意,均有”的充要条件。
5.在正方体AC1中,过A1C且平行于AB的截面是面A1B1CD.
6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点,则四边形EBFD!
的形状为平行四边形。
7.已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,
求证:
PD∥平面MAC.
证明连AC交BD于O,连MO,
则MO为△PBD的中位线,
∴PD∥MO,∵PD平面MAC,MO平面MAC,
∴PD∥平面MAC.
8.如图,已知是平行四边形所在平面外一点,、分别是、的中点
(1)求证:
平面;
(2)若,,求异面直线与所成的角的大小
略证:
(1)取PD的中点H,连接AH,
为平行四边形
(2):
连接AC并取其中点为O,连接OM、ON,则OM平行且等于BC的一半,ON平行且等于PA的一半,所以就是异面直线与所成的角,由,得,OM=2,ON=
所以,即异面直线与成的角
9.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:
MN∥平面BCE。
证法一:
作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足,
则MP∥AB,NQ∥AB。
∴MP∥NQ,又AM=NF,AC=BF,
∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ平面BCE,MN在平面BCE外,
∴MN∥平面BCE。
证法二:
如图过M作MH⊥AB于H,则MH∥BC,
∴
连结NH,由BF=AC,FN=AM,得
∴NH//AF//BE
由MH//BC,NH//BE得:
平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE。
第4课空间中的垂直关系
【考点导读】
1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明和解决有关问题。
2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互相转化,善于利用转化思想。
【基础练习】
1.“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的必要条件。
2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是平行或相交。
3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6。
4.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。
5.在正方体中,写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____,使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注:
填上你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD.
解析:
本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
证明:
(1)连结AC,AC交BD于O,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA//EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA//平面EDB
(2)∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴.①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而平面PDC,∴.②
由①和②推得平面PBC.而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD.
例2.如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点,
求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA。
分析:
(1)证明DE=DA,可以通过图形分割,证明△DEF≌△DBA。
(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由
(1)知DM⊥EA,取AC中点N,连结MN、NB,易得四边形MNBD是矩形。
从而证明DM⊥平面ECA。
证明:
(1)如图,取EC中点F,连结DF。
∵EC⊥平面ABC,BD∥CE,得DB⊥平面ABC。
∴DB⊥AB,EC⊥BC。
∵BD∥CE,BD=CE=FC,
则四边形FCBD是矩形,DF⊥EC。
又BA=BC=DF,∴Rt△DEF≌Rt△ABD,所以DE=DA。
(2)取AC中点N,连结MN、NB,
∵M是EA的中点,∴MNEC。
由BDEC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN。
∵DE=DA,M是EA的中点,∴DM⊥EA.又EAMN=M,
∴DM⊥平面ECA,而DM平面BDM,则平面ECA⊥平面BDM。
(3)∵DM⊥平面ECA,DM平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA。
点评:
面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3.如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,
∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1中点.
(1)求证C1D⊥平面A1B;
(2)当点F在BB1上什么位置时,
会使得AB1⊥平面C1DF?
并证明你的结论。
分析:
(1)由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B,只要证明C1D垂直交线A1B1,由直线与平面垂直判定定理可得C1D⊥平面A1B。
(2)由
(1)得C1D⊥AB1,只要过D作AB1的垂线,它与BB1的交点即为所求的F点位置。
证明:
(1)如图,∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,
∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°。
又D是A1B1的中点,
∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,
∴AA1⊥C1D,∴C1D⊥平面AA1B1B。
(2)解:
作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连结C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F即为所求。
∵C1D⊥平面AA1BB,AB1平面AA1B1B,
∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DFC1D=D,∴AB1⊥平面C1DF。
点评:
本题
(1)的证明中,证得C1D⊥A1B1后,由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B,立得C1D⊥平面AA1B1B。
(2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分析问题。
【反馈演练】
1.下列命题中错误的是 (3)。
(1)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直线
(2)若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直
(3)若一条直线垂直于平面内的一条直线,则此直线垂直于这一平面
(4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直,
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